9.9 曲线与方程

nullnull§9.9 曲线与方程 基础知识 自主学习要点梳理 1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上 的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了 如下关系： （1）曲线上点的坐标都是 . （2）以这个方程的解为坐标的点都是 . 那么这个方程叫做 ，这条曲线叫做 .这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线null2.求动点的轨迹方程的一般步骤 （1）建系——建立适当的坐标系. （2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）. （3）列式——列出动点P所满足的关系式. （4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、 斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. （5）证明——证明所求方程即为符合条件的动 点轨迹方程.null3.两曲线的交点 （1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐 标应该是两个曲线方程的 ，即两个曲线方 程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几 组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两 条曲线就没有交点. （2）两条曲线有交点的 条件是它们的方程所 组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数 解问题.公共解无解充要null基础自测 1.f（x0，y0）=0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y） =0上的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 利用曲线与方程定义的两条件来确定其关系， ∵f（x0，y0）=0可知点P（x0,y0）在曲线f（x,y） =0上， 又P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上时，有f（x0， y0）=0， ∴f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0 上的充要条件.Cnull2.方程x2+xy=x的曲线是 （ ） A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解析 方程变为x（x+y-1）=0， ∴x=0或x+y-1=0. 故方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线x=0或直线x+y-1=0.Cnull3.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y） 满足 · =x2-6，则点P的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 =（-2-x，-y）， =（3-x，-y）， 则 · =（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6， 化简得y2=x,轨迹为抛物线.Dnull4.已知定点P（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条 （ ） A.过点P且垂直于l的直线 B.过点P且平行于l的直线 C.不过点P但垂直于l的直线 D.不过点P但平行于l的直线 解析 ∵P（x0，y0）不在直线l上,∴f（x0，y0）≠0. ∴方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直线与l平行. 又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0. ∴点P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0 表示的直线上，即直线过P点.Bnull5.已知两定点A（-2，0），B（1，0）,如果动点 P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形 的面积等于 （ ） A. B.4 C.8 D.9 解析 设P（x，y），则由|PA|=2|PB| 得(x+2)2+y2=4［(x-1)2+y2］, 即（x-2）2+y2=4，故P点的轨迹是以（2，0）为 圆心，以2为半径的圆. ∴所围成的图形的面积等于 ·22=4 . Bnull题型一 直接法求轨迹方程 【例1】如图所示，过点P（2，4） 作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x 轴于A，l2交y轴于B，求线段AB 中点M的轨迹方程. 设M（x，y），则A、B两点坐标可 用x,y表示，再利用 · =0,建立等式即可.思维启迪题型分类 深度剖析null解 设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点， ∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. ∴ =（2x-2，-4）， =（-2，2y-4）. 由已知 · =0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0. ∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.null探究提高 （1）本题中的等量关系还有kPA·kPB= -1，|AB|=2|PM|.但利用kPA·kPB=-1时，应分直 线l1斜率存在和不存在两种情况,应用|AB|=2|PM| 时，运算较繁. （2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯 粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上.null知能迁移1 已知动点M到定点 A(1,0)与定直线l:x=3的距离之 和等于4,求动点M的轨迹方程. 解 如图所示,设M（x,y）是轨迹上任意一点,作MN⊥l于N. 则|MA|+|MN|=4，即 =4-|x-3|. 当3≤x≤4时， =7-x. 即y2=-12(x-4) (3≤x≤4). 当0≤x≤3时， =x+1, 即y2=4x (0≤x≤3). ∴M的轨迹方程是y2=-12(x-4) (3≤x≤4) 和y2=4x(0≤x≤3).null题型二 利用定义法求轨迹方程 【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆 x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程， 并说明它是什么样的曲线. 利用两圆的位置关系—相切这一性 质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再 从关系分析满足何种曲线的定义.思维启迪null解 方法一 如图所示，设动圆圆心为M（x，y）， 半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的 方程分别配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100, 当动圆与圆O1相外切时， 有|O1M|=R+2. ① 当动圆与圆O2相内切时， 有|O2M|=10-R. ②null将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|， ∴动圆圆心M（x,y）到点O1（-3,0）和O2（3,0） 的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为O1（-3,0）、O2（3,0）, 长轴长等于12的椭圆. ∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6，∴b2=36-9=27， ∴圆心轨迹方程为 轨迹为椭圆.null方法二 由方法一可得方程 移项再两边分别平方得： 两边再平方得3x2+4y2-108=0，整理得 所以,动圆圆心的轨迹方程是 轨迹是椭圆.null探究提高 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求 的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方 程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥 曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列 出等式，化简求得方程.null知能迁移2 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:（x-3）2 +y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆 心M的轨迹方程. 解 如图所示，设动圆M与圆 C1及圆C2分别外切于点A和点 B，根据两圆外切的充要条件， 得 |MC1|-|AC1|=|MA|， |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|， 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.null这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2. 根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支 （点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹 方程为 (x≤-1). null题型三 相关点法(代入法)求轨迹方程 【例3】（12分）已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的 一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°, 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 连结QP交AB于R,则R是矩形APBQ 的中心.因而可选R的坐标为中间变量，先求R 的轨迹方程,再将Q的坐标代入R的坐标中即可.思维启迪null解 如图所示，设AB的中点为R,坐标为（x1，y1）， Q点坐标为（x，y）， 2分 则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|， 又因为R是弦AB的中点，依垂径 定理有 Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2= 36-（x +y ）. 又|AR|=|PR|= 所以有（x1-4）2+y =36-（x +y ）. 即x +y -4x1-10=0. 8分4分null因为R为PQ的中点，所以x1 10分 代入方程x +y -4x1-10=0，得 整理得x2+y2=56. 这就是Q点的轨迹方程. 12分null探究提高 相关点法也叫坐标转移（代入）法，是 求轨迹方程常用的方法.其题目特征是：点A的运动 与点B的运动相关,且点B的运动有规律（有方程），只需将A的坐标转移到B的坐标中,整理即可得A的轨 迹方程.null知能迁移3 已知长为1+ 的线段AB的两个端点 A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且 = .求点P的轨迹C的方程. 解 设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y）， 又 =（x-x0，y）， =（-x，y0-y）， 所以x-x0=- ，y= （y0-y） 得x0= ，y0=（1+ ）y. 因为|AB|=1+ ，即x +y =（1+ ）2， null 化简得 ∴点P的轨迹方程为null 方法与技巧 1.弦长公式:直线y=kx+b与二次曲线C交于P1（x1,y1） 与P2(x2,y2)得到的弦长为 思想方法 感悟提高null2.求轨迹的方法 （1）直接法： 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量 （如距离与角）的等量关系，或这些几何条件简 单明了且易于表达,我们只需把这种关系转化为 x、y的等式就得到曲线的轨迹方程. （2）定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹（如直线与圆 锥曲线）的定义，则可根据定义采用设方程， 求方程系数得到动点的轨迹方程.null 在判断轨迹符合哪一个基本轨迹时，常常用几何 性质列出动点满足的距离关系后，可判断轨迹是 否满足圆锥曲线的定义. 定义法与其它求轨迹方程的思维方法不同处在于： 此方法通过曲线定义直接判断出所求曲线轨迹类 型，再利用待定系数法求轨迹方程. （3）代入法（相关点法）： 当所求动点M是随着另一动点P（称之为相关点） 而运动.如果相关点P所满足某一曲线方程，这时 我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关 点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化 为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关 点法或坐标代换法.null失误与防范 1.求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型， 一般当已知曲线类型时一般用待定系数法求方程； 当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线 方程. 2.求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点 的坐标为（x,y）,然后求x与y的关系.null3.在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该 分为两个方面：一是用定义法,（从已知曲线类 型、或从距离关系中）能判断到曲线类型时,再 用待定系数法求曲线方程；二是,当未知曲线类 型时用其它四种方法求曲线方程. 4.仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的 求轨迹方法,哪些类型、哪些已知条件适合哪一 种方法，要融会贯通，不可乱用方法！null一、选择题 1.（2008·北京理,4）若点P到直线x=-1的距离比 它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 由题意可知,点P到直线x=-2的距离等于它 到点(2,0)的距离,根据抛物线定义知,点P的轨迹 为抛物线.定时检测Dnull2.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲线是 （ ） A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 都不对 解析 （x-y）2+(xy-1)2=0 Cnull3.已知定点A（1，1）和直线l:x+y-2=0，那么到定 点A的距离和到定直线l距离相等的点的轨迹为 （ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 解析 由于点A在直线x+y-2=0上.因此选D.Dnull4.已知点A（-2,0）、B（3,0）,动点P（x，y）满 足 · =x2，则点P的轨迹是 （ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析 由条件知， =（-2-x，-y）， =（3- x，-y）. ∴ · =（-2-x）（3-x）+y2=x2， 整理得：x2-x-6+y2=x2，即y2=x+6， ∴点P的轨迹为抛物线.Dnull5.如图所示,一圆形纸片的圆心为 O，F是圆内一定点，M是圆周 上一动点，把纸片折叠使M与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD， 设CD与OM交于点P，则点P的 轨迹是 （ ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析 由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R＞|OF|. ∴P点的轨迹是以O、F为焦点的椭圆.Anull6.有一动圆P恒过定点F(a,0)（a＞0）且与y轴相 交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨 迹为 （ ） A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 解析 设P（x，y），动圆P的半径为R， 由于△ABP为正三角形， ∴P到y轴的距离d= ，即|x|= . 而R=|PF|= ∴|x|= · 整理得:(x+3a)2-3y2=12a2，即 ∴点P的轨迹为双曲线.Dnull二、填空题 7.平面上有三个点A（-2，y），B ， C（x，y），若 ⊥ 则动点C的轨迹方程是 . 解析 ∴动点C的轨迹方程为y2=8x.y2=8x，null8.△ABC中，A为动点，B、C为定点， 且满足条件 sinC-sin B= sin A,则动点A的轨迹方程是 . 解析 由正弦定理： ∴|AB|-|AC|= |BC|，且为双曲线右支.null9.已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB 边上的中线长|CD|=3，则顶点A的轨迹方程为 . 解析 方法一 直接法.设A（x,y）,y≠0,则 化简得：（x-10）2+y2=36,由于A、B、C三点 构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0.null方法二 定义法.如图所示，设 A（x,y）,D为AB的中点，过A 作AE∥CD交x轴于E， ∵|CD|=3， ∴|AE|=6，则E（10，0） ∴A到E的距离为常数6， ∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆， 即(x-10)2+y2=36,又A、B、C不共线，故A点纵坐 标y≠0, 故A点轨迹方程为（x-10）2+y2=36 (y≠0). 答案 (x-10)2+y2=36 (y≠0)null三、解答题 10.A、B分别是直线y= x和y=- x上的动点.O是 坐标原点，且|OA|·|OB|=a2+b2 （a，b为常数 值，b≠0）. 求线段AB的中点P的轨迹方程. 解 设P、A、B三点的坐标分别为（x，y）、 （x1，y1）、（x2，y2）. ①②③④null又|OA||OB|= 且|OA||OB|=a2+b2，∴|x1x2|=a2. ⑤ 将③④代入②得y= (x1-x2), 即 ⑥ ①2-⑥2得x2- 即x2- =±a2. ∴所求轨迹方程为 =±1.null11.已知抛物线y2=2x,O为顶点，A、B为抛物线上 两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB，垂足 为M，求M点的轨迹. 解 方法一 设直线OA的方程为y=kx, 则直线OB的方程为y=- x. 由 得k2x2=2x,则x=0或x= ∴A点坐标为 ,将A点坐标中的k换为- ， 可得B点坐标（2k2,-2k）， 则直线AB的方程为y+2k= (x-2k2),null即y= (x-2). ① 又直线OM的方程为y= ② ①×②整理得(x-1)2+y2=1 (x≠0) 所求轨迹为以（1，0）为圆心，半径为1的圆 （去掉原点）. 方法二 由方法一知，直线AB过N（2，0）点， 因此△OMN为直角三角形，∴点M在以ON为直 径的圆上运动，点M的轨迹方程为（x-1）2+y2=1 (x≠0).null12.如图所示，已知点C的坐标是（2，2），过点 C的直线CA与x 轴交于点A,过点C且与直线CA 垂直的直线CB与y轴交于点B. 设点M是线段AB的中点， 求点M的轨迹方程. 解 方法一（参数法） 设M的坐标为（x,y）. 若直线CA与x轴垂直,则可得到M的坐标为(1,1). 若直线CA不与x轴垂直,设直线CA的斜率为k,则 直线CB的斜率为- ,故直线CA方程为y=k(x-2)+2, null 令y=0得x=2- ,则A点坐标为 CB的方程为y=- (x-2)+2, 令x=0,得y=2+ ， 则B点坐标为 ,由中点坐标公式得M点 的坐标为 ①null消去参数k得到x+y-2=0 (x≠1), 点M（1，1）在直线x+y-2=0上， 综上所述，所求轨迹方程为x+y-2=0. 方法二（直接法）设M（x，y），依题意A点坐标 为（2x,0）,B点坐标为（0，2y）. ∵|MA|=|MC|， ∴ 化简得x+y-2=0. 方法三 （定义法）依题意|MA|=|MC|=|MO|, 即:|MC|=|MO|,所以动点M是线段OC的中垂线， 故由点斜式方程得到：x+y-2=0. 返回