Gabor变换 Gabor变换 半个世纪前，Gabor提出了一种同时用时间和频率表示一个时间
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的
方法
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，这种方法被称为Gabor展开，而Gabor展开系数的积分表示公式即是Gabor变换。 要实现Gabor变换，主要是要解决两个基本问
题
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：如何选择Gabor基函数；如何计算Gabor展开系数。下面就自己对Gabor变换的一些基本理论的理解简述如下。 一个信号在同一时间会有不同的频率，因此，分析信号应在时间-频率二维空间上进行，即分析信号的时频分布。平稳信号是稳定的和有规律的，因此只从时域或频域一维空间上分析也足够了。但对非平稳信号，就必须用时频二维空间来分析。 要从时频二维空间分析信号，首先必须构造同时用时间和频率表示的时间函数。Gabor在1946年提出了这样一种构造函数——复谱图： 其中 为信号， 为窗函数， ，我们构造的是 与 的时间平移 和频率调制形式 的复数共轭的内积。 其实是 的Fourier变换。利用求逆公式，可以从复谱图中重构原信号 ： 重构信号 ，并不需要知道全部复谱图，只需知道复谱图在一组网格点 为整数的值即可，其中 (临界采样)： 复谱图在网格点 的取值 为： 对 和 以T间隔采样，并定义下面三组Fourier变换对： 经推导可得： 于是， 已知→ 可知→ 可得→ 可求出。 连续Gabor展开（临界采样）： ，又可得一Fourier变换对： 经推导后得： 该式可简写成： ，其中 ， 亦即将信号得时频平面 转换成两个离散采样网格参数 的平面。 称为Gabor展开系数， 称为 阶Gabor展开的基函数。 Gabor变换有三种展开形式： 欠采样 (采样值太少，不稳定) 临界采样 过采样 下面是如何确定 的方法，由Bastiaans于80年代初给出： Basitiaans定义了一个辅助函数 ， ，由此可定义一个Fourier变换对： 由此可得 和 的关系： ，即只要 中一个不为零， 和 便是正交的，因此我们又称 和 是双正交函数。又： 其中 其中 可以看出， 与Gabor基函数 之间是对偶的，我们也称 是 的对偶函数。 因此，确定 后，解上面双正交方程，可得 ，就可进一步求得 。 是完备的条件是满足下式： 而此时信号是可完全重构的，即： 该式称为信号的完全重构公式。 下面是Gabor基函数的选取： 很多有用的窗函数都可以用来做Gabor基函数，可以是时域表示，也可以是频域表示，但基函数的选取应使得构造成的Gabor展开相对于时间和频域都具有较好的局域化性能。 Gabor基函数 具有完备性、线性独立性和正交性。它可以是均匀采样（功率谱在频域是均匀的），也可以是非均匀采样，如塔式Gabor基函数就具有对数频程，这时Gabor变换与传统的小波分析有异曲同工的效果。 最常用的窗函数是矩形函数和高斯函数： 矩形函数 其中 其它 高斯函数
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