初中数学思维导图

初中数学知识点总括知识结构分布内容解读备注一基础知识㈠实数理解平方根、立方根、算术平方根的概念1有理数整数与分数统称有理数。⑴整数正整数、0、负整数⑵分数正分数、负分数2无理数无限不循环小数叫做无理数。记住几个特殊代表：π、√2、√3、√5、黄金比（√5-1）/2㈡整式表示成数字与字母乘积的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数（单独一个非零数的次数是0）；一个多项是中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。1同底数幂的乘除法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。aman=am+n(m,n都是正整数)同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n)深刻理解：a0=1(a≠0)a-p=1÷ap(a≠0,p是正整数）2幂的乘方与积的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。(am)n=amn(m,n都是正整数)积的乘方等于每一个因数乘方的积(ab)n=anbn(n是正整数)3整式的运算⑴整式加减如果遇到括号先去括号，再合并同类项。⑵整式的乘法单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。⑶整式的除法单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。㈢分式整式A除以整式B，可以表示成A/B的形式。如果除式B中含有字母，那么称A/B为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。1分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。2分式运算法则⑴分式乘除法法则两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘。⑵分式加减法法则同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。3分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程需要检验，因为可能会产生增根（了解产生增根的原因）。二分解因式把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。㈠提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式概念㈡运用公式法由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4(要会推导杨辉三角)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc三多边形在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形（指凸多边形）。㈠基本概念1多边形的内角和与外角和n变形的内角和等于（n-2）×180°；多边形的外角和等于360°。2图形的对称⑴中心对称图形在平面内，一个图形围绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。性质（1点）：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。⑵轴对称图形如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。性质（3点）：1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2、对应线段相等3、对应角相等。3图形的运动⑴图形的平移在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移。性质（3点）：经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。⑵图形的旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点成为旋转中心，转动的角度成为旋转角。性质（4点）：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。对应线段相等、对应角相等。4平行线与相交线⑴相交线明白余角、补角、对顶角的概念和运用⑵平行线定理1：如果两条直线平行，其同位角和内错角分别相等、同旁内角互补。定理2：同位角相等或内错角相等或同旁内角互补的两条直线平行。推理3：距离相等的两条直线平行（自己推导的定理）。记住判定平行线的四种方法。㈡三角形1三角形的四条线⑴三角形的角平分线定理1：三角形的三条角平分线相交于一点（三角形的内心），并且这一点到这三条边的距离相等（可做唯一一个内切圆）；定理2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理3：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。⑵三角形的中线顶点和对边中点之间的线段（叙述不全）⑶三角形的高线顶点和垂足之间的线段（叙述不全）三角形三条高线所在的直线交与一点，其中：1、直角三角形交点与直角的顶点重合；2、锐角三角形交点在三角形内；3、钝角三角形交点在三角形外。⑷三角形三边的垂直平分线定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；定理2：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；定理3：三角形三条边的垂直平分线相交于一点(三角形的外心)，并且这一点到三个顶点的距离相等（可做唯一一个外接圆）。2三角形的分类⑴锐角三角形三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形。⑵钝角三角形有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。⑶直角三角形有一个内角是直角的三角形叫直角三角形。3关于三角形的几个定理⑴普适的定理1、三角形两边之和大于第三边（可证明）；2、三角形两边之差小于第三边(可证明)。⑵直角三角形的定理1、直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；2、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、在一个直角三角形中，如果1个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（可证明）。4、直角三角形的两个锐角互余。记住几个构成直角三角形的特殊数字：3,4,5；5,12,13；6,8,10;7,24,25；8,15,17；9,12,15；1,1,√2(等腰直角三角形)；1,√3,2(30。直角三角形)；1,2,√5(符合黄金分割比例的直角三角形)。⑶等腰与等边三角形的定理1、等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；2、有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；3、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；4、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；4三角函数1、记住几个特殊角的三角函数值；2、深刻理解函数值与Rt△的三边关系；3、在直角三角形内，互余的两个锐角其中一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。4、在直角三角形内，互余的两个锐角的正切函数值互为倒数。5、同一个角的三个三角函数的关系如下;正弦值除以余弦值等于正切值。⑴正弦函数在Rt△ABC中，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。正弦函数越大，对应的角越大。⑵余弦函数在Rt△ABC中，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。余弦函数越大，对应的角越小。⑶正切函数在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。正切函数越大，对应的角越大。5全等三角形⑴性质对应边相等、对应角相等。⑵判断条件1、边边边，SSS;2、边角边，SAS;3、角边角，ASA;4、角角边，AAS;5、斜边和一条直角边，HL（只对直角三角形有效）。利用全等三角形测距离。㈢四边形1平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。⑴性质1、平行四边形的对边相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。⑵判断条件1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；5、两组对顶角分别相等的四边形是平行四边形（自己推断论证的结论）。⑶菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。①性质1、四条边相等；2、对角线互相垂直平分；3、每一条对角线平分一组对角。②判断条件1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的平行四边形是菱形。⑷矩形有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。①性质1、对角线相等；2、四个角都是直角。②判断条件1、有一个内角是直角的平行四边形是矩形；2、对角线相等的平行四边形是矩形。⑸正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形兼具菱形和矩形的特征。①性质具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。②判断条件1、一组邻边相等的矩形是正方形；2、一个内角是直角的菱形是正方形（自己加入的结论）；3、对角线互相垂直的矩形是正方形（自己加入的结论）。2梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。⑴等腰梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形的面积公式=（上底+下底）x高÷2①性质等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。②判断条件同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。⑵直角梯形一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。㈣相似图形1基础知识⑴比例线段四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。①几个公式1、如果a/b=c/d,那么ad=bc;2、如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0)，那么a/b=c/d。3、如果a/b=c/d,那么(a±b)b/=(c±d)/d;4、如果a/b=c/d=...=m/n（b+d+…n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。⑵黄金分割如果点C把线段AB分成一长一短两条线段AC和BC,并且AC/AB=BC/AC,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即（√5-1）/2（≈0.61803398874989...）。1、会找黄金分割点、会证明。2、黄金比是一个无理数。2相似多边形各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。⑴性质1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比；2、相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。⑵判断条件利用概念判断⑶相似三角形三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形。掌握用利用相似三角形测高度的三种方法。①性质②判断条件1、两角对应相等的两个三角形是相似；2、三边对应成比例的两个三角形相似；3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。3位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比。⑴性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。⑵判断条件利用概念判断四圆平面上到顶点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。以点O为圆心的圆记做"⊙O"，读作“圆O”。㈠圆的几个基本概念1圆的对称性1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心。2圆弧（弧）优弧、劣弧的表示方法3弦4圆周角5圆与圆的位置关系外离、外切、相交、内切、内含。6圆与直线的位置关系相离、相切、相交。㈡关于圆的几个定理1、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。2、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧。3、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。5、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。6、直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。7、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。8、圆的切线垂直与过切点的直径。9、经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。㈢扇形的面积1n°圆心角所对的弧长ll=圆周长×n°/360°2n°圆心角所对的扇形面积S扇形S扇形=圆面积×n°/360°S扇形=圆半径×弧长÷23圆锥的侧面积S圆锥侧=π×圆锥底面半径×圆锥母线五函数、方程及不等式㈠函数1基本概念⑴直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。公共原点O称为平面直角坐标系的原点。⑵函数的图像把一个函数自变量x和对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像。2一次函数若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。⑴图像分布规律（第一种解读）一次函数的图像呈直线状分布可以放在以点(0,b)为原点新构筑起的直角坐标系中研究，即，将X轴平移到Y=b处后与Y轴重新构筑起的新坐标系。以下的描述所说的象限指新坐标系的象限：1、当k>0时，分布在一、三象限，y的值随x增大而增大；2、当k<0时，分布在二、四象限，y的值随x增大而减小。1、关于新坐标系的理解：即将一次函数变形表示成y-b=kx(k≠0)后，把y-b看成是一个新的因变量即可，此时y-b是x的正比例函数。2、新坐标系的概念可以应用到所有函数的图像研究中。3、一次函数中，直线函数图象与x轴所形成的夹角的坡度即夹角的正切值等于k.。⑵图像分布规律（第二种解读）1、当k>0时：1)当b>0,图象分布在1、2、3象限2)当b=0,图象分布在1、3象限3)当b<0,图象分布在1、4、3象限2、当k<0时：1)当b>0,图象分布在2、1、4象限2)当b=0,图象分布在2、4象限3)当b<0,图象分布在2、3、4象限。3二次函数一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。⑴图像分布规律二次函数的图像呈抛物线状分布放在以（-b/2a,(4ac-b2)/4a）为原点的新坐标系中研究。以下的描述所说的象限指新坐标系的象限：1、当a>0时，抛物线开口向上，分布在一、二象限，其中二象限y的值随x增大而减小、一象限y的值随x增大而增大；2、当a<0时，抛物线开口向下，分布在三、四象限，其中三项象限y的值随x增大而增大、四项象限y的值随x增大而减小。⑵二次函数图像的做法次序1、根据a>0或a<0确定抛物线的开口向上还是向下(a的绝对值越大，抛物线开口越小，反之开口越大)；2、确定抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)。3、确定抛物线的顶点坐标（-b/2a,(4ac-b2)/4a），即以x=-b/2a为抛物线的对称轴、以y=(4ac-b2)/4a为抛物线在纵轴上的最高点或最低点；4、确定与x轴的两个交点的横坐标-b/2a±(√b2-4ac)/∣2a∣。记住三个特殊二次函数的图像规律：1、y=ax2+c(a,c为常数,a≠0)的图像以y轴为对称轴，以(0,c)为顶点；2、y=ax2(a为常数,a≠0)的图像为顶点在原点的抛物线;3、y=ax2+bx(a,b为常数,a≠0)的图像以x=-b/2a为对称轴，抛物线与y轴的交点在原点。⑶二次函数顶点的推导1、利用完全平方公式可以将二次函数表达式转化成下述样式：y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a；2、由上式可知抛物线顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b2)/4a），x=-b/2a为对称轴；3、如果抛物线与x轴有交点，则x的值为-b/2a±(√b2-4ac)/∣2a∣(此即为一元二次方程的解)，两个值差的一半是(√b2-4ac)/∣2a∣。⑷二次函数与x轴是否有交点的判断方法当a大于0时：1、当（4ac-b2)/4a大于0，则与x轴无交点。2、当（4ac-b2)/4a等于0，则与x轴有一个交点，并且为其顶点。3、当（4ac-b2)/4a小于0，则与x轴有两个交点。当a小于0时;1、当（4ac-b2)/4a大于0，则与x轴有两个交点。2、当（4ac-b2)/4a等于0，则与x轴有一个交点，并且为其顶点。3、当（4ac-b2)/4a小于0，则与x轴无交点。4正比例函数一次函数中，当b=0时，称y是x的正比例函数5反比例函数一般地，如果两个变量x,y间的关系式可以表示成y=k/x(k是常数，k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，x≠0。⑴图像分布规律1、当k>0时，分布在一、三象限，y的值随x增大而增大；2、当k<0时，分布在二、四象限，y的值随x增大而减小。深入研究y=k/x+b的图像分布规律(在以(0,b)为原点的新坐标系所构筑的四个象限内呈现前述图像分布规律)。㈡方程1一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫一元一次方程。2一元二次方程⑴一元二次方程的基本解法1、配方法；2、公式法；3、分解因式法。会证明黄金比。3二元一次方程含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。理解二元一次方程与一次函数的关系。4二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组。⑴二元一次方程组的基本解法1、代入消元法，简称代入法；2、加减消元法，简称加减法。注意寻找两种方法的使用规律。⑵二元一次方程组的几种基本应用见书上例题，比如：鸡兔同笼、增收节支、里程碑上的数等。㈢不等式一般地，用符号"<"(或"≤")，">"(或"≥")连接的式子叫做不等式。1不等式的基本性质1、不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。2一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。理解其解集与一次函数的图像关系。3一元一次不等式组一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成了一元一次不等式组。⑴一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集。⑵解不等式组求不等式组解集的过程叫做解不等式组。六统计与概率㈠科学计数法一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种计数方法叫做科学计数法。10-6米是1微米；10-9米是1纳米。㈡统计图的分类及应用范围1扇形统计图能看清各部分所占比重。2条形统计图能看清每个项目的具体数目。3折线统计图能看清事物的变化情况。㈢有效数字对于一个近似数，从左边不是0的第一个数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。㈣概率必然事件发生的概率为1，计作P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，计作P(不可能事件)=0；如果A为不确定事件，那么0 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是指一组数据中各个数据与平均数之差的平方的平均数（用S2表示）。方差的算术平方根。越小代表一组数据越稳定。其它专题问题：1、求最短距离问题2、求高度的问题1、用正切函数求物体的高度，分以下两种情况：a、到物体的距离可测b、到物体的距离不可测230°45°60°sinα1/21/√2√3/2cosα√3/21/√21/2tanα1/√31√3&"TimesNewRoman,加粗倾斜"&P/&N