数学分析习题答案

1．计算下列二重积分：（1）SKIPIF1<0，其中D由抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所围成的区域；（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，其中为图21-9中阴影部分；（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；解（1）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<02．求由坐标平面及SKIPIF1<0所围成的角柱体的体积.解：角柱体如图所示，阴影部分为角柱体在SKIPIF1<0平面上的投影区域SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（1）计算二重积分SKIPIF1<0，其中D是由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的区域。（2）计算二重积分SKIPIF1<0，其中D由SKIPIF1<0围成。（1）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（2）解:（结合图形）SKIPIF1<0SKIPIF1<04．计算二重SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0所围成的区域。解：作图y=-x3分区域D为D1和D2，利用对称性知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则I=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。5．计算第二型曲线积分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为任意包含原点（不通过原点）的有界闭区域的边界曲线，逆时针方向。解:P=SKIPIF1<0，Q=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所围区域D，由于函数Q和P在区域D内的原点不连续，且不具有连续的一阶偏导数，作SKIPIF1<0，边界为SKIPIF1<0，规定方向为顺时针方向。Q=SKIPIF1<0,P=SKIPIF1<0且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0由格林公式有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0是逆时针方向，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0从0变化到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<06．利用Green公式计算下列积分：SKIPIF1<0，其中L是圆周SKIPIF1<0的上半部分，方向从（0,0）到点（2,0）；解：记O（0，0），A（2,0）.位于SKIPIF1<0轴上的线段SKIPIF1<0与L合起来形成封闭曲线，封闭曲线所围的区域设为D，且SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，于是利用Green公式得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.7．应用格林公式计算下列曲线积分；（1）SKIPIF1<0，其中L是以SKIPIF1<0为顶点的三角形，方向取正向；（2）SKIPIF1<0，其中m为常数，AB为由SKIPIF1<0到SKIPIF1<0经过圆SKIPIF1<0上半部的路线.（3）应用格林公式计算曲线积分:SKIPIF1<0其中L为上半圆周SKIPIF1<0从(a,0)到SKIPIF1<0的一段.解(1)作图：AB的方程为:SKIPIF1<0,BC的方程为:SKIPIF1<0CA的方程为:SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0把三角形域分成两部分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,于是原式=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(2)在SKIPIF1<0轴上连接点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0这样就构成封闭的半圆形SKIPIF1<0,且在线段SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0而SKIPIF1<0.由格林公式得:SKIPIF1<0因此,原式=SKIPIF1<0.（3）解以SKIPIF1<0为半径的上半圆域D,应用格林公式有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+0=SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<08．验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0沿在右半面的路线；（4）SKIPIF1<0沿不通过原点的路线；（5）SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0为连续函数。解（1）因P=SKIPIF1<0所以P与Q满足定理条件，故积分与路线无关。于是，取路线为SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故由定理21.12知该积分与路线无关.因此SKIPIF1<0(3)因SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.因此,积分与路线无关,所以SKIPIF1<0(4)当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0是全微分,故积分与路线无关,且原式=SKIPIF1<0(5)因SKIPIF1<0为连续函数,则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的原函数,于是SKIPIF1<0可见,积分与路线无关,从而SKIPIF1<0SKIPIF1<09．求下列全微分的原函数:(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0解(1)由于SKIPIF1<0从而积分与路线无关.故其原函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由于SKIPIF1<0,从而积分与路线无关,因此被积式为全微分,设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的全微分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0曲线积分和路径无关，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<010．用极坐标计算下列二重积分:(1)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为圆域:SKIPIF1<0;(4)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为圆域:SKIPIF1<0.(5)计算SKIPIF1<0，其中D是由SKIPIF1<0所围成的闭区域解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)应用极坐标变换后积分区域SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(3)由对称性有SKIPIF1<0=SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0(5)解：SKIPIF1<011．（1）计算下列三重积分：SKIPIF1<0其中V是由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所确定.SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0由曲面SKIPIF1<0=SKIPIF1<0、z=SKIPIF1<0SKIPIF1<0围成的闭区域；（3）SKIPIF1<0，其中v是由曲面SKIPIF1<0与z=4所围的区域；解(1)由于被积函数为SKIPIF1<0,因此可以把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分。又由于区域V用平行于xy平面的平面截得的是一个圆面，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0（2）解：令x=rcosSKIPIF1<0,y=rsinSKIPIF1<0,z=zSKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）解：SKIPIF1<0令x=rcosSKIPIF1<0,y=rsinSKIPIF1<0,z=zSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<012．计算下列第一型曲面积分：（1）SKIPIF1<0其中S是上半球面SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0其中S为立体SKIPIF1<0的边界曲面；（3）SKIPIF1<0其中S为柱面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0所截取的部分；（4）SKIPIF1<0其中S为平面SKIPIF1<0在第一卦限中的部分.（5）SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是球面SKIPIF1<0。解(1)因SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(2)面积S由两部分SKIPIF1<0组成,其中SKIPIF1<0它们在Oxy面上的投影区域都是SKIPIF1<0由极坐标变换可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0（5）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0由 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意可知，D是关于x,y,z轴对称SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<013．计算下列第二型曲面积分：（1）SKIPIF1<0，其中S为由SKIPIF1<0六个平面所围的立方体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面并取外侧为正向；（2）SKIPIF1<0，其中S是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向；（3）SKIPIF1<0，其中S是由平面SKIPIF1<0所围的四面体面并取外侧为正向；解(1)因为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以,原积分=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)由对称性知须计算其中之一即可由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故原积分=SKIPIF1<0(3)由积分对称性知原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<014．应用高斯公式计算下列曲面积分：（1）SKIPIF1<0，其中S是单位球面SKIPIF1<0的外侧；（2）SKIPIF1<0，其中S是立方体SKIPIF1<0表面的外侧；（3）SKIPIF1<0，其中S是锥面SKIPIF1<0与平面z=h所围空间区域SKIPIF1<0的表面，方向取外侧；（4）SKIPIF1<0，其中S是单位球面SKIPIF1<0的外侧；（5）SKIPIF1<0，其中S是单位球面SKIPIF1<0的外侧。（6）利用高斯公式计算曲面积分SKIPIF1<0,其中S是边长为a的正方体外侧。（7）利用高斯公式计算曲面积分SKIPIF1<0，其中S是SKIPIF1<0上半球面外侧。（8）利用高斯公式计算曲面积分SKIPIF1<0，其中S是SKIPIF1<0的上半球面外侧。（9）利用高斯公式计算曲面积分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0上SKIPIF1<0的部分，并取上侧。解（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用柱面坐标变换：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用球面坐标变换：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（5）原式SKIPIF1<0（6）解：QUOTESKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（7）解：取SKIPIF1<0SKIPIF1<0，方向向下SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（因为SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（8）取SKIPIF1<0，方向向下SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用球面坐标变换：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（因为SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（9）解：取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用柱面坐标变换：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<015．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0解：（1）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0，即收敛区间为SKIPIF1<0，但当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0均发散，所以级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时也发散，于是这个级数的收敛区域为SKIPIF1<0。（2）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0，但当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于级数SKIPIF1<0收敛，所以级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0也收敛，于是这个级数的收敛区域为SKIPIF1<0。（4）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0，这个级数的收敛区域为SKIPIF1<0。（5）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0，于是这个级数的收敛区域为SKIPIF1<0。（6）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以收敛半径SKIPIF1<0，因而级数SKIPIF1<0的收敛区间为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0收敛，当SKIPIF1<0时，级数为SKIPIF1<0，而由于SKIPIF1<0～SKIPIF1<0且SKIPIF1<0发散，故此时原级数发散，于是可得级数SKIPIF1<0的收敛区域为SKIPIF1<0。（7）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而收敛半径SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可见级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时发散，故这个级数的收敛区域为SKIPIF1<0。16．应用逐项求导或逐项求积分 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0解：（1）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是发散级数，所以幂级数的收敛区域为SKIPIF1<0，设其和函数为SKIPIF1<0，于是当SKIPIF1<0时，逐项求导数可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）（2）由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛区域为SKIPIF1<0，设其和函数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）（3）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，这个级数发散，所以幂级数的收敛区域为SKIPIF1<0，设其和函数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）(4)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0=1，所以收敛半径SKIPIF1<0=1，当SKIPIF1<0时级数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都收敛，故这个幂级数的收敛区域是SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<017．确定下列幂级数的收敛域，并求和函数：（1）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；解：（1）因为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都发散，所以收敛域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<018.（1）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0收敛（2）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0收敛（3）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为调和级数，发散SKIPIF1<0SKIPIF1<0发散（4）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0为调和级数，发散SKIPIF1<0发散（5）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛（6）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛（7）判断SKIPIF1<0的收敛性解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛，SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！