北大版高数

精品文档精品文档PAGEPAGE9精品文档PAGE文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.11.证明3为无理数.证若不是无理数,则3p为互素自然数.3p223q2除尽p2,3q,p,qq2,p.3必除尽p,否则p3k1或p3k2.p29k26k1,p29k212k4,3除p2将余1.故p3k,9k23q2,q23k2,类似得3除尽q.与p,q互素矛盾.2.设p是正的素数,证明p是无理数.证设pa为互素自然数,则pa222,素数除尽2,故除尽a,b,a,bb2,apbpapapk.p2k2pb2,pk2b2.类似得p除尽b.此与a,b为互素自然数矛盾.3.解下列不等式:(1)|x||x1|3.\;(2)|x23|2.解(1)若x0,则x1x3,2x2,x1,(1,0);若0x1,则x1x3,13,(0,1);若x1,则xx13,x3/2,(1,3/2).X(1,0)(0,1)(1,3/2).(2)2x232,1x25,1|x|25,1|x|5,x(1,5)(5,1).4.设a,b为任意实数,(1)证明|ab||a||b|;(2)设|ab|1,证明|a||b|1.证(1)|a||ab(b)||ab||b||ab||b|,|ab||a||b|.(2)|a||b(ab)||b||ab||b|1.5.解下列不等式:(1)|x6|0.1;(2)|xa|l.解(1)x60.1或x60.1.x5.9或x6.1.X(,6.1)(5.9,).(2)若l0,X(al,)(,al);若l0,xa;若l0,X(,).6.若a1,证明0na1a1,其中n为自然数.n证若a1,显然nab1.a1nn1(na1)(bn1bn2L1)n(na1).a7.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有有理数.证取自然数n满足1/10nba.考虑有理数集合A=Anm|mZ}.若An(a,b),则ABC,BA{x|xb},{n10CA{x|xa}.B中有最小数m0/10n,(m01)/10nC,bam0/10n-(m01)/10n=n,此与的选取矛盾.1/10n8.设(a,b)为任意一个开区间,证明(a,b)中必有无理数.证取自然数n满足1/10nba.考虑无理数集合An{2mn|mZ}.以下仿8题.10习题1.2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.习题1.41.直接用-说法证明下列各极限等式:(1)limxa(a0);(2)limx2a2;(3)limexea;(4)limcosxcosa.xaxaxaxa证(1)0,要使|xa||x-a|,由于|x-a||x-a|,xaxaa只需|xa|,|xa|a.取a,则当|xa|时,|xa|,故limxa.axa(2)0,不妨设|xa|1.要使|x2a2||xa||xa|,由于|xa||xa||2a|1|2a|,只需(1|2a|)|xa|,|xa|1.取min{,1},则当|xa||2a|1|2a||x2a2|,故limx2a2.xa(3)0,设xa.要使xeaeaxa1),即0xaa,1xa|e|(e(e1)ee0xaln1ea,取min{1,1},则当0xa时,|exea|,|2a|故limexea.类似证limexea.故limexea.xaxaxa(4)0,要使|cosxcosa|2sinxasinxa2sinxasinxa|x2222取,则当|xa|时,|cosxcosa|,故limcosxcosa.xa2.设limf(x)l,证明存在a的一个空心邻域(a,a)(a,a),使得函数uxa该邻域内使有界函数.证对于1,存在0,使得当0|x-a|时,|f(x)l|1,从而|f(x)||f(x)ll||f(x)l||l|1|l|M.3.求下列极限:(1)lim(1x)21lim2xx2lim(1x)1.x02xx02xx022时,,eaa|,f(x)在1cosx2sin2x1sinx11(2)limlim222x2x2limxg1.x0x02x0222(3)limxaalimx1(a0).xa)2ax0x0x(xa(4)limx2x222x22x3.x13(5)limx2x22.x02x22x33习题1.5习题1.6第一章总练习题习题2.1(2)文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.y=x2习题2.2习题2.3习题2.4习题2.5习题2.61.根据定积分的定义直接求下列积分:bn(1)kdxlimkxilimk(ba)k(ba).a0i10ni(ba)ba(ba)2n(2)lim(aa)i))lim(a(b2ni1nnnni1a(ba)(b21na(ba)(b21n(n1)a)lim(2i)a)lim2nni1nn2a(ba)(ba)2lim(11/n)a(ba)(ba)2b2a2.n2222.设函数x(y)在[c,d]上连续且(y)0.试用定积分表示曲线x(y),yc,yd及y轴所围的图形的面积;又设c0,函数x(y)在[c,d]上严格递增,试求积分和d(y)dyb(x)dx,其中y(x)是x(y)的反函数,a(c),b(b).cad习题2.7习题2.8c第二章总练习题ab文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.11.求出函数f(x)1x12x2L1nxn222(x/2)n1在点x的导数,再将函数f(x)写成f(x)x/2的形式,再求f(1),11x/2由此证明下列等式:12Ln2n2.2222n2n1证12nn12n222xL2nx,f(1)222L2n.f(x)由类似上题的办法证明12.f(x)x/2(x/2)n11x/2,f(x)(1/2(n1)(x/2)n(1/2))(1x/2)(1/2)(x/2(x/2)n1),(1x/2)2f(1)(1/2(n1)(1/2n1))(1/2)(1/2)(1/21/2n1)1/22(1(n1)/2n)11/2n2n2.2n1(n1)xnnxn121)(1x)2(x设f(x)在[0,1]连续且f(x)>0证明11113.ydx0f(x)01.f(x)dx证1=11110dx0f(x)dxf(x)14.lnxndt1t1ln1110)(a)n(nn1n(b)11L1lnn11123n23111f(x)dxdx.00f(x)1;n11n1n111e.(c)en证(1)111/ndtln1111/ndt11/ndt1111.n111/nnt1n(2)lnn23nln1111111lnggLgLnL,12n112nlnnln11L11L1112.nn文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.1n1n111e.(c)en证(1)111/ndtln1111/ndt11/ndt1.n1111/nn1t11n(2)lnnln2g3gLgnln11L1111L1,习题3.112n11n2nlnnln11L111L1.1n2n1nnln11ng111(3)1enen1en1.n习题3.2习题3.3习题3.4习题3.求下列曲线所围成的的图形的面积:dx2与222的全长可表为1201.y试证x双纽x线y.2acos2(aL42a.20.r0)L解求交点:yx2401x4xy2,xx,习题3.6x(1x)(1xx2)0,x0,x1.第三章总练习题S(xx2)dx2x3/21x211.103334.10习题习题4.2习题4.3习题4.4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.x(,0)(0,1)1(1,+)y+0+y极小值x(,1)1(1,1)1(1,+)y0+0y极小值1极大值1x(0,1)1(1,e2)e2(e2,+)y0+0x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,+)x(3)3(3,0)0(0,3)0(3,+)y,+02022y22无极值极小值极大值f0+00+f拐点拐点拐点y极小值极大值习题4.502x0120++0++x极小值拐点极大值文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.+00+++极大值极小值x15+0+0+0+++yxe0++++0y习题4.6第四章总练习题习题5.1习题5.2习题5.3习题5.4习题5.5第五章总练习题习题6.1习题6.2习题6.3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.习题6.4习题6.5习题6.6习题6.7习题6.8习题6.9习题6.10在指定的各点求曲面的切平面：