◇讲 梯形√

第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的一般梯形等腰梯形：两腰的梯形叫做等腰梯形2、分类：梯形特殊梯形直角梯形：一腰与底的梯形叫做直角梯形13、梯形的面积：梯形=（上底+下底）X高2【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形=．ABCD对应训练1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20考点二：等腰梯形的性质例2已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）302A．25B．50C．252D．41/14对应训练2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC=．考点三：等腰梯形的判定例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．对应训练4．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．考点四：梯形的综合应用例4如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：1BE=5：3；⑤S=S，正确的个数有（）△EPM8梯形ABCDA．5个B．4个C．3个D．2个对应训练2/144．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．【聚焦中考】1．如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（）A．4B．5C．6D．不能确定2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD【备考真题过关】一、选择题1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22B．24C．26D．282．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．80°3.下列命题是假命题的是（）A．平行四边形的对边相等B．四条边都相等的四边形是菱形C．矩形的两条对角线互相垂直D．等腰梯形的两条对角线相等4．如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（）A．26B．25C．21D．20二、填空题5．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=cm．3/146．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为．8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为．三、解答题11．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；1（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．212．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．4/1414．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．15．如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．16．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路1行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．105/1417．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．6/14第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的一般梯形等腰梯形：两腰的梯形叫做等腰梯形2、分类：梯形特殊梯形直角梯形：一腰与底的梯形叫做直角梯形13、梯形的面积：梯形=（上底+下底）X高2【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形=．ABCD解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC，1∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，21故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．2对应训练1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（A）A．17B．18C．19D．207/14考点二：等腰梯形的性质例2已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（A）A．25B．50C．252D．3024解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC（已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE（等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，1作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，211S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，22对应训练2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC=．解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，ABCD∵,∴△ABC≌△DCB，ABCBCDBCBC∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．考点三：等腰梯形的判定例3如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S=EC•AG=2×3=23。菱形AECD对应训练4．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．8/14（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．解：（1）可以选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AMD≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，OMON∴，∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．ODOC考点四：梯形的综合应用例4如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：1BE=5：3；⑤S=S，正确的个数有（B）选项⑤错误△EPM8梯形ABCDA．5个B．4个C．3个D．2个解：连接DF，AC，EF，如图所示：∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC，在△ABF和△CBE中，ABCB，ABFCBFBFBE∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，在△AME和△CMF中，BAFBCE，∴△AME≌△CMF（AAS），∴EM=FM，AMECMFAECF在△BEM和△BFM中，BEBF，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；BMBMEMFM∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，选项②正确；∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确；∵EF为△ABC的中位线，1∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，2∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y，在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC=EB2BC2=5y，9/14∴3x=5y，即x：y=5：3，∴EM：BE=5：3，选项④正确；∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点，1∴S=S=S，又S=S，且S=S，△AEP△EPM2△AEM△AEM△BEM△BEM△BFM1∴S=S=S=S，∵四边形ABFD为矩形，△AEM△BEM△BFM3△ABF1∴S=S，又S=S，∴S=S=S=S，△ABF△ADF△ADF△DFC△ABF△ADF△DFC3梯形ABCD1∴S=S，选项⑤错误．则正确的个数有4个．故选B△EPM18梯形ABCD对应训练4．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，∵E是AB的中点，∴DG=3，∴EG=AD=3，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，∴tan60°=GF，解得GF=3，∴DF=6；3（2）如图2所示：过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=3，∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°，∴CH=BH3==1，BC=BH=3=2，设AE=x，则BE=6-x，tan603sin6032在Rt△ADE中，DE=AD2AE2=(3)2x23x2，在Rt△EFM中，EF=(EBBM)2MF2(6x1)2(3)2=(7x)23，∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE，∴BCBE，即26x，解得x=2或5．故答案为：2或5．DEEF3x2(7x)23【聚焦中考】1．如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（B）10/14A．4B．5C．6D．不能确定2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（C）A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD【备考真题过关】一、选择题1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（B）A．22B．24C．26D．282．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（C）A．120°B．110°C．100°D．80°3.下列命题是假命题的是（C）A．平行四边形的对边相等B．四条边都相等的四边形是菱形C．矩形的两条对角线互相垂直D．等腰梯形的两条对角线相等4．如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（C）A．26B．25C．21D．20二、填空题5．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=2cm．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为13．11/147．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为40．8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为4．9．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是60．10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为9．三、解答题11．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．（1）求证：DE=EC；1（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．2证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；1（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．2证明：∵∠BDE=∠DBC．∴BE=DE，1∵DE=EC，∴BE=EC=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，2∴四边形ABED是平行四边形，∴▱ABED是菱形．12．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA在△ABE和△CDA中，ABCD，∴△ABE≌△CDA．ABECDABEDA（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠C，∵GF=GC，∴∠GFC=∠C，∴∠GFC=∠B，∴AB∥GF，又∵AE=GF，12/14∴四边形AEFG是平行四边形．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，1111故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，2222在梯形ABCD中，AB=DC，故AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴∠EHG=∠EMC=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）连接EG．在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，1∴EG=（AD+BC）=3．在Rt△EHG中，2∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，99∴EH2=，即四边形EFGH的面积为．2215．如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C．∵E是BC的中点，∴BE=CE．在△ABE和△DCE中，ABDC，BCBECE∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．16．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路1行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．10解：（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD=5xkm，∴AD+CD+CB=12xkm，∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；13/14（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：10x12x1=+．解这个方程得x=1．∴10x=10，答：市区公路的长为10km．40801017．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．（1）求证：AF=DE；（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=2BH=2AH，同理：CD=2CK=2KD，∵S梯形ABCD=(ADBC)HB，AB=a，22a2a(22BC)a22aBC∴S梯形ABCD=22，223而S=SF=a2，∴a22aBC=2×3，∴BC=62．△ABE△DCa2a424214/14