2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学
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（理工农医类）本试卷共4页，三大
题
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21小题。满分150分，考试时间120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目
要求
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的。1.复数，为z的共轭复数，则(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数的反函数为(A)(B)(C)(D)3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是(A)(B)(C)(D)4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=(A)8(B)7(C)6(D)55.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于(A)(B)3(C)6(D)96.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于(A)(B)(C)(D)17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送
方法
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共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A)(B)(C)(D)19.设是周期为2的奇函数，当时，，则(A)(B)(C)(D)10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则(A)(B)(C)(D)11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为(A)(B)(C)(D)12.设向量满足，则的最大值等于(A)2(B)(C)(D)1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为.14.已知，，则.15.已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则.16.已知点E、F分别在正方体的棱上，且,,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X
表
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示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。20.（本小题满分12分）设数列满足（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：。21.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。22.（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：答案为本人自己所做，不对其正确性作绝对的保证2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．B8．D9．A10．D11.D12.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．014．15．616．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.（本小题满分10分）解：由，得故，由，故，又显然，故，再由，解得：，于是18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3故，所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为显然，X服从二项分布，即,所以X的期望为2019.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，，易算得：，又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，所以,于是,,所以（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，因为，所以,从而,因而可以算得：，又，故又因为,所以点C到平面SAB的距离为另外，显然，所以得：设AB与平面SBC所成的角为，则，即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由得：数列是等差数列，首项为故，从而（Ⅱ）所以21.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，设，则，，因为所以，将此坐标代入椭圆：，所以点P在C上。（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因为，所以于是可以算得：，，，,,于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。22.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）时，，于是在上单调增，所以（Ⅱ）（共有对数相乘）由（Ⅰ），时，也有，故在上单调增，所以即即，两边同时取的对数得：综上所述：
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