初中数学几何模型

经典模型系列 手册 华为质量管理手册 下载焊接手册下载团建手册下载团建手册下载ld手册下载 模型一：手拉手模型—全等等边三角形DOODCEECABAB条件：OAB,OCD均为等边三角形结论：①OAC≌OBD;②AEB60③OE平分AED（易忘）DOOECEABAB~1~~1~经典模型系列手册等腰RTDCDOOECEABAB条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形结论：①OAC≌OBD;②AEB90③OE平分AED（易忘）OE导角核心图形AB~2~经典模型系列手册任意等腰三角形DDOOCCEABAB条件：OAB,OCD均为等腰三角形且AOBCOD结论：①OAC≌OBD;②AEBAOBOEAOEDOABOBA③OE平分AED（易忘）模型总结：核心图形如右图，核心条件如下：①OAOB，OCOD②AOBCOD~3~经典模型系列手册手拉手模型—全等总结DDOOCCEABAB条件：两个等腰三角形；顶角相等；顶角共点。结论：顶角的两条边分别相连组成的新三角形全等(三角形OAC≌三角形OBD）。构成8字相似三角形(图中有4对8字形相似）。结论：①OAC≌OBD;②AEBAOBOEAOEDOABOBA③OE平分AED（易忘）~3~ABAB条件：OAB,OCD均为等腰三角形经典模型系列手册模型二：手拉手模型—相似OOCDDCABAB条件：CD∥AB，将OCD旋转至右图位置结论：右图OCD∽OABOAC∽OBD且延长AC交BD与点E必有ΑEBAOB非常重要的结论，必须会熟练证明~4~~1~经典模型系列手册手拉手相似（特殊情况）DOOCDCEABAB当AOB90时，除OCD∽OABOAC∽OBD之外BDODOB还会隐藏tanOCDACOCOA满足BDAC,若连结AD、BC,则必有AD2BC2AB2CD21SACBD（对角线互相垂直四边形）ABCD2~5~经典模型系列手册模型三：对角互补模型（全等型—90°）AAMCCDDNOEBOEB条件：①AOBDCE90②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOE2OC1③SSSOC2ODCEOCDOCE2辅助线之一：作垂直，证明CDM≌CEN~6~~1~~1~经典模型系列手册ACDBOEF条件：①AOBDCE90②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOE2OC1③SSSOC2ODCEOCDOCE2辅助线之二：过点C作CFOC证明ODC≌FEC~7~经典模型系列手册当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图AMCNEBOD以上三个结论：（辅助线之一）①CDCE不变②OEOD2OC（重点）1③SSOC2（难点）OCEOCD2请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握~8~~1~经典模型系列手册当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图ACEBOFD以上三个结论：（辅助线之二）①CDCE不变②OEOD2OC（重点）1③SSOC2（难点）OCEOCD2请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握~9~经典模型系列手册ACDOEB细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结论“CDCE”互换条件：①AOBDCE90②结论：①平分；②ODOE2OC1③SSSOC2ODCEOCDOCE2~10~~7~经典模型系列手册（全等型—120°）ACDOEB条件：①AOB2DCE120②OC平分AOB结论：①CDCE；②ODOEOC3③SSSOC2ODCEOCDOCE4请模仿（全等形—90°）辅助线之一完成证明~11~经典模型系列手册辅助线之二：在OB上取一点F，使OF=OC证明OCF为等边三角形（重要）ACDOEFB结论：①CDCE；②ODOEOC3③SSSOC2ODCEOCDOCE4必须熟练，自己独立完成证明~12~经典模型系列手册当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图CAEOFBD以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握~13~经典模型系列手册（全等型—任意角）ADCOEB条件：①AOB2,DCE1802②CDCE结论：①OC平分AOB；②ODOE2OCcos③2SODCESOCDSOCEOCsincos难度较大，记得经常复习~14~经典模型系列手册当∠DCE一边交AO延长线上于点D时，如图ACBOED以上三个结论：（辅助线之二）①____________________②_______________________（重点）③________________________（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响~15~经典模型系列手册（对角互补模型--相似型）AADDCCMOEBOENB如图，若将条件“OC平分AOB”去掉条件：①AOBDCE90不变，COE，结论中三个条件又该如何变化？结论：①CECDtan；②(ODtanOE)cosOC1③Stan2SOCtanOCDOCE2~16~经典模型系列手册ADCOEFB证明：过点C作CFOC，交于点∵DCEOCF90∴DCOECF∵AOBDCE180∴CDOCEO180∴CDOCEF∴CDO∽CEFEFCECF∴tan（关键步）DOCDCO~17~经典模型系列手册∴结论①得证∴EFODtan∵(OEEF)cosOC∴结论②得证SCF∴CEF()2tanSCDOCO∴2SCEFCDOtan∵SSSOCECEFOCF1且SOC2tanOCF2∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习~18~经典模型系列手册对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“OC平分AOB”ACDOEBCDECEDCOACOB相等是如何推导~19~经典模型系列手册角含半角模型(90°)DADAFFBCCEGBE条件：①正方形ABCD；②EAF45结论：①EFDFBE②CEF周长为正方形周长一半也可以这样：条件：①正方形；②结论：①口诀：角含半角要旋转~20~经典模型系列手册角含半角模型(90°)ADCEBF条件：①正方形ABCD；②EAF45结论：①EFDFBE辅助线：ADADCCEBEBFF~21~经典模型系列手册角含半角模型(90°)AAFBDECBDEC条件：①等腰直角ABC；②DAE45结论：BD2CE2DE2若DAE旋转到外部时FAACDBECDBE结论：仍然成立~22~经典模型系列手册角含半角模型(90°)变形ADDHAHFFGGBCBCEE条件：①EAF45;结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接（方法不唯一）∵DACEAF45,∴DAHCAE∵ADHACE45,∴ADH∽ACEDAAC∴∴AHE∽ADCAHAE~23~经典模型系列手册半角模型总结DAAFBCCEBDE半角模型：角含半角；角两边相等：AB=AC。条件：四边形对角和为180°:结论：①EF=DF±BE(半角在外+变-）；②AE、AF分别平分∠BEF和∠DFE（半角在外只有一条角平分线）;③△CFE周长=BC+DC（半角在外不成立）条件：∠A为任意角的半角模型，相邻角∠B=∠D=90°,∠B和∠D为对角：结论：A到EF的距离等于AB(半角在内在外都成立）。条件：半角45°（等腰直角三角形或正方形）：结论：BD²+CE=DE²(半角在内在外都成立）。~3~经典模型系列手册倍长中线类模型ADADFFBCEHBEH条件：①矩形ABCD；②BDBE③DFEF结论：AFCF模型提取：①有平行线AD∥BE②平行线间线段有中点可以构造8字全等ADF≌HEF~24~经典模型系列手册倍长中线类模型FAMDAMDEECBCB条件：①平行四边形；ABCD②BC2AB；③AMDM；④CEAB结论：EMD3MEA辅助线:有平行AB∥CD，有中点延长EM，构造AME≌DMF，连接CM构造等腰EMC,MCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化~25~经典模型系列手册相似三角形360度旋转模型（倍长中线法）CCGFFDDABABEE条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连接CG、BG、证明BDG为等腰直角突破点：ABD≌CBG难点：证明BADBCG~26~经典模型系列手册相似三角形360度旋转模型（补全法）CCGFFDDABABEEH条件：①ADE、ABC均为等腰直角②EFCF结论：①DFBF；②DFBF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH~27~经典模型系列手册任意相似直角三角形360度旋转模型（补全法）HOGOADADBBECEC条件：①OAB∽ODC②；③结论：①AEDE；②AED2ABO辅助线：延长BA到点G，使AGAB，延长CD到点H使DHCD，补全OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化~28~经典模型系列手册任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）OOADADBBECECM条件：①OAB∽ODC②OABODC90；③BECE结论：①AEDE；②AED2ABO辅助线：延长DE至M，使MEDE，将结论的两个条件转化为证明AMD∽ABO，此为难点，将继续转化为证明ABM∽AOD,使用两边成比且夹角等此处难点在证明ABMAOD~29~经典模型系列手册最短路程模型之一（将军饮马类）AA'l1PA+PBPBABl2PlQB'B'PA+PQ+BQAA'AA'BPl1llPQQ2AP+PQ+QBB'AP+PQ+QB\B总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定~30~经典模型系列手册最短路程模型之二（点到直线类）AAHPQ'CP垂线段最短OQMB条件：如右图①OC平分AOB②M为上一定点③P为上动点④Q为上动点求：MPPQ最小时，、的位置辅助线：将作关于对称点Q'，转化PQ'PQ，过点作MHOAMPPAMPPQ'MH（垂线段最短）~31~经典模型系列手册最短路程模型之二（点到直线类）llA定点A所求点P动点Q定点PBBC条件：如图，点A、B为定点，P为动点1问题：点在何处，BPAP最短2结论：以为顶点作PAC30，过点作1PQAC，转化PQAP,过点作2的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）~32~经典模型系列手册最短路程模型之二（点到直线类）llA定点A所求点P动点Q定点PBBC条件：如图，点A、B为定点，P为动点2问题：点在何处，BPAP最短2结论：以为顶点作PAC45，过点作1PQAC，转化PQAP,过点作2的垂线与AP的交点为所求~33~经典模型系列手册最短路程模型之二（点到直线类）yyAAPPDEBOxBOCx条件：A(0,4)、B(2,0)，Pn(0,)5问题：n为何值时，PBPA值最小55结论：①x上取点C(2,0)，使sinOAC5②过点B作BDAC，交y轴于点为所求1③tanEBOtanOAC，即E(0,1)2~34~经典模型系列手册最短路程模型之三（旋转类最值模型）B最大值位置AO最小值位置条件：①线段OA4,OB2()OAOB②绕点O在平面内360旋转问题：AB的最大值，最小值分别为多少？结论：以点为圆心，为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”最大值：OAOB；最小值：OAOB~35~经典模型系列手册最短路程模型之三（旋转类最值模型）CBAOP条件：①线段OA4,OB2②以点O为圆心，，OC为半径作圆③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点问题：若PA的最大值为10，则OC6若的最小值为1，则OC3若的最小值为2，则PC的取值范围是02PC~36~经典模型系列手册最短路程模型之三（旋转类最值模型）CCPBAOPBAO条件：①RtOBC，OBC30②OC2;③OA1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；⑤OBC绕点O旋转结论：PA最大值为OAOB1231最小值为OBOA32如右图,圆的最小半径为到垂线段长~37~经典模型系列手册最短路程模型之四（动点在圆上）DEPMQFAOCB条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定OP绕点旋转问题：点Q在什么位置时，EPMB最小辅助线：连接DQ、QC，当、D、C三点共线时，EPMBDQQCDC最小~38~~35~~35~经典模型系列手册最短路程模型之四（动点在圆上）ADADPPMBCBNEC条件：①正方形ABCD且边长为4；②B的半径为2；③P为上动点问题：求PD(PC/2)最小值辅助线:过点作EM∥PC，取BE中点N转化思路：将PC/2转化ME，将转化为MN，因此MDMN的最小值为DN长度总结：的比值不是随意给出的，而是圆的半径r/BC~39~经典模型系列手册二倍角模型AAA'BCBC条件：ABC中，BC2辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A'，连接AA'、BA'、CA'则为ABC的角平分线，那么BAAA''CA（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，但并不是唯一作法~40~经典模型系列手册相似三角形模型（基本型）AEDAADDEEBCBCBC字型A8字型A字型平行类：DE∥BCADAEDE结论：(注意对应边要对应)ABACBC模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第20题的第二问也经常会考查“A字型”“8字型”相似，建立方程。~41~经典模型系列手册相似三角形模型（斜交型）AAAAEEEEDCBBBDCCBC斜交型斜交型斜交型双垂型条件：如左面两个图AEDACB90结论：AEABACAD条件：如右面两个图ACEABC结论：AC2AEAB第四个图还存在ABECBCACBC2BEBA,CE2BEAE~42~经典模型系列手册相似三角形模型（一线三角型）AAEAEEBCDBCBCDD条件：左图：ABCACECDE90中图：ABCACECDE60右图：ABCACECDE45结论：所有图形都存在的结论①ABC∽CDE；②ABDEBCCD一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系~43~经典模型系列手册相似三角形模型（圆幂定理型）AADPAPCCPCBBBD条件：中图，PA为圆的切线结论：左图：PAPBPCPD中图：PA2PCPB右图：以上结论均可以通过相似三角形进行证明~44~