第十一章三角形11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边◇教学目标◇【知识与技能】1.认识三角形的概念及其基本要素;2.掌握三角形三条边之间的关系.【过程与方法】1.通过操作对比、观察、推理、交流等活动认识三角形及其概念和
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示方法,运用分类思想对三角形进行分类;2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形的三边关系.【情感、态度与价值观】培养学生的符号语言表达能力,体会三角形在日常生活中的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的三边关系.【教学难点】三角形三边关系的应用.◇教学过程◇一、情境导入埃及金字塔、常见的交通标志和移动信号塔都是什么形状?在我们日常生活中还有哪些东西是三角形的?二、合作探究探究点1三角形的概念典例1看图填空:(1)图中共有个三角形,它们是;(2)△BGE的三个顶点分别是,三条边分别是,三个角分别是;(3)△AEF中,顶点A所对的边是;(4)∠ACB是△的内角,∠ACB的对边是.[解析]根据三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边.相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两边组成的角叫做三角形的内角,简称三角形的角.[答案](1)4;△ABC,△EBG,△AEF,△CGF(2)B,G,E;BE,EG,BG;∠B,∠BEG,∠BGE(3)EF(4)ACB;AB探究点2三角形的分类典例2如图,过A,B,C,D,E五个点中的任意三点画三角形.(1)以AB为边画三角形,能画几个?写出各三角形的名称.(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形.[解析](1)如图所示,以AB为边的三角形能画3个,分别是△EAB,△DAB,△CAB.(2)△ABD是等腰三角形,△EAB,△CAB是钝角三角形.探究点3三角形的三边关系典例3已知三角形的三条边互不相等,且有两边长分别为7和9,另一条边长为偶数.(1)请写出一个符合上述条件的第三边长.(2)符合上述条件的三角形有多少个?[解析](1)第三边长是4.(答案不唯一)(2)∵2
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?(忽略接头)[解析](1)三角形的第三边x满足:7-3
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设计三角形的边三角形◇教学反思◇由于初次接触三角形的相关元素,教师要注意引导学生发现三角形的三边关系,要留给学生充足的时间和空间去思考讨论,培养学生解决问题的能力.11.1.2三角形的高、中线与角平分线◇教学目标◇【知识与技能】1.了解三角形的高、中线、角平分线的概念;2.会用工具准确画出三角形的高、中线、角平分线.【过程与方法】1.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法;2.培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生敢于实践操作、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的高线、中线、角平分线的概念及画法.【教学难点】探究三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线都交于一点的过程.◇教学过程◇一、情境导入有一块三角形的地,小明的爸爸想种花草,妈妈想种菜.于是想平分三角形的面积,一半种花草,一半种菜,不知如何作,小明说,这还不好办,做一边的中线就行了,聪明的你,能帮他们家把这块地分成面积相等的两部分吗?知道小明这样做的原因吗?二、合作探究探究点1三角形的高典例1如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD,BE相交于点F,连接CF.(1)在△ABC中,AC边上的高为,BC边上的高为;(2)在△ABD中,AD边上的高为;(3)在△BCE中,CE边上的高为;(4)在△BCF中,BC边上的高为;(5)在△ABF中,AF边上的高为,BF边上的高为.[解析]三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线引垂线,顶点和垂足间的线段.[答案](1)BE;AD(2)BD(3)BE(4)FD(5)BD;AE【归纳提升】锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点.变式训练下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高的是()[答案]D探究点2中线的特性典例2三角形一边上的中线把原三角形分成两个()A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形[解析]根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义,知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.[答案]B【技巧点拨】三角形的中线把三角形分为两个等底同高的三角形,这两个三角形的面积相等.探究点3三角形的角平分线典例3如图,CD,BE分别是△ABC的角平分线,它们相交于点I,则:(1)∠ACD=∠=∠ACB,∠ABC=∠ABE.(2)BI是∠的平分线,CI是∠的平分线.(3)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BIC=度.(4)你能画出△ABC的第三条角平分线吗?[解析](1)BCD;;2.(2)ABC;ACB.(3)110°.(4)连接AI并延长,即为∠BAC的角平分线.探究点4三角形的中线与周长典例4如图,AD是△ABC的中线,且AB=10cm,AC=6cm,求△ABD与△ACD的周长之差.[解析]∵AD为中线,∴BD=CD,∴△ABD与△ACD的周长之差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC,∵AB=10,AC=6,∴△ABD与△ACD的周长之差=10-6=4cm.变式训练在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.[解析]由题意得AB+AC+BC=34,AB+AD+BD=30,∵AB=AC,BD=BC,∴②×2得2AB+2AD+BC=60,③③-①得2AD=26,∴AD=13cm.三、板书设计三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线◇教学反思◇通过本课时的教学要让学生认识三角形的三条重要线段的概念、图形和它们的相关特性,如三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都相交于一点的性质,应逐步加强学生几何语言的表达能力.11.1.3三角形的稳定性◇教学目标◇【知识与技能】了解三角形的稳定性以及三角形的稳定性在实际生活中的应用.【过程与方法】培养动手操作、归纳概括能力,提高运用知识解题的能力,训练思维的灵活性.【情感、态度与价值观】感受生活中数学的美学价值,体会生活中处处有数学,体验学习数学的乐趣.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的稳定性.【教学难点】三角形稳定性的应用.◇教学过程◇一、情境导入三角形在我们日常生活中应用广泛,仔细观察上面一组图片,你知道有些物体的形状做成三角形的原因吗?三角形形状的物体有什么作用?二、合作探究探究点1三角形的稳定性典例1如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.垂线段最短B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.三角形的稳定性[解析]观察图可发现图中窗钩构造了一个三角形AOB,根据三角形稳定性,可得答案.[答案]D变式训练如图所示是一个起重机的示意图,在起重架中间增加了很多斜条,它所运用的几何原理是()A.三角形两边之和大于第三边B.三角形具有稳定性C.三角形两边之差小于第三边D.直角三角形[答案]B探究点2四边形的不稳定性的应用典例2(1)工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架,输电线的支架等,这里运用的三角形的性质是.(2)下列图形具有稳定性的有个.①正方形;②长方形;③直角三角形;④平行四边形.(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定?(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,工人准备再钉上两根木条,如图的两种钉法中正确的是.(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加3根木条固定,⋯⋯,如果要使一个n边形木架不变形,至少需要加根木条固定.[解析](1)三角形的稳定性.(2)1.(3)不能确定.(4)方法一.(5)根据三角形具有稳定性,可以知道需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数.过n边形的一个顶点可以作(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形,所以,要使一个n边形木架不变形,至少需要(n-3)根木条固定.【技巧点拨】这里是利用三角形的稳定性以及多边形的对角线解决问题,考虑到利用对角线把多边形分成三角形是解题的关键.变式训练如图,由6条钢管铰接而成的六边形是不稳定的,请你再用三条钢管连接使之稳固.(方法很多,请提供四种不同连接方法)[解析]根据三角形具有稳定性,将六边形分成若干个小三角形即可.[答案]如图所示.(答案不唯一,合理即可)探究点3克服四边形的不稳定性典例3如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在()A.A,C两点之间B.E,G两点之间C.B,F两点之间D.G,H两点之间[解析]用木条固定长方形窗框,即是组成三角形,故可用三角形的稳定性解释.[答案]B【方法点拨】三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.三、板书设计三角形的稳定性三角形的稳定性◇教学反思◇通过对生活中三角形稳定性的探索,吸引学生的注意力,调动学生的积极性,体会数学的应用价值.11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角◇教学目标◇【知识与技能】应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过小组学习,经历得出三角形内角和等于180°的过程,进一步提高学生利用所学知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】经历猜想、归纳、证明等过程,学会研究问题的方法.◇教学重难点◇【教学重点】三角形内角和定理.【教学难点】三角形内角和定理的推理过程.◇教学过程◇一、情境导入如图,
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的时候我们通过度量或剪拼得到:∠A+∠B+∠ACB=180°.现在你能用我们学习的方法给出证明吗?二、合作探究探究点1三角形内角和定理典例1如图,在△ABC中,BD为△ABC的角平分线,如果∠A=47°,∠ADB=116°,求∠ABC和∠C的度数.[解析]∵∠A=47°,∠ADB=116°,∴∠ABD=180°-47°-116°=17°,∵BD为△ABC的角平分线,∴∠ABC=2∠ABD=34°,∴∠C=180°-47°-34°=99°.变式训练如图,在△ABC中,∠BAC=56°,∠ABC=74°,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BPC=()A.102°B.112°C.115°D.118°[答案]D探究点2三角形内角和定理的应用典例2如图,△ABC中,∠B=65°,∠BAD=40°,∠AED=100°,∠CDE=45°,求∠CAD的度数.[解析]在△ABD中,∵∠B=65°,∠BAD=40°,∴∠BDA=180°-(∠B+∠BAD)=180°-(65°+40°)=75°,∵∠CDE=45°,∴∠ADE=180°-(∠BDA+∠CDE)=180°-(75°+45°)=60°,在△ADE中,∵∠AED=100°,∴∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-60°-100°=20°.变式训练完成下面的推理过程:如图,在三角形ABC中,已知∠2+∠3=180°,∠1=∠A,试说明∠CFD=∠B.解:∵∠2+∠DEF=180°(邻补角定义),∠2+∠3=180°(已知),∴(同角的补角相等).∴AC∥EF().∴∠CDF=(两直线平行,内错角相等).∵∠1=∠A(已知),∴∠CDF=∠A(等量代换).∴DF∥AB().∴∠CFD=∠B().[答案]∠DEF=∠3;内错角相等,两直线平行;∠1;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等探究点3直角三角形的两锐角互余典例3如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是()A.35°B.55°C.60°D.70°[解析]根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD,再根据角平分线的定义解答.∵CD⊥BD,∠C=55°,∴∠CBD=90°-55°=35°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°.[答案]D变式训练如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于点E,∠BAC=60°,∠ABE=25°,则∠DAC的大小是()A.15°B.20°C.25°D.30°[答案]B三、板书设计三角形的内角三角形的内角和◇教学反思◇本节课主要是通过小学的探究形式,引导学生寻找做辅助线,对三角形的内角和等于180°进行严谨的证明,慢慢培养学生对证明的理解,逐步认识几何证明的必要性.在解决问题的过程中,关注学生在推理中语言使用的准确性,引导学生用规范的格式进行书写.11.2.2三角形的外角◇教学目标◇【知识与技能】了解三角形的外角的两条性质,能利用三角形的外角性质解决问题.【过程与方法】经历观察、探索、交流等过程,增强表达能力和推理能力.【情感、态度与价值观】通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.◇教学重难点◇【教学重点】三角形的外角的性质.【教学难点】探究三角形外角的性质,进行相关计算.◇教学过程◇一、情境导入两只野狼在如图的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食,野狼打算用迂回的方式,一只先从A前进到B处,然后再折回在C处截住野牛返回牛群的去路D处,另一只则直接从A处扑向野牛,已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,问野狼从B处要转多少度才能直达C处?二、合作探究探究点1三角形的外角典例1如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=25°,∠ACE=60°,则∠A=()A.105°B.95°C.85°D.25°[解析]先根据角平分线的性质求出∠ACD的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,∠ACE=60°,∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠B=25°,∴∠A=120°-25°=95°.[答案]B变式训练一副三角板有两个三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.120°B.135°C.150°D.165°[答案]D探究点2三角形外角的性质的应用典例2如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于点F,交AC于点E,∠A=30°,∠D=40°,求∠ACD的度数.[解析]∵DF⊥AB,∠D=40°,∴∠DFB=90°,∴∠B=90°-∠D=90°-40°=50°,∵∠ACD是△ABC的外角,∠A=30°,∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°.【技巧点拨】解决几何问题的关键是认准图形,找出图中三角形的外角,利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的性质和三角形内角和定理解决.变式训练如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.110°B.115°C.120°D.125°[答案]A三、板书设计三角形的外角三角形的外角◇教学反思◇本节课的教学围绕三角形的外角识别、性质及应用展开教学,在讲解外角和内角关系时层层递进,使重点得到突出;及时根据学生学习的情况进行点评和分析;对于易错问题及时讲解,此外注意指导学生总结解题思路和方法,让学生对所学知识的掌握更到位.11.3多边形及其内角和11.3.1多边形◇教学目标◇【知识与技能】了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.【过程与方法】经历动手、作图等过程,进一步发展空间能力.【情感、态度与价值观】经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.◇教学重难点◇【教学重点】了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形和正多边形的概念.【教学难点】多边形定义的准确理解.◇教学过程◇一、情境导入请同学们回忆一下三角形的概念,并尝试说明多边形的概念.二、合作探究探究点1多边形的概念典例1如图所示的图形中,属于多边形的有()A.3个B.4个C.5个D.6个[解析]根据多边形的定义:平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.显然只有第一个、第二个、第五个是多边形.[答案]A变式训练如图,下列图形不是凸多边形的是()[答案]C探究点2正多边形的概念典例2我们知道各边都相等,各角都相等的多边形是正多边形,小明却说各边都相等的多边形就是正多边形,各角都相等的多边形也是正多边形,他的说法对吗?如果不对,你能举反例(画出相应图形)说明吗?[解析]他的说法错误.菱形各边相等,但不是正多边形.如图,菱形ABCD的四个角不相等,不是正多边形;矩形各个角相等,但四边不一定相等,不是正方形.探究点3多边形的剪切典例3若一个多边形截去一个角后,变成十五边形,则原来的多边形的边数可能为()A.14或15或16B.15或16C.14或16D.15或16或17[解析]因为一个多边形截去一个角后,根据剪的角度、方式不同,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,依此即可解决问题.一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,则多边形的边数是14,15或16.[答案]A【技巧点拨】一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条.变式训练把一个四边形锯掉一个角,剩下的多边形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.三角形或四边形或五边形[答案]D三、板书设计多边形多边形◇教学反思◇通过类比的数学思想,引导学生理解多边形的相关概念,引导学生自主探索多边形的边数与对角线的数量关系.教师应注重课堂小结,激发学生参与的主动性.11.3.2多边形的内角和◇教学目标◇【知识与技能】了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.【过程与方法】经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.【情感、态度与价值观】经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.◇教学重难点◇【教学重点】多边形的内角和公式与外角和公式.【教学难点】多边形的内角和定理的推导以及对多边形外角和的理解.◇教学过程◇一、情境导入如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,⋯,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米?你能计算吗?二、合作探究探究点1多边形的内角和典例1已知一个多边形的内角和是900°,则这个多边形是()A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形[解析]设这个多边形是n边形,内角和是(n-2)·180°,这样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.[答案]C变式训练把n边形变为(n+x)边形,内角和增加了720°,则x的值为()A.4B.6C.5D.3[答案]A探究点2多边形的外角和典例2小鹏用家中多余的硬纸板做了一个如图所示的多边形飞镖游戏盘,则该游戏盘的内角和比外角和多()A.1080°B.720°C.540°D.360°[解析]根据多边形的内角和公式(n-2)·180°,外角和等于360°列出算式求解即可.(8-2)×180°-360°=1080°-360°=720°.故该游戏盘的内角和比外角和多720°.[答案]B【方法总结】多边形的外角和与边数无关,任何多边形的外角和都是360°.变式训练如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍,则n的值是()A.4B.5C.6D.7[答案]C探究点3正多边形的内角与外角典例3如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是()A.3B.4C.5D.6[答案]D变式训练如图,边长相等的正方形、正六边形的一边重合,则∠1的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°[答案]C探究点4多边形外角的理解典例4如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6m向左转60°,已知AB=BC=6m.(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米?走过的路径是一个什么图形?为什么?(路径A到B到C到⋯)(2)求出这个图形的内角和.[解析](1)∵从A点出发,每走6m向左转60°,∴360°÷60°=6,∴走过的路径是一个边长为6的正六边形.(2)正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°.三、板书设计多边形的内角和多边形的内角◇教学反思◇通过丰富有趣的探究活动,让学生积极参与其中,充分调动学生的学习热情,使学生灵活掌握多边形内角和与外角和的概念与运用.多数学生能达到预期目的,对课上吃力的同学,课下还要及时进行进一步的关注,以后在课堂上还应充分给学生探究的时间和空间,使每一个学生均有收获.第十二章全等三角形12.1全等三角形◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】全等三角形的性质及其应用.【教学难点】能正确地识别全等三角形的对应元素.◇教学过程◇一、情境导入观察下面这些图形,它们能够完全重合吗?二、合作探究探究点1全等形的概念典例1下列四组图形中,是全等图形的一组是()[解析]观察图形的特点可发现:A,B,C中的两个图形大小不同,D则完全相同.[答案]D变式训练全等形是指()A.形状相同的两个图形B.面积相同的两个图形C.两张中国地形图,两个等腰三角形都是全等形D.能够完全重合的两个平面图形[答案]D【归纳总结】记住能够完全重合的两个图形叫做全等形,完全重合指的是不仅形状相同,大小也相同;面积相等的图形不一定重合.探究点2全等三角形的概念典例2如图,如果△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,∠B=∠D,对于以下结论:①AB与CD是对应边;②AC与CA是对应边;③点A与点A是对应顶点;④点C与点C是对应顶点;⑤∠ACB与∠CAD是对应角.其中正确的是()A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]AB与CD是对应边,①正确;AC与CA是对应边,②正确;点A与点C是对应顶点,③错误;点C与点A是对应顶点,④错误;∠ACB与∠CAD是对应角,⑤正确.[答案]B探究点3全等三角形的性质典例3如图,△ABC≌△A'B'C,∠ACB=90°,∠A'CB=20°,则∠BCB'的度数为()A.20°B.40°C.70°D.90°[解析]∵△ACB≌△A'CB',∴∠ACB=∠A'CB',∴∠BCB'=∠A'CB'-∠A'CB=70°.[答案]C全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.探究点4利用全等三角形的性质解决问题典例4如图所示,△ABD≌△ACD,∠BAC=90°.(1)求∠B的大小;(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.[解析](1)∵△ABD≌△ACD,∴∠B=∠C,又∵∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.(2)AD⊥BC.理由:∵△ABD≌△ACD,∴∠BDA=∠CDA,∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠BDA=∠CDA=90°,∴AD⊥BC.三、板书设计全等三角形全等三角形◇教学反思◇由于学生学习平面几何的时间不长,识图能力还比较薄弱,学生的思维依赖于具体的直观形象,在教学时借助几何画板演示图形的形成与变换,来帮助学生更好地发现理解图形的特征,尤其对于较复杂的几何图形中的对应边、对应角,方便学生迅速地找出,简化难点.12.2三角形全等的判定第1课时利用三边判定三角形全等(SSS)◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握边边边的
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;2.能初步应用边边边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.【情感、态度与价值观】通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想,乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】判定三角形全等的条件.【教学难点】理解边边边条件判定三角形全等.◇教学过程◇一、情境导入在课堂上,老师要求同学们每人画一个三角形,使三角形的三边长分别为3cm,5cm,7cm,老师发现小明和他同桌画的三角形不一样大,肯定地说,你们看看谁画错了,老师是怎么知道的呢?二、合作探究探究点1边边边判定两三角形全等典例1在△ABC与△DEF中,AB=DF,AC=DE,CB=EF,那么()A.△ABC≌△DEFB.△ABC≌△DFEC.△ABC≌△EDFD.△ABC≌△EFD[解析]在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DFE(SSS).[答案]B探究点2边边边判定两三角形全等的应用典例2已知:如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证:△ABC≌△DEF.[解析]∵AF=DC,∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS).变式训练如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.请你添加一条线把它分成两个全等三角形,并给出证明.[解析]连接AC,则△ABC≌△ADC,证明如下:在△ABC与△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).三、板书设计利用三边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课是全等三角形判定的第一节,主要是用SSS判定两个三角形全等,在授课过程中,通过同学们的操作、交流、互动,基本实现了同学们对全等三角形的判定(SSS)的多层面了解.在实际应用时,应强调证明格式的问题,但学生在证的过程中,找全等条件还有一定的难度,今后要多加练习.第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握边角边条件的内容,能初步应用边角边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形边角边判定定理的过程,在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.【情感、态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】边角边判定两三角形全等.【教学难点】寻求三角形全等的条件.◇教学过程◇一、情境导入在上节课的讨论中,我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗?二、合作探究探究点1用边角边判定两个三角形全等典例1如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,即∠ACB=∠DCE,在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SAS).探究点2边角边判定的应用典例2如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求证:△ABF≌△CDE.[解析]∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,∵AB∥CD,∴∠A=∠C,在△ABF与△CDE中,∴△ABF≌△CDE(SAS).探究点3边边角不能判定两三角形全等典例3如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为:.(只添加一个条件即可)[解析]∵BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(SAS).[答案]BC=EF全等三角形我们已经学过2种判定方法,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边,用SAS或SSS;若已知一边以及邻角相等,则找角的另一邻边,用SAS,注意这时不能用角的对边.三、板书设计利用两边及其夹角判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课的内容是运用“边角边”方法证明两个三角形全等,仍然通过画图验证引入边角边的判定方法,所设计的例题、练习都是运用“边角边”方法进行证明,学生会用“边角边”判定方法解决实际问题.第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件,能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究全等三角形条件的过程,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】已知两角一边的三角形全等探究.【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明.◇教学过程◇一、情境导入学完“三角形全等判定”后,小明把一块三角形纸片分为如图四块,分别给了编号为1、2、3、4的四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务?你的根据是什么?二、合作探究探究点1用角边角判定两三角形全等典例1根据已知条件,能画出唯一△ABC的是()A.AC=4,AB=5,BC=10B.AC=4,AB=5,∠B=60°C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2D.∠C=90°,AB=5[解析]AC+AB=4+5=9<10=BC,三边不能组成三角形,A不正确;∵AC=4,AB=5,∠B=60°,SSA不能证出两三角形全等,∴不能确定唯一的三角形,B不正确;∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,ASA能证出两三角形全等,∴能确定唯一的三角形,C正确;∠C=90°,AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.[答案]C探究点2用角角边判定两三角形全等典例2如图,AC=AE,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:△ABC≌△ADE.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠EAC+∠2,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE(AAS).探究点3判定三角形全等的综合应用典例3如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC[解析]A符合AAS,能判断△ABD≌△BAC;B符合ASA,能判断△ABD≌△BAC;C符合SSA,不能判断△ABD≌△BAC;D符合SSS,能判断△ABD≌△BAC.[答案]C三、板书设计利用两角一边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节是全等三角形的ASA,AAS两种判定方法,三角形全等是证明线段相等、角相等的重要方法之一,对今后的学习是至关重要的,要求学生学好全等三角形,也为后面相似三角形的学习打下了良好的基础.第4课时直角三角形全等的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【教学难点】解决简单的推理证明问题.◇教学过程◇一、情境导入小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?二、合作探究探究点1直角三角形全等的判定典例1如图,用三角尺可按下面的方法画角平分线:在∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,通过证明△OMP≌△ONP,可以说明OP是∠AOB的角平分线,那么△OMP≌△ONP的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.HL[解析]∵两三角尺为直角三角形,∴∠OMP=∠ONP=90°,∵OM=ON,OP=OP,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).[答案]D【归纳总结】直角三角形的特殊判定方法HL,是指两个直角三角形具有斜边和一条直角边分别相等时,两个直角三角形全等.应注意用HL证明全等的格式.探究点2HL的应用典例2如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证:△ACF≌△BDE.[解析]∵AC⊥CE,BD⊥DF,∴∠ACE=∠BDF=90°,在Rt△ACE和Rt△BDF中,∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,∵AE=BF,∴AE-EF=BF-EF,即AF=BE,在△ACF和△BDE中,∴△ACF≌△BDE(SAS).探究点3三角形全等判定的综合应用典例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.[解析]BF⊥AE.理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.又BC=AC,BD=AE,∴△BDC≌△AEC(HL).∴∠CBD=∠CAE.又∵∠CAE+∠E=90°.∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.三、板书设计直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定◇教学反思◇本节的内容是直角三角形全等的判定方法,主要让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究直角三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质◇教学目标◇【知识与技能】会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.【过程与方法】经历探索角的平分线的性质,提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精神.◇教学重难点◇【教学重点】角的平分线的性质的证明及运用.【教学难点】角平分线的性质的探究.◇教学过程◇一、情境导入在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?有一个简易平分角的仪器(如图),其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么?二、合作探究探究点1角平分线的尺规作图典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案]A探究点2角平分线的性质典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案]D探究点3角平分线的性质的应用典例3直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址共有()A.一处B.两处C.三处D.四处[解析]如图,可选择的地址有四处.[答案]D【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,熟记性质及其基本图形是解题的关键,注意分类讨论,不要漏掉所围成区域外面的三个点.变式训练在正方形格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是()A.C点B.D点C.E点D.F点[答案]C三、板书设计角平分线的性质角平分线的性质◇教学反思◇本节课的内容为角平分线的性质,注重用数学语言给出条件和结论,让学生熟悉这定理的条件和结论后,再拿一些具体题目让学生在情境当中运用这两个定理.第2课时角的平分线的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.【过程与方法】经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线性质和判定的应用.【教学难点】运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.◇教学过程◇一、情境导入小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?二、合作探究探究点1角平分线的判定典例1如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A.①②③④B.①②③C.④D.②③[解析]∵点P到AE,AD,BC的距离相等,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;点P在∠CBE的平分线上,故②正确;点P在∠BCD的平分线上,故③正确;点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上,故④正确,综上所述,正确的是①②③④.[答案]A探究点2角平分线判定的应用典例2如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.求证:(1)∠FAD=∠EAD;(2)BD=CD.[解析](1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠EAD.(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠ADF=∠ADE,∵∠BDF=∠CDE,∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,即∠ADB=∠ADC,在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键.探究点3角平分线性质与判定的综合应用典例3如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.[解析]过P作三边AB,BC,AC的垂线段PD,PE,PF,∵AP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥AC,∴PD=PF,∵CP是△ABC的外角平分线,PF⊥AC,PE⊥BC,∴PE=PF,∴PD=PE,PD⊥AD,PE⊥BC,∴BP为∠MBN的平分线.三、板书设计角平分线的判定角平分线的判定◇教学反思◇本节课的内容是角平分线的判定,有前面线段的垂直平分线的性质以及判定,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1轴对称◇教学目标◇【知识与技能】1.通过丰富的生活实例能够识别简单的轴对称图形、认识轴对称及其对称轴,并能作出轴对称图形和成轴对称的图形的对称轴;2.说出轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别与联系.【过程与方法】在丰富的现实情境中,经历观察生活中的轴对称现象,探索轴对称现象共同特征等活动,进一步发展空间观念.【情感、态度与价值观】欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称在现实生活中的广泛运用和它的丰富文化价值.◇教学重难点◇【教学重点】轴对称图形以及轴对称的概念.【教学难点】能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.◇教学过程◇一、情境导入我们生活在一个充满对称的世界中,许多建筑物都设计成对称形,艺术作品的创作往往也从对称角度考虑,自然界的许多动植物也按对称形生长,中国的方块字中有些也具有对称性,对称给我们带来多少美的感受!观察下列图形有何特点?二、合作探究探究点1轴对称图形典例1下列电脑桌面快捷方式的图片中,是轴对称图形的是()[解析]根据轴对称图形的概念解答.A,B,C不是轴对称图形;D是轴对称图形.[答案]D变式训练以下图形中,不是轴对称图形的是()[答案]D探究点2轴对称典例2将一张长方形的纸片对折,然后用笔尖在上面扎出字母“B”,再把它展开铺平后,你可以看到的图形是()[解析]根据生活中的轴对称现象,结合题意,沿折线折叠后两部分能够重合的即可,主要考查学生的想象力,也可折叠一下做出选择.[答案]C探究点3轴对称的性质典例3如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论中正确的有()①△ABC≌△A'B'C';②∠BAC=∠B'A'C';③直线l垂直平分CC';④直线BC和B'C'的交点不一定在直线l上.A.4个B.3个C.2个D.1个[解析]由轴对称的性质可知①②③正确,直线BC和B'C'的交点一定在直线l上,故④错误.[答案]B轴对称的性质:①成轴对称的两个图形是全等形;②对称轴是对应点连线的垂直平分线;③对应线段或者平行,或者重合,或者相交.如果相交,那么交点一定在对称轴上,若重合则重合在对称轴上.变式训练如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为()22A.4cmB.8cm22C.12cmD.16cm[答案]B探究点4镜面对称典例4室内墙壁上挂一平面镜,小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示,则这时的实际时间应是()A.3:40B.8:20C.3:20D.4:20[解析]根据镜面对称的性质,在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒,且关于镜面对称,分析并作答.[答案]A变式训练一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示,则这辆汽车的牌号应为()A.W17609B.W17906C.M17609D.M17906[答案]B三、板书设计轴对称轴对称◇教学反思◇本节的内容是轴对称图形以及轴对称,从学生感兴趣的生活中的图形入手,让学生自己发现问题、提出问题,探讨轴对称图形以及轴对称的性质特点,体验探索成功的快乐;通过动手操作,小组讨论来解决自己提出的问题;通过有层次的练习,提高学生解决问题的能力,巩固所学知识.13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定◇教学目标◇【知识与技能】1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;2.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.【过程与方法】经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度与价值观】在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.◇教学重难点◇【教学重点】线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.【教学难点】线段的垂直平分线判定定理的证明.◇教学过程◇一、情境导入甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗?二、合作探究探究点1线段垂直平分线的性质典例1如图所示,△ABC中,AC=5,AB=6,BC=9,AB的垂直平分线交BC于点D,则△ACD的周长是()A.11B.14C.15D.20[解析]∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴△ACD的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=14.[答案]B探究点2过一点作已知直线的垂线典例2已知直线上一点P,过点P作直线的垂线.[解析]如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.探究点3垂直平分线的应用典例3如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在()A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点[解析]猎狗到△ABC三个顶点的距离相等,则猎狗应蹲守在△ABC的三条垂直平分线的交点.[答案]A三、板书设计线段的垂直平分线垂直平分线◇教学反思◇本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.第2课时作线段的垂直平分线◇教学目标◇【知识与技能】能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线.【过程与方法】1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力;2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.【情感、态度与价值观】通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.◇教学重难点◇【教学重点】画轴对称图形的对称轴.【教学难点】作轴对称图形.◇教学过程◇一、情境导入我们知道某些图形是轴对称图形,你能想出除折叠外其他画出对称轴的方法吗?二、合作探究探究点1垂直平分线的尺规作图典例1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是()A.∠A的平分线B.AC边的中线C.BC边的高线D.AB边的垂直平分线[解析]分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则DA=DB,EA=EB,所以点D,E在线段AB的垂直平分线上.[答案]D变式训练作已知点关于某直线的对称点的第一步是()A.过已知点作一条直线与已知直线相交B.过已知点作一条直线与已知直线垂直C.过已知点作一条直线与已知直线平行D.不确定[答案]B探究点2画对称轴典例2用刻度尺分别画下列图形的对称轴,可以不用刻度尺上的刻度画的是()A.①②③④B.②③C.③④D.①②所有[解析]①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴.[答案]A变式训练下列轴对称图形中,对称轴条数是四条的图形是()[答案]A三、板书设计作线段的垂直平分线轴对称图形◇教学反思◇本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.13.2画轴对称图形第1课时画轴对称图形◇教学目标◇【知识与技能】能画出简单平面图形作轴对称之后的图形,了解画一般轴对称图形的方法.【过程与方法】让每个学生在生动具体的问题情境中参与数学活动,通过积极主动的探索,加深自己的理解和认识.【情感、态度与价值观】让学生体验到成功的喜悦,树立自信心,体验合作交流的重要性,感受数学美,明白数学于生活又服务于生活的道理.◇教学重难点◇【教学重点】画轴对称图形.【教学难点】掌握画一般轴对称图形的方法.◇教学过程◇一、情境导入通过折叠的方式我们
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