拉普拉斯变换公式总结

PAGE/NUMPAGES拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析根本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义与它们的运用。能根据时域 电路 模拟电路李宁答案12数字电路仿真实验电路与电子学第1章单片机复位电路图组合逻辑电路课后答案 模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以与拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点拉普拉斯变换的定义与定义域定义单边拉普拉斯变换：正变换逆变换双边拉普拉斯变换：正变换逆变换定义域假设时，那么在的全部围收敛，积分存在，即的拉普拉斯变换存在。就是的单边拉普拉斯变换的收敛域。与函数的性质有关。拉普拉斯变换的性质线性性假设,,,为常数时，那么原函数微分假设那么式中是r阶导数在时刻的取值。原函数积分假设，那么式中延时性假设，那么s域平移假设，那么尺度变换假设，那么〔a0〕初值定理终值定理卷积定理假设，，那么有=拉普拉斯逆变换局部分式展开法首先应用海维赛展开定理将展开成局部分式，然后将各局部分式逐项进展逆变换，最后叠加起来即得到原函数。〔2〕留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数在围线中所有极点的留数运算，即假设为一阶级点，那么在极点处的留数假设为k阶级点，那么系统函数〔网络函数〕H〔s〕定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与鼓励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即冲激响应与系统函数构成变换对，即系统的频率响应特性式中，是幅频响应特性，是相频响应特性。零极点分布图式中，是系数；，，为的零点；，，，为的极点。在s平面上，用“〞表示零点，“〞表示极点。将的全部零点和极点画在s平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统那么为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或轴，那么称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。系统函数的求解方法=1\*GB3①由冲激响应求得，即。=2\*GB3②对系统的微分方程进展零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由获得。=3\*GB3③根据s域电路模型，求得零状态响应的像函数与鼓励的像函数之比，即为。系统的稳定性假设系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，那么此系统为稳定系统。〔1〕稳定系统的时域判决条件〔充要条件〕=1\*GB3①假设系统是因果的，那么=1\*GB3①式可改写为对于因果系统，其稳定性的s域判决条件=1\*GB3①假设系统函数的全部极点落于s左半平面，那么该系统稳定；=2\*GB3②假设系统函数有极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，那么该系统不稳定；=3\*GB3③假设系统函数没有极点落于s右半平面，但在虚轴上有一阶极点，那么该系统临界稳定。容摘要HYPERLINK"..\\..\\4/4-6/§4.06系统函数(网络函数)H(S).ppt"系统函数的定义HYPERLINK"..\\..\\4/4-7/§4.07系统函数零、极点分布决定时域特性.ppt"由零极点的决定系统的时域特性HYPERLINK"..\\..\\4/4-10/§4.10线性系统的稳定性.ppt"由零极点的分析系统的稳定性HYPERLINK"..\\..\\4/4-8/§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性.ppt"由零极点的分析系统的频响特性拉氏变换的HYPERLINK"..\\..\\4/4-2/§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域.ppt"定义和HYPERLINK"..\\..\\4/4-2/§4.02拉普拉斯变换的定义、收敛域.ppt"收敛域典型信号的拉氏变换二．单边拉氏变换逆变换的求法HYPERLINK"F:\\4\\4-4\\§4.04拉普拉斯逆变换.ppt"局部分式展开法围线积分法三．拉氏变换的HYPERLINK"..\\..\\4/4-3/§4.03拉普拉斯变换的根本性质.ppt"根本性质四．HYPERLINK"F:\\4\\4-5\\§4.05用拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型.ppt"用拉普拉斯变换法分析电路五．系统函数一.拉普拉斯例题·HYPERLINK../../../习题课/4/例1.PPT\t"_parent"例题1：求拉氏变换·HYPERLINK../../../习题课/4/例2.PPT\t"_parent"例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质·HYPERLINK../../../习题课/4/例3.PPT\t"_parent"例题3：拉氏变换的微分性质·HYPERLINK../../../习题课/4/例4.PPT\t"_parent"例题4：系统函数，求解系统的响应·HYPERLINK../../../习题课/4/例5.PPT\t"_parent"例题5：用拉氏变换法分析电路·例4-1求以下函数的拉氏变换分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以表示单边拉氏变换,以表示双边拉氏变换。假设文字中未作说明,那么指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。解答例4-2求三角脉冲函数如图4-2〔a〕所示的象函数分析和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助根本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比拟起见，本例用多种方法求解。解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于于是方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比拟简单。将微分两次，所得波形如图4-2〔b〕所示。显然根据微分性质由图4-2〔b〕可以看出于是方法四：利用卷积性质求解可看作是图4-2(c〕所示的矩形脉冲自身的卷积于是，根据卷积性质而图4-2〔c〕所以例4-3应用微分性质求图4-3〔a〕中的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3〔b〕是的导数的波形。图4-3〔a〕解答说明〔1〕对于单边拉氏变换,故二者的象函数一样，即因而这是应用微分性质应特别注意的问题。由图4-3〔b〕知例4-4某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的鼓励信号作用于系统。为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出阶跃响应那么例4-5电路如图4-5〔a〕所示〔1〕求系统的冲激响应。〔2〕求系统的起始状态使系统的零输入响应等于冲激响应。〔3〕求系统的起始状态，解答〔1〕求系统的冲激响应。系统冲激响应与系统函数是一对拉氏变换的关系。对求逆变换可求得，这种方法比在时域求解微分方程简便。利用s域模型图4-5〔b〕可直写出图4-5〔a〕电路的系统函数冲激响应〔2〕求系统的起始状态为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。由图4-5(b)可以写出上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和相等，从而得故系统的起始状态说明通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一局部，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。〔3〕求系统的起始状态从而求得系统的起始状态附录A拉普拉斯变换与反变换1.表A-1拉氏变换的根本性质1线性定理齐次性叠加性2微分定理一般形式初始条件为0时3积分定理一般形式初始条件为0时4延迟定理〔或称域平移定理〕5衰减定理〔或称域平移定理〕6终值定理7初值定理8卷积定理2．表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)11δ(t)1234t567891011121314153．用查表法进展拉氏反变换用查表法进展拉氏反变换的关键在于将变换式进展局部分式展开，然后逐项查表进展反变换。设是的有理真分式〔〕式中系数，都是实常数；是正整数。按代数定理可将展开为局部分式。分以下两种情况讨论。①无重根这时，F(s)可展开为n个简单的局部分式之和的形式。〔F-1〕式中，是特征方程A(s)＝0的根。为待定常数，称为F(s)在处的留数，可按下式计算：〔F-2〕或〔F-3〕式中，为对的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式〔F-1〕可求得原函数＝(F-4)有重根设有r重根，F(s)可写为=式中，为F(s)的r重根，，…,为F(s)的n-r个单根；其中，，…,仍按式(F-2)或(F-3)计算，，，…,那么按下式计算：(F-5)原函数为〔F-6〕