高中数学竞赛模拟题(十六套)

模拟试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一全国高中数学联赛模拟试题一试一、填空题（每题８分，共６４分）1．方程错误!未找到引用源。A2．如图，在错误!未找到引用源。NBCD错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，则m+2n的值为错误!未找到引用源。３．错误!未找到引用源。M4．单位正方体错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。这八个面截这个单位正方体，则含正方体中心的那一部分的体积为.５．设数列错误!未找到引用源。6．已知实数x，y，z知足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为错误!未找到引用源。7．若错误!未找到引用源。8．空间有100个点，任4点不共面，用若干条线段连结这些点，如果不存在三角形，最多可连错误!未找到引用源。条线段．二、解答题（共５６分）9．（16分）设错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。之和为21，第2项、第3项、第4项之和为33．1）求数列错误!未找到引用源。的通项公式；2）设会合错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，求证：错误!未找到引用源。．10．（20分）过抛物线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的距离均不为整数．11．（20分）已知二次函数错误!未找到引用源。有两个非整数实根，且两根不在相邻两整数之间．试求a，b知足的条件，使得一定存在整数k，有错误!未找到引用源。成立．二试一．（40分）如图，已知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。求证：错误!未找到引用源。AFEP二．（40分）设错误!未找到引用源。．三.（50分）已知n个四元会合错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。，试求n的最大值．这里错误!未找到引用源。四．（50分）设错误!未找到引用源。为正整数错误!未找到引用源。的二进制表示数的各位数字之和，错误!未找到引用源。为数列错误!未找到引用源。的前n项和.若存在无穷多个正整数n，知足错误!未找到引用源。，且m错误!未找到引用源。，则称错误!未找到引用源。是“好数”.试问：1）2，3，5是否都是好数？2）错误!未找到引用源。是否都是好数？模拟试题二全国高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：（每题7分，合计56分）1.若函数yf(x)图象经过点（2，4），则yf(22x)的反函数必过点__________a、b、c是从会合1，2，3，4，5中随意选用的3个不重复的数，则abc为奇数的概率为___________3.已知数列an的通项公式是an(n1)4n41，则数列an的前n项和Sn=_____(n1)2n214.抛物线y1x2的准线与y轴交于点A，过A作直线交抛物线于点M、N，点B在8抛物线对称轴上，且(BMMNMN，则OB的取值范围是____________)25.已知,R，直线xy1与xy1sinsincossincoscossincos的交点在直线yx上，则sincossincos6.如图，四面体ABCD中，ADB为等腰直角三角形，AADB900，AD1，且BDCADC600，则异面直线AB与CD的距离为______________7.已知点A(2,2)、P(x,y)，且x,y知足DBC0x,y2xy2，则PA长的取值范围是________112xy8.将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_不同的染法.（用数字作答）二、解答题：（三题合计44分）9.（此题14分）已知二次函数fxax2bx1a0,bR，设方程fxx有两个实数根x1,x2．①如果x12x24，设函数fx的对称轴为xx0，求证：x01；②如果0x12，且fxx的两实根的差为2，求实数b的取值范围.7an45an23610．（此题15分）数列{an}知足：a01,an12,nN.证明：（1）对随意nN,an为正整数；(2)对随意nN,anan11为完全平方数11.（此题15分）用纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分红200个相等的扇形，且将每个圆的100个扇形涂成白色，另100个扇形涂成黑色们的圆心重合.求证：总能够旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，的同色扇形上..将小圆叠放在大圆的上面，使得它且小圆起码有100个扇形位于大圆第二试1.（此题50分）凸四边形ABCD中，AB是最长边，点M,N分别在边AB,BC上，且线段AN,CM平分四边形ABCD的面积，求证：线段MN平分对角线BD.2.（此题(xyyzzx)(xyz)50分）定义f(x,y,z)y)(yz)(z，其中x,y,z为正实数，求(xx)f(x,y,z)的值域.3.（此题50分）已知一个给定的平面点集中，随意三点都可被一个半径为证：这个点集能被一个半径为1的圆覆盖.1的圆覆盖，求（此题50分）设n是一个固定的正整数，证明：对任何非负整数k，下述不定方程4.x13x23...xn3y3k2有无穷多个正整数解(x1,x2,...,xn;y).模拟试题三全国高中数学联赛模拟试卷第一试一，填空题（每题7分，共56分）1、设f(x)适合等式f(x)2f(1)x,则f(x)的值域是x2x,y,不等式xyaxy都成立，则a的最小值是、若对所有正数3、等差数列3，10，17，，2005与3，8，13，，2003中，值相同的项有个.4、在平面直角坐标系中，定义点Px1,y1、Qx2,y2之间的“直角距离”为d(P,Q)x1x2y1y2.若Cx,y到点A1,3、B6,9的“直角距离”相等，其中实数x、y知足0x10、0y10，则所有知足条件的点C的轨迹的长度之和为．5、将一个44棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法.（用数字作答）6、若26292n为一个平方数，则正整数n7、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为2，乙在每局中获胜的概率为1，33且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的希望E为8、设函数f(x)x33x26x14，且f(a)1，f(b)19，则ab二、解答题（第9题14分，第10，11题各15分）9．已知抛物线y22px(p0)，其焦点为F，y一条过焦点F，倾斜角为(0)的直线交抛物线于A，B两点，连结AO（O为坐标原点），交准线于点B，连结BO，交准线于点A，求四边形ABBA的面积．10．数列an定义如下：a11，且当n2时，an已知an30，求正整数n．19OFxan1,当n为偶数时，21,当n为奇数时．an111．对一个边长互不相等的凸n(n3)边形的边染色，每条边能够染红、黄、蓝三种颜色中的一种，可是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？第二试（每题50分，共200分）1、已知，A、B、C、D是圆上顺次四点，且ABAD，BCCD，BAD的平分线交圆于X，BCD的平分线交圆于Y，在由这六个点组成的六边形中，如果有四条边的长度相等，那么BD必为圆的直径．2、a,b[0,1]ab(1)(1)的最大值和最小值．设，求Sa1ab1bxyzxy3、求所有知足方程组xzyxz的三元实数组(x,y,z)．yzxyz4、将8个车放到如图的9×9棋盘中，使得这8个车互不攻击且所在小方格颜色相同，问共有多少种不同的方法．（两车互不攻击是指这两个车不同在任何一行或任何一列）模拟试题四全国高中数学联赛模拟试题一试一、填空题（共56分，每题7分）1、函数f(x)log1sinx的单一递增区间是_______________________．22、将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有种.3、过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________.○1三角形○2正方形○3梯形○4五边形○5六边形______4、已知a（其中a,b是大于1的正整数，且a,b互质）化为最简二次根式后是mn形bp式，其中m,n,p是大于1的正整数，且m,p互质，如果mnp9，则ab的最小可能值是________.5、若对于x的方程x2(a2b26b)xa2b22a4b10的两个实数根x1,x2满足x10x21,则a2b24a4的最小值与最大值的积是_________.6、我们定义运算aba42a2b2b4，如5354252325416，3525423252542162252，用整数1，2，3，4和三个号组成一个算式，则这个算式的最大值是_________.x27、平面上知足拘束条件xy0的点(x,y)形成的地区为D，地区D对于直线y2xxy100对称的地区为E，则地区D和地区E中距离最近的两点的距离为___________.8、令p(n)表示正整数n的所有数字的和，如p(4)4,p(50)5,p(123)6，则p(1)p(2)p(3)p(2008)p(2009)的值是_____________.二、解答题（共44分）9、（14分）已知圆C1和圆C2的两条外公切线为x轴及直线l:ymx(m0)，若两个圆的一个交点为(9,6)，且两圆半径长度之积为68，求圆心C1和C2所在直线的方程和m.10、（15分）已知函数f(x)x2x1x2x1，求f(x)ax1的解集中元素的个数。11、（15分）如果a,b都是正实数，请给出一个你认为的最小正数t，使得知足abt的随意实数a,b，不等式aa1bb2成立，并证明你的结论.模拟试题五联赛模拟题一试一、填空题1.不等式x(x1)y(1y)的解集中x,y能使x2y2k成立时的k的最小值为．2.一个三位自然数(a1a2a3)如果同时有a1a2及a3a2称为凹数，（比如104、525、849都是凹数，而123、684、200都不是凹数），则所有凹数的个数是．3.x的各位数码之积为T(x)，各位数码之和为S(x)，p为若x是一个十进制四位整数，记素数，且T(x)pk，S(x)pp5，则x中的最小者是．4.已知复数列{an}的通项公式为an(1ii)ian1i)(1)(1(1)，则an等23n于5.一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1kV2，则kmin．6.x,yR且x3x13y2y，则xy的最大值是___________．7.已知x和y是实数，z1(x4)yi，z2(x4)yi，z1z210，令uxy34，则u的最大值为．8.平行六面体的8个极点中的随意三个极点为极点的所有三角形中，锐角三角形的最多可能个数是．二、解答题9.已知函数f(x)的定义域是(0,)，并且知足f(x)f(1)0．如果函数x1mxm的值．g(x)f()是奇函数，试求实数x110.已知数列{an}中，a11,an1an1(nN*)求证：a200518an211.已知圆O:x2y21和抛物线yx22上有三个不同的点P,Q,R．如果直线PQ和PR都与圆O相切．求证：直线QR也与圆O相切．二试一、ABC内接于半径为R的圆O，令I为ABC心里，r为内切圆半径，且I和O不重合，G为重心．证明:IGBCbc或bc3a，其中a,b,c分别为ABC三个内角A、B、C所对应的三边长．二、已知：a,b,c为正实数，且a4b4c43，证明：11114ab4bc4caR)，则知足条件的函数6c2，则(cotA.三、设a,b是正整数，知足a2b2abab1,f(a,b)ab，求f(a,b)所有可能1取到的整数值．四、某班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）．在一次考试中，随意两名学生的成绩互不相同．如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”．试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论．模拟试题六全国高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题（每题8分，共64分）1．从1,2,L,100中任取5个数（能够相同），则取到合数的个数的数学希望是.2．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直uuuruuuruuuruuuruur于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA、AB、OB成等差数列，且BF与FA同向．则双曲线的离心率为3．在ABC中，如果a2b24．已知会合M1,2,3,NA(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))，uuuruuuruuurDADCDB(cotB)tanC的值等于.1,2,3,4，定义函数f:MN．设点ABC的外接圆圆心为D，且(x)有＿＿＿＿个．5．设f(x)是定义在R上的函数，对随意的xR，都有f(x3）f(x)3,f(x2)f(x)2，如果f(1)2010，则f(2011)的值为.6．数列an知足:a11,an1(n1)an(nN*),则2010k.2nank1ak7．立方体ABCDA1B1C1D1中，点M,N分别在线段AB，BB1上（不包括线段的端点），知足AMB1N，则A1M与C1N所成角的取值范围是.8．若非负实数x,y,z知足x2y2z2x2y3z13，则(xyz)min.二、解答题（共56分）49．（此题满分16分）已知直线l:xmyq与椭圆：3x24y212交于不同两点A、B.设A对于椭圆长轴的对称点为A1，F为椭圆的右焦点，试求A1、F、B三点共线的充要条件.10．（此题满分20分）正数a,b,c同时知足：abc11119．求证：存在以a,b,c为三边长的4，2b2c2a三角形．11．（此题满分20分）数列a知足：a11,a22，an2an211，(n1,2,3,L).试求a.nanan212010（注：a表示不大于a的最大整数，即a的整数部分.）第二试一、（此题满分40分）如图，三角形ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆O分别与AC、AB交于D、E两点，圆O在D、E两点的切线交于点H，证明：HMBC．AODEBMCH二、（此题满分40分）已知a,b,c都是非负实数，且abc2，求Pabbcca的最大值．1c21a21b2三、（此题满分50分）设数列an知足：a1a21,an2an1an(nN*)．求证：对随意的nN*，a2n1都不含4q3型质因子（qN）．四、（此题满分50分）单位圆内或圆上有8个点，随意三点不共线．求证：总有某三个点为极点的三角形面积小于．8模拟试题七联赛模拟题一、填空题：以椭圆两焦点为直径端点的圆交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个交点和两个焦点，获得一个正六边形，则此椭圆的离心率为.2.在圆4cos上有两点A，B，它们的极角分别是5,2；由极点向直线5AB作垂线，垂足为H，则H点的极坐标是.3.A,B为锐角，则cos2A+cos2B=4sin7(AB)成立的充要条件是.一含有五项的等比数列，每一项都是小于100的正整数，这五项和为211，则这个数列中为完全平方数的项之和为.5.锐角△ABC中，AD是高线，ABAC42=17，4BC5AD17,△17ABC的面积为，曲线.4322－kxy34总可把圆22．对随意实数kx+kxy+y=0x=6y－6x+y1分红平分.2010.7.数N=(2k1)的末三位数是1已知方程x3－7x2+1=0的最大实根为t，则[t2000]被7除的余数_______.二、解答题：已知三棱锥Ａ—BCD在极点A处的三个面角（即∠BAC，∠CAD，∠DAB）分别为75°，90°，105°；从这个极点引三个侧面的高均为1，求这个棱锥的高.10．用1，2，3这三个数字结构n位数，但不允许两个1相邻，能结构多少个这样的n位数？11.已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a.如果直线l同时是C1和C的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.⑴a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；⑵若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.加试模拟题设△ABC中，E、F是AC、AB边上的随意点，O、O′分别是△ABC、2△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，知足BP＝FQ＝BF2.PEQCCE求证：OO′⊥PQ.AO'FEOPQBC2.求证：ln(n1)＜111L123n≤1＋lnn,n=1,2,;对于给定的正整数k，以f1(k)表示k的各位数字之和的平方；并设fn+1(k)=f1[fn(k)]，n=1,2,3,;试求f2010(22009)的值.4．某种彩票的对奖号是个三位数（000—999），开出的中奖号也是个三位数．买彩票时能够自选号码，如果对奖号与中奖号相同则中一等奖，如果对奖号与中奖号有两个数字相同（比如中奖号为123，对奖号为423或183或125等）则中二等奖．为保证能有彩票能中二等以上的奖，最少应买几张彩票？模拟试题八2010年数学奥林匹克协作体夏令营试题一试一、填空题：1求方程x22xsin(xy)10的实数解_____________2已知数列{an}知足a12,an12an1(nN*)，则a2010________4an63两位数ab(a0,b0)若知足(ab,ba)1，则称ab为好数，则好数共有_____个。4两相同的正四棱锥组成如下图的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各极点均在正方体的面上，则这样的几何体体积．．．的可能值有_______个。5若a是12b与12b的等比中项，则2ab。a的最大值为2b已知抛物线y24x及其上的一点P,226焦点F(1，0)和A(5，22)，则PAPF的最小值为。7有6个相同的红球和5个相同的白球放入一排1至100标号的盒子里，其中红球和白球间隔放置（即从左到右必须1红1白间隔放），并且红球盒子编号与白球标号不同奇偶，则共有_____种放置 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。8设常数k使得方程2x22y25xyxyk0在平面直角坐标系xOy中表示两条相uuuruuur交直线，交点为P.若点A,B分别在这两条直线上，且PAPB1，则uuuruuurPA?PB______.二、解答题：9已知x,y,z，wR，求Mxy2yz3zw的最大值。2y2z2w2x10数列{an}定义如下：a12,an124an2，而数列{b}定义为nbn2n1an,nN*（1）求{an}的通项公式（2）证明：bnbn1,nN*.（3）证明：bn7,nN*.x2y2A，P是椭圆上不同于A1,A的一个11已知椭圆221(ab0)，其长轴为A1ab动点，直线PA,PA1分别与同一条准线l交于M,M1准线两点，试证明：以线段MM1为直径的圆经过椭圆外的一个定点。二试1、在等腰△ABC中,AB=AC,D是边AC的中点,E是点D在BC上的投影,F是DE的中点.证明:BF垂直于AE的充要条件是:△ABC是正三角形.ADHFCBGE2、设△ABC的三边分别是a,b,c，且a+b+c=3.求证：13a2b2c24abc9332.3、设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，，dk，知足1=d10)的值域为(,1],1.f(x)=logg(x)=log2(kx2-2ax+2)的定义域为A,会合B=[1若A∩B≠Φ则实数,1],,2k的取值范围是___________;2.已知:设a,b为正实常数,θ为参变量,则知足xsinθ-ycosθ=x2y2且sin2cos212的点(x,y)的轨迹方程是a2b2x2y______________________；3.使得12n(n>2)为整数的最小正整数n=_________;4.如图y,已知⊙C的圆心C在抛物线x2=2py上(p>0)运动,且⊙C过定点A(0,p),点M,N为⊙C与x轴的A1的值域是______________;C?交点.如果|AM|x.则函数f(x)=xOx|AN|xMN5.对于所有自然数n,使得a(9·2010n+1)·2010n+(b-1)·2010n+1=(c·2010n+1)2恒成立,且b取最大值的实数组(a,b,c)等于_____________________；6.用红蓝两种颜色给排成一行的10个方格染色，每一格只染一种颜色，如果要求相邻两个方格不能都染红色，那么，所有染色方法的种数是_______________.7.设OABC是边长为1的正四面体，E、F分别为AB与OC的中点.则异面直线OE与BF的距离是________.O8.非负实数x,y,z知足x2+y2+z2=1.则f(x,y,z)=x+y+z-2xyz的最大F值是___________.AC.解答题(此题共3道满分44分)9.(14分)如图,已知A,B是椭圆EBx2y21(ab0)的左右顶a2b2yM点,P,Q是该椭圆上不同于极点的两点,若直线AP,QB相交于点M,P直线PB,AQ相交于点N.(Ⅰ)求证:MN⊥AB;ABxF1OF2QN(Ⅱ)若弦PQ过椭圆的右焦点F2,试求直线MN的方程.10.(15分)设a,b∈R,点集A={(n,na+b)|n∈Z},B={(m,m2+17)|m∈Z},C={(x,y)|x2+2y2≤66}.试求出所有的整数n,使得存在实数a,b知足A∩B≠Φ且(a,b)∈C.11.(15分)设定义域,值域都是实数集R的特别数函数f(x),g(x),满足对随意x∈R,都有f(g(x))=f(x),g(f(x))=g(x).(1)求f(x),g(x);(2)定义数列{an}:a1=3,a2=7,f(an2)+g(5)=f(an-1)g(an+1)(n≥2).二试题(此题共4道小题每题50分,满分200分)一.(50分)如图,半径分别为r,R的两圆Г1Г2相交于A,B两点,,过点B的一条直线分别交圆Г1,Г2于点C,D,过点B的另一条直线分别交圆Г1,Г2于点E,F.如果劣弧AC与劣弧AF长度之比为r∶ГR2.求证:F(Ⅰ)CD=EF;(Ⅱ)圆AEF与圆ACD的一个交点在线段FD上.AГ1ED二.(50分)设数列{xn知足1xx2(xn11)CB其中}:x=2011,nn1n,n=2,3,.表示不超过x的最大整数.求数列{xn}的通项xn..(50分)给定素数p,q,r.求证:对随意给定的正整数k,总存在无穷多个正整数n,使得pn+qn+rn-1,pn+qn+rn-2,,pn+qn+rn-k均为合数..(50分)设正整数a1,a2,,a2010知足:1）ai≠211(i=1,2,,2010),2）随意连续若干项之和≠211.2010求min{ai}.i1模拟试题十一全国高中数学竞赛模拟卷第一试一、填空题(每题8分，共64分)1．已知不等式x25x6x2a的解集A知足A1。，则a2．求值tan18otan36otan36otan54otan54otan72oLtan144otan162o。3．在等差数列an中，amn3,anm3，则amn。4．某底面是单位圆的圆锥拥有性质：在过极点的所有截面中，以轴截面面积最大。则该圆锥的体积最小值为。5．设非零复数a,b,c知足aabc，ab3c，c1，n(ab)2000则nc(ab)2000。6．用1、2、3这三个数字写六位数，要求任何两个相邻的数位不能都为1，则总合可写出个不同的六位数。7．已知a0，如果函数f(x)(xa)2在[1,1]上为增函数，则a的取值会合为。x218．将2个相同的白球，3个相同的红球，4个相同的黑球全部投入A、B、C三个袋中，则无空袋的放法有种。二、解答题(共56分)9．(16分)已知数列an知足：ann(1n5)a1a2Lan11(n6)记bna12a22Lan2a1a2Lan。求数列bn的通项公式；(2)求出所有的正整数n，值得bn21bnbn2。10．(20分)定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)(1)设g(x)F(1,log2(x3ax2bx1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在xx0(x0(1,4))处有斜率为-8的切线，求a的取值范围；(2)当x,yN且xy时，求证：F(x,y)F(y,x)。uuuruuuruuuruuur11．(20分)已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且知足|PC||BC|PBBC.1）求点P的轨迹C对应的方程；2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2知足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点。第二试一、(40分)已知ABC的心里为I,eO1,eO2,eO3分别过B、C，A、C和A、B且与eI直交。eO1与eO2相交于另一点C'，同理可得点B'和点A'。求证：A'B'C'的外接圆半径等于eI半径的1。2二、(40分)设xy1,x,yR，求证：xy1yx1。xyy1x1xyx1y1三、(50分)已知P为质数n，m均是正整数，试求方程pnm38的所有解。四、(50分)证明：在随意2n2个人中，能够找到两个人A、B，使得其余2n个人中，至少有n个人他们中的每一个，或许都认识A、B；或许都不认识A、B。模拟试题十二高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在横线上．1．对于随意的x，都有acosxbcos2x1，则ab的最大值是。2．对于随意实数a，b，不等式maxab,ab,2010bC恒成立，则常数C的最大值是．（注：maxx,y,z表示x，y，z中的最大者．）3．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与该直平行六面体表面所围成的几何体中较小的体积值为___________．4．已知四个整数a,b,c,d都是偶数，且0abcd，da90，若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则abcd的值等于．x2y23y82305．已知椭圆1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x164上.当F1PF2取最大值时，PF1的值为．PF26．已知数列{an}的前n项之和为Sn，且Sn22SnanSn10，n1,2,3,L，则Sn的表达式为___________________．7．已知定义在R上的偶函数f(x)的图象对于直线x1对称，且当0x1时，f(x)21x2，若直线yxa与曲线yf(x)恰有三个交点，则实数a的取值范围为________________．8．某食品厂制作了4种不同的精巧卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入一张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购置该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________________．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）已知抛物线y24x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦、ABCD，设弦AB、CD的中点分别为M、N.(1)求证：直线MN必过定点；(2)分别以弦AB和CD为直径作圆，求证：两圆相交弦所在的直线经过原点.2．（本小题满分20分）设函数f(x)x2axb（其中a,b为实常数），数列n和{bn}{a}定义为：a11，2an1f(an)15，bn1（n1,2,3,L），已知不等式2an2f(x)2x24x30对随意实数x均成立，数列{bn}的前n项的和记为Sn．（1）求实数a、b的值；（2）若数列{b}的前n项的乘积记为Tn，证明：对随意正整数n，2n1TS为定值；nnnn（3）证明：对随意正整数n，都有214Sn2．53（．本小题满分20分）设x1,x2,L,xn为n个正实数（n2,nN），且x1x2Lxn1，将x1,x2,L,xn中最大的1x11x1x21x1x2Lxn数记为S．(1)令yk1x1x2Lxk，k1,2,L,n，求证：y1y2Lyn1；S对于给定的正整数n，n2，求S的最小值，并求出S取最小值时x1,x2,L,xn的值．第二试一、（本小题满分40分）如图，已知两圆O1与O2内切，另四个圆O3、O4、O5、O6均与O1内切，与O2外切，O5且连心线O3O4、O5O6与O1O2的夹角相等，求证：点O4O3、O4、O5、O6共圆．O1二、（本小题满分40分）设xi4,10,i=1,2,3,n．试O3O2O6求下面式子的最大值与最小值：nxinSxi,其中，xn1x1．i1xixi1i1三、（本小题满分50分）正整数m，n均大于1，已知nn1n2Lnm恰巧有3个不同的质因子，求所有知足要求的数组（m，n）．四、（本小题满分50分）甲、乙两人在一张无限大的方格棋盘上轮番下棋，每次能够将一个棋子放入随意一个方格中，且每个方格中至多放入一个棋子，现在由甲先下一个黑棋，乙接着下一个白棋，然后甲再下一个黑棋，乙再下一个白棋，，如此进行下去．如果在棋盘上横着或竖着连出5个黑棋，那么甲获胜，如果连出5个白棋，那么乙获胜．请问：分别对于甲、乙两人，是否各自存在一种策略，能够使得敌手无法获胜？说明原因．模拟试题十三高中数学竞赛模拟试卷一试一、填空题3xn120051．给定数列{x}，x=1，且xxn==，则n1n+13xnn12、一个七位数a，其各位数字相加获得b，已知ab仍为一个七位数，且ab各位数字的其中六个为1，2，3，4，6，7，如果小明足够聪明，他能猜中第七个数字的概率为。3．z1、z2分别在实轴和虚轴上运动，保持|z1-z2|=2恒定，而z3=z1(1+i)-z2i，则|z3|的最大值为_________.224.在椭圆xy1中，F是左焦点，点C是左准259线上一点，过C点的直线l交椭圆于A、B两点，连结FA、FB、FC，且FAB50，FBA20，则FCA__________________。5．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.6．对每一实数对知足f(a)=a(x,y)，函数f(t)知足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1的所有整数a=__________.。若f(-2)=-2，试求7.设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人获得的铅笔数不同，最少者获得1支，最多者得到12支，则有种不同的分法。8、已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的菱形，侧棱长为x，BAD60o，A1ABA1AD45o，当x___________时，AC1平面1．ABD二、解答题9、已知ABC中，AC=2AB.过点C、A分别作ABC外接圆的切线，切点分别为C和A，若两条切线相交于点P。直线BP交圆于点D.求证：直线?BP平分BAC。10．已知a,b,c∈R+，且知足kabcc≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。ab11．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,（1）当b>0时，若对随意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；（2）当b>1时，证明：对随意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b12、已知数列{an}知足a1a，an1(4n6)an4n10．2n1（Ⅰ）判断数列an2是否是等比数列，假如等比数列，请给出证明，若不是，请说明2n1原因；（Ⅱ）当a1时，求数列{an}的前n项和为Sn；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明当n3时，1111．S3S4Sn10二试一、（50分）已知Q为以AB为直径的圆上的一点，Q≠A,B，Q在AB上的投影为H，以Q为圆心，QH为半径的圆与以AB为直径的圆交于点C、D．证明CD平分线段QH．二、（50分）设f(x)xnax2bxc,n为自然数，已知f(1)0,f(1)6,f(2)9，f(3)4,f(6)119，求f(x)．三、（50分）是否存在1000000个连续整数，使得每一个都含有重复的素因子，即都能被某个素数的平方所整除？四、（50分）设||为子集XS中元素的个数；又为SX，是X的补集；Ci是ai对Xk个参赛选手有相同的裁决，证明kb1.a2b模拟试题十四一.填空题1.已知f(x)1x,对于nN,定义f1(x)f(x),fn1(x)f[fn(x)],若f13(x)f31(x),x则f16(x)的解析式为______________.2.设abcd,若变量x,y,z,t是a,b,c,d的某一个排列,那么表达式n(x,y,z,t)(xy)2(yz)2(zt)2(tx)2能够取____________个不同的值.3.设Sn是会合A{1,1,L,1n1}含有3个元素的所有子集的元素之和，则22limSn__________.n2n是方程ax224.已知,bxc0(a,b,c为实数)的两根,且是虚数,是实数,则5985)k(=_____________.k15.当且仅当n被k整除时，多项式x2n1(x1)2n不被x2x1整除，则整数k=_________.6.已知纯虚数x1,x2,L,x1999的模均为1,则x1x2x2x3Lx1998x1999x1999x1被4除所得余数为_______________.7.设会合M{x|0x11,xZ},F{(a,b,c,d)|a,.b,c,dM},映射f:FZ使得fff(a,b,c,d)abcd,已知(u,v,x,y)39,(u,y,x,v)66,则(x,y,u,v)____________.8.12个朋友每周会餐一次,每周他们分红三组,每组4人,不同组坐不同的桌子,若要求这些朋友中随意两人起码有一次同坐一张桌,则起码要________周.二．解答题1F1,F2是椭圆x2y21的两个焦点，点P是椭圆上一点，且点P不在x轴上，求值．a2b2tanPF1F2tanPF2F1.22992.数列{an}中,ann3(n2i2)2,求该数列前n项和Sn.i13.定义在(-1,1)上的函数f(x)知足:1)对随意x,y(1,1)都有f(x)f(y)f(xy);1xy2)当x(1,0)时,有f(x)0.111)1求证:f()f()Lf(n23nf()(nN).51112第二试一.如图在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:BGCGACEAC.AFDE二．设a,b,c0,abbcca1,求证:316b316c316a1.abcabc三．证明:对于大于2的随意正整数a,存在无穷多个nN,使得n|an1.四．设p是奇质数,a,b是小于p的正整数,证明:abp的充分必要条件是对任何小于p的正整数n,均有[2an][2bn]等于正奇数.pp第十五套：联赛模拟一、填空题1.若不等式