高中理科数学公式大全完整版

高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 公式大全（皮豆整理版）§01.集合与简易逻辑1.元素与集合的关系UxAxCA,UxCAxA.2.德摩根公式();()UUUUUUCABCACBCABCACB.3.包含关系ABAABBUUABCBCAUACBUCABR4.容斥原理()()cardABcardAcardBcardAB.5．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)fxaxbxca;(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa.7.解连不等式()NfxM常有以下转化形式()NfxM[()][()]0fxMfxN|()|22MNMNfx()0()fxNMfx11()fxNMN.8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa；qpabx,2，maxmax()(),()fxfpfq，minmin()(),()fxfpfq.(2)当a<0时，若qpabx,2，则min()min(),()fxfpfq，qpabx,2，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根.设qpxxxf2)(，则（1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm；（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2()0()0402fmfnpqpmn或0)(0)(nfmf或0)(0)(mfnf；（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或2402pqpm.11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL.(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manfxtxL.(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac.12.真值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（1n）个小于不小于至多有n个至少有（1n）个对所有x，成立存在某x，不成立p或qp且q对任何x，不成立存在某x，成立p且qp或q14.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02.函数16.函数的单调性(1)设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.17.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.20.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.21.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称;若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.22．多项式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.(2)函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx()()fabmxfmx.24.两个函数图象的对称性(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.(2)函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.25.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.26．互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1.27.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([11bxfky,并不是)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([1bxfky的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，0()(0)1,lim1xgxfx.29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,或21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；(3))0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；(4))()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则)(xf的周期T=4a；(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a；(6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.30.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,,amnN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,,amnN，且1n）.31．根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.32．有理指数幂的运算性质(1)(0,,)rsrsaaaarsQ.(2)()(0,,)rsrsaaarsQ.(3)()(0,0,)rrrabababrQ.注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.36.设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.，(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.§03.数列38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.39.数列的同项公式与前n项的和的关系11,1,2nnnsnassn(数列{}na的前n项的和为12nnsaaa).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnadnN；其前n项和公式为1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn.41.等比数列的通项公式1*11()nnnaaaqqnNq；其前n项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqnaq或11,11,1nnaaqqqsnaq.42.等比差数列na:11,(0)nnaqadabq的通项公式为1(1),1(),11nnnbndqabqdbqdqq；其前n项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbnndqsdqdbnqqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).§04.三角函数44．常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin||cos|1xx.45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco212(1)s,s()2(1)sin,nnconco47.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22cos()cos()cossin.sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,tanba).48.二倍角公式sin2sincos.22222cos2cossin2cos112sin.22tantan21tan.49.三倍角公式3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()13tan33.50.三角函数的周期公式函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期2T；(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)函数tan()yx，,2xkkZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.51.正弦定理2sinsinsinabcRABC.52.余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.53.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(||||)()2OABSOAOBOAOB.54.三角形内角和定理在△ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.55.简单的三角方程的通解sin(1)arcsin(,||1)kxaxkakZa.s2arccos(,||1)coxaxkakZa.tanarctan(,)xaxkakZaR.特别地,有sinsin(1)()kkkZ.scos2()cokkZ.tantan()kkZ.56.最简单的三角不等式及其解集sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.sin(||1)(2arcsin,2arcsin),xaaxkakakZ.cos(||1)(2arccos,2arccos),xaaxkakakZ.cos(||1)(2arccos,22arccos),xaaxkakakZ.tan()(arctan,),2xaaRxkakkZ.tan()(,arctan),2xaaRxkkakZ.§05.平面向量57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则ab(b0)12210xyxy.53.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a+b=1212(,)xxyy.(2)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a-b=1212(,)xxyy.(3)设A11(,)xy，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxxyy.(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.(5)设a=11(,)xy,b=22(,)xy，则a·b=1212()xxyy.63.两向量的夹角公式121222221122cosxxyyxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy).64.平面两点间的距离公式,ABd=||ABABAB222121()()xxyy(A11(,)xy，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直设a=11(,)xy,b=22(,)xy，且b0，则A||bb=λa12210xyxy.ab(a0)a·b=012120xxyy.66.线段的定比分公式设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPtOP（11t）.67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.68.点的平移公式''''xxhxxhyykyyk''OPOPPP.注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形'F上的对应点为'''(,)Pxy，且'PP的坐标为(,)hk.69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)Pxy按向量a=(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk.(2)函数()yfx的图象C按向量a=(,)hk平移后得到图象'C,则'C的函数解析式为()yfxhk.(3)图象'C按向量a=(,)hk平移后得到图象C,若C的解析式()yfx,则'C的函数解析式为()yfxhk.(4)曲线C:(,)0fxy按向量a=(,)hk平移后得到图象'C,则'C的方程为(,)0fxhyk.(5)向量m=(,)xy按向量a=(,)hk平移后得到的向量仍然为m=(,)xy.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC.（2）O为ABC的重心0OAOBOC.（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC.（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.§06.不等式71.常用不等式：（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）,abR2abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).abcabcabc（4）柯西不等式22222()()(),,,,.abcdacbdabcdR（5）bababa.72.极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s.推广已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22（1）若积xy是定值,则当||yx最大时,||yx最大；当||yx最小时,||yx最小.（2）若和||yx是定值,则当||yx最大时,||xy最小；当||yx最小时,||xy最大.73.一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.74.含有绝对值的不等式当a>0时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或xa.75.无理不等式（1）()0()()()0()()fxfxgxgxfxgx.（2）2()0()0()()()0()0()[()]fxfxfxgxgxgxfxgx或.（3）2()0()()()0()[()]fxfxgxgxfxgx.76.指数不等式与对数不等式(1)当1a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx.(2)当01a时,()()()()fxgxaafxgx;()0log()log()()0()()aafxfxgxgxfxgx§07.直线和圆的方程77.斜率公式2121yykxx（111(,)Pxy、222(,)Pxy）.78.直线的五种方程（1）点斜式11()yykxx(直线l过点111(,)Pxy，且斜率为k)．（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)Pxy、222(,)Pxy(12xx)).(4)截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:lykxb，222:lykxb①121212||,llkkbb;②12121llkk.(2)若1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||ABCllABC；②1212120llAABB；80.夹角公式(1)2121tan||1kkkk.(111:lykxb，222:lykxb,121kk)(2)12211212tan||ABABAABB.(1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,12120AABB).直线12ll时，直线l1与l2的夹角是2.81.1l到2l的角公式(1)2121tan1kkkk.(111:lykxb，222:lykxb,121kk)(2)12211212tanABABAABB.(1111:0lAxByC,2222:0lAxByC,12120AABB).直线12ll时，直线l1到l2的角是2.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()yykxx(除直线0xx),其中k是待定的系数;经过定点000(,)Pxy的直线系方程为00()()0AxxByy,其中,AB是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxByC,2222:0lAxByC的交点的直线系方程为111222()()0AxByCAxByC(除2l)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．83.点到直线的距离0022||AxByCdAB(点00(,)Pxy,直线l：0AxByC).84.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0lAxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.111222()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CAxByCAxByC（12120AABB），则111222()()0AxByCAxByC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分；111222()()0AxByCAxByC所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).（3）圆的参数方程cossinxarybr.（4）圆的直径式方程1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)Axy、22(,)Bxy).87.圆系方程(1)过点11(,)Axy,22(,)Bxy的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0xxxxyyyyaxbyc,其中0axbyc是直线AB的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l:0AxByC与圆C:220xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数．(3)过圆1C:221110xyDxEyF与圆2C:222220xyDxEyF的交点的圆系方程是2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含210rrd.91.圆的切线方程(1)已知圆220xyDxEyF．①若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022DxxEyyxxyyF.当00(,)xy圆外时,0000()()022DxxEyyxxyyF表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()yykxx，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆222xyr．①过圆上的000(,)Pxy点的切线方程为200xxyyr;②斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.§08.圆锥曲线方程92.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.93.椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.95.椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.96.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21|()|aPFexc，22|()|aPFexc.97.双曲线的内外部(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.99.双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.100.抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypxp焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.101.抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中22ypx.102.二次函数2224()24bacbyaxbxcaxaa(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya.103.抛物线的内外部(1)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.(2)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.(3)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.(4)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.104.抛物线的切线方程(1)抛物线pxy22上一点00(,)Pxy处的切线方程是00()yypxx.（2）过抛物线pxy22外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00()yypxx.（3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0fxy,2(,)0fxy的交点的曲线系方程是12(,)(,)0fxyfxy(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max{,}kab.当22min{,}kab时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),,(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去y得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0Fxy关于点00(,)Pxy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fxxyy.（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222()2()(,)0AAxByCBAxByCFxyABAB.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF，用0xx代2x，用0yy代2y，用002xyxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222xyxyxxyyAxxBCyyDEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09.立体几何109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．PAB、、三点共线||APABAPtAB(1)OPtOAtOB.||ABCDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,xy,使paxby．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,xy,使MPxMAyMB，或对空间任一定点O，有序实数对,xy，使OPOMxMAyMB.119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当1k时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当1k时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．CAB、、、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC(1)ODxyOAxOByOC（O平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.121.射影公式已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影'A，作B点在l上的射影'B，则''||cosABAB〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb则(1)a＋b＝112233(,,)ababab；(2)a－b＝112233(,,)ababab；(3)λa＝123(,,)aaa(λ∈R)；(4)a·b＝112233ababab；123.设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则ABOBOA=212121(,,)xxyyzz.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)axyzr，222(,,)bxyzr，则abrrP(0)abbrrrr121212xxyyzz；abrr0abrr1212120xxyyzz.125.夹角公式设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233222222123123abababaaabbb.推论2222222112233123123()()()abababaaabbb，此即三维柯西不等式.126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为,则2222|()()|cos2ABCDBCDAACBD.127．异面直线所成角cos|cos,|abrr=121212222222111222||||||||xxyyzzababxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,abrr分别表示异面直线ab,的方向向量）128.直线AB与平面所成角sin||||ABmarcABm(m为平面的法向量).129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABC的两个内角，则2222212sinsin(sinsin)sinAB.特别地,当90ACB时,有22212sinsinsin.130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,''AB、为ABO的两个内角，则222'2'212tantan(sinsin)tanAB.特别地,当90AOB时,有22212sinsinsin.131.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则12coscoscos.133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos;1212||180()(当且仅当90时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，则,ABd=||ABABAB222212121()()()xxyyzz.135.点Q到直线l距离221(||||)()||hababa(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ).136.异面直线间的距离||||CDndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).137.点B到平面的距离||||ABndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.138.异面直线上两点距离公式2222cosdhmnmn.222'2cos,dhmnmnEAAF.2222cosdhmnmn（'EAAF）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段'AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，'AEm,AFn,EFd).139.三个向量和的平方公式2222()222abcabcabbcca2222||||cos,2||||cos,2||||cos,abcababbcbccaca140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S、'S，它们所在平面所成锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c和1S,则①1Scl斜棱柱侧.②1VSl斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2VFE(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：12EnF；（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：12EmV.146.球的半径是R，则其体积343VR,其表面积24SR．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a.148．柱体、锥体的体积13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.§10.排列组合二项定理149.分类计数原理（加法原理）12nNmmm.150.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.151.排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！！)(mnn.(n，m∈N*，且mn)．注:规定1!0.152.排列恒等式(1）1(1)mmnnAnmA;（2）1mmnnnAAnm;（3）11mmnnAnA;（4）11nnnnnnnAAA;（5）11mmmnnnAAmA.(6)1!22!33!!(1)!1nnn.153.组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！！！)(mnmn(n∈N*，mN，且mn).154.组合数的两个性质(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.注:规定10nC.155.组合恒等式（1）11mmnnnmCCm;（2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm;（4）nrrnC0=n2;（5）1121rnrnrrrrrrCCCCC.(6)nnnrnnnnCCCCC2210.(7)14205312nnnnnnnCCCCCC.(8)1321232nnnnnnnnCCCC.(9)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110.(10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(.156.排列数与组合数的关系mmnnAmC！.157．单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取