旋转体的图案绘制和消隐技术

� � � 年 ! 月 计 算 机 学 报 第 ! 期 旋转体的图案绘制和消隐技术 王来生 张 菌 陈欣荣 ∀江 苏 工 学 院# ∃% & & ∋ ( ) ∗ ( % + ,) − % ) ∗ . ,∗ ∗ ∋ ) / ,) ∋ ∋ / ,0 ,) % & ,1 ) 1 2 ( 1 & % & 1 ( + 3 4 5 / 3 6789 4 5 , : 8 3 4 5 . 3 4 3 4 ; <8 9 4 = 64 > ? 4 5 ∀≅ 63那窟Α Β Χ。 , >6ΔΒ >亡 ? Ε & 亡Φ 方4 ? Χ?了夕# % Γ 7 Δ> 3 9Δ % ΕΔ9 > 64 Δ> ? ; Β 9 64 5 Δ8 9 ; 3 Δ3 64 Η Β Δ Ε? >Ι , >9 Η > 97 9 4 Δ3 Δ6? 4 Ι 9 Δ8? ; ? Ε > ? Δ3 Δ? > , ; > 3 ϑ Κ 64 5 ∃ >64 9 6∃Χ9 ? Ε Η 3 ΔΔ9 > 4 7 , 9 ? ? > ; 64 砰Δ9 Δ >3 4 7Ε? > Ι 3 Δ6? 4 , Η > ? 69 9 Δ6? 4 , 86; ; 9 4 Χ64 9 ∃> ? 9 97 7, 9 ΔΦ · , ΔΧΧ67 Η 3 Η 9 > 7ΔΒ ; 69 ; Δ89 Ι 9 Δ8 ? ; 7 ? Ε Λ 一∗ > 9 Η > 9 79 4 Δ3 Δ6? 4 ? Ε > ? Δ3 Δ? > , Η 3 ΔΔ9 > 4 ; > 3Κ 64 5 3 4 ; 86; ; 94 Χ64 9 9Χ6Ι 64 3 Δ 6? 4 Μ 摘要 本文通过数据输入形式 、 旋转体的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、 图案绘制原理 、坐标 变换 、投影方 法 、 隐线 处理等六方 面 的研 完 , 开发 了旋转体 的三维表示及图案绘制方 法 , 并研完成功 消 除隐线的新方法 Μ 一 、 前 ϑ Ν 目 ϑ�口Μ Μ 口阳 Μ Μ Μ Μ Μ‘二翻 表示三维图形的方法之一是在二维平面上作投影图形的方法 Μ 本文主要研究把旋转 物体的表面用曲线群覆盖并绘制图案 , 通过坐标变换 , 投影变换和消去隐线在 < ( & 或 = Ο 绘图仪上表示图形的方法 Μ 已知一条曲线及一条直线 , 若以此直线为旋转轴来旋转 已知曲线 , 则曲线所产生的曲 面叫旋转 曲面 , 由旋转曲面组成的物体叫做旋转体。 而这直线叫做旋转轴 , 所旋转的曲线 叫母曲线 。 过轴的平面叫做经平面 , 它与曲面 的交线叫做经线或子午线 , 与轴垂直 的平面 叫做纬平面 , 它与曲面 的交线叫纬线 Μ 显而易见 , 旋转的经线均相同 , 而纬线则是以轴为 连心线的一组圆 Μ 在本研究中取母线为平面曲线并与旋转轴在同一平面上 , 且以坐标轴 为旋转轴 Μ 旋转体上的图案绘制是预先在以旋转角 Π , 高度 Θ 为轴的坐标上 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 好图案的模型 , 在画旋转体的同时 , 以不同颜色的线条绘制图案模型 , 并进行消隐处理 Μ 本研究对旋转体上的图案提供了理论基础和支撑软件 , 对机械零部件和工艺美术品 的 < % ∗ Ρ < % 0 有着重要的意义 Μ 本文 � � Σ 年 Σ 月 �! 日收到 Μ 计 算 机 学 ‘ Μ 报 � � � 年 二 、 旋转体的数据输人形式 在生产旋转曲面 形成旋转体时 , 设 Τ 轴为旋转轴 , 母曲线取单位函数 , 其定义域为 Τ ‘。 镇 Τ 攫 : Ι 3 Α , 其输人数据的形式可根据母曲线给予的形式采用以下两种方法 Μ � Μ 函数形式 Α 在定义域内 , 母曲线为 > Υ Ε∀: # 的连续函数 , 把定义域 ” 等分 , 求得 对应各 Τ6 ∀6 Υ � , ς , ⋯ , 。 Ω Χ# 的函数值 了∀:6 # , 以得到离散数据 Μ ς Μ 离散数据形式 Α 在定义域内 , 把定义域 。 等分 , 对应各 Τ ‘∀6一 � , ς , Λ , ⋯ , 4 十 �# 给出离散的 了∀Τ ‘# 值 , 实际上各 厂∀Τ ‘# 的连线即为母 曲线 Μ 八几乙, 一 、 Ε∀ 乙 , 产乙“ 八: Α # , , 八乃 #卜 、 , 尹 : Α 吞 一 图 6 : ‘ : 。 : 。七� 离散的数据 图 ς 旋转体表示 三 、 旋转体产生的基本原理 我们把旋转曲面形成的物体称旋转体 , 旋转体表面的表示方法是在定义域内每隔一 定的间隔把对应的 名 的函数值取为圆的半径画圆∀次 Τ 为高度的横断面境界线 #和每隔一 定角度的子午线作图来产生旋转体 ∀如图 ς 所示# , 其具体方法如下 Α � Μ 旋转体横断面轮廓线方程 当 Τ 的高度为 : ‘时 , 其横断面轮廓线的方程式可用下式表示为 Ξ = , Ω Ο , Υ ΨΕ∀: Ξ # Ζς : Υ : ‘ Ζ ∀� # 、ΜΜ‘,[ΜΜΜ∴!ΜΙ]⊥ 其参数方程表达式为Α _ Υ Ε∀: Ξ # · Ο 一 Ε∀: ‘# · : Υ : ‘ 其中 Τ 为参数 ∀1 提 Α 续 ς动 ς Μ 子午线方程式 设角度的间隔为 △ , 则子午线方程式为 Α ∀ς # = Υ Ε∀: ‘# · 9 ? 7 △ ∀Ν 一 约 Ο ⎯ Ε∀: ‘# · 764 △ ∀� 一 Χ# ∀Λ # 王来生等 Α 旋转体的图案绘制和消隐技术 其中 , 一 ‘, , , · · · , Ι , Ι 一备 由上述的方程式计算曲线上各点的坐标 , 连结各点形成横断面境界线和子午线 , 最后 形成旋转体 。 四 、 图 案 绘 制 原 理 如图 , 所示 , 旋转休上图案的绘制原理是 Α 预先在以旋转角 9 , 高度 夕 为轴的坐标上 设计好图案的模型 , 然后把图案的线条以不同的颜色对应地画在旋转体上 Μ ’其具体方法 是把 < ( & ∀或绘图仪 #上旋转体上的点与模型上的点相对应 , 即把 口, Θ 分别用 = , Ο 表 示 的方法 Μ 但是若模型上的 Θ 和 < ( & 上的 Ο 相等时 , 只要把 日用 = , Θ 来表示即可。 如 图 α 所示 , 旋转体的方程式为 Α ∀= 一 = 。#, Ω : , 一 βΕ∀Ο# χ ς ∀α # _ , Θ , 日之间的关系可表示为 、Μ产、Μ产、一≅户δ夕万Μ、了么、 由式 ∀! #解释得 9 为 = Υ =∴ 一 Ε∀Ο # 9 ? 7 7 。 ε , 「= 。 一 = Χ口 Υ <1 ⊥ ‘ Χ— 行/ Ε∀Ο 〕 ≅这样 , 由式∀δ #建立了 < ( & 画面上的点 ∀= , Ο # 与模型上点 ∀口, Ο # 的对应关系 , 由这个对应关系就可把模型上的图案表示在 < ( & 的物体上 Μ 一屏耐 ΧΘ御 自 ε 态≅∴巨笠二庵畔#∴ 。 一 夕 城砚Υ 二二钾Μ一Υ Μ 尤 ���一门门ΨΨΨ666花花花 图 Λ 图案模型和旋转体对应 图 斗 投影图形 五 、 坐 标 变 换 在直角坐标系中 , 适当选择坐标轴可使图形的方程式简化 , 图形的性质容易理解 Μ 为 算 机 学 ‘ 报报报 � � � 年 此 , 我们对应原来的坐标系设置新的坐标系 , 进行坐标变换 Μ 设三维空间中一点 尸 在原坐标系的旧坐标为 ∃∀ = , Ο , Τ # , 新坐标系中的新坐标为 ∃’∀=’ , Θ’ , :’# Μ 视点的旧坐标为 ∋ ∀_ ∋ , Ο ∋ , Τ ∋ # , 取视点与原点连结的直线为新坐标 轴 =’ , 投影面 ∀。一 Ο’ : ‘# 与 =’ 轴垂直 Μ 则其对应关系可由下式表示 Μ = ‘ Υ % · = Ω Π · Ο Ω < · : Χ979797‘>9797ΜΜ≅ : Ο’ 一 一旦 _ 十 二 Ο φ φ ∀Σ# % · < Π · < : ’ Υ 一 ϑ Ξ Ξ 一一 = 一 一二丁一 Ο 十 φ ·犷 2 ε 其中 , ∗ 一 了_ 尸 十 Ο尸 Ω Τ 尸 % Υ = ∋ Ρ ∗ Π Υ Ο ∋ Ρ ∗ < Υ : ∋ Ρ ∗ γ 一 斌% , 十 Π奋 公目 , 、 、 投 影 方 法 在中心投影时 , 把点 Η 和视 点 ∋ 的旧坐标取为 ∀= ∃ , Ο∃ , :均 , ∀= ∋ , Ο ∋ , : ∋ #Μ 坐 标变换后的新坐标为 ∀_ ∃’ , Θ产 , Τ 尸# , ∀_ ∋’ , Ο ∋’ , Τ ∋’# Μ 则由∀Σ#式求得 ‘ 、ΜΜΜΜ,�� ∃: = ∃ , Υ % · = ∃ Ω Π · Ο∃ Ω < · : ∃ Ο Η , Υ 一 旦 _ 尸 Ω 二 Θ Η φ φ ∀ # :尸 月 Μ φ Υ % Υ ∴ Υ ∴ = ∃ 一 Π · < φ Θ∃ Ω φ · 、ΜΜΜ‘,ΜΜΜ≅: ∋<十Ο ∋= ∋ , Θ ∋ , : ∋ , · = ∋ 十 Π · ∀� # 图 ! 中心投影 设 ∋ , Η 两点连成的直线和投影面交点的新坐标为 η∀= η , Οη , Τ η# 则直线 ∋尸的 方程式为 Ξ = , 一 = ∋ , Θ , 一 Ο ∋ , =严 一 = ∋’ Ο严 一 Ο ∋’ : , 一 : ∋ ‘ : 尸 一 : ∋ ‘ ∀�∴ # ! 期 王来生等 Α 旋转体的图案绘制和消隐技术 其中 =’ , Ο’ , Τ ‘ 为直线上任意点的坐标 Μ 设 = 。为投影面距原点 。在 =’ 轴上的距离 , 则把上式中 =’ Υ = 。 代人∀�∴# 式中即可 求得直线和投影面的交叉点 η∀= η , Οη , Τ η# 为 Α = η Υ = 。 Ο η ⎯ : η Υ = ? 一 = ∋ = ∃ , 一 = 石, = ? 一 = ∋ ‘ = ∃‘ 一 = ∋ ‘ ∀Ο∃, 一 Ο ∋ ‘# Ω Ο ∋ ’ ∀ � � # ∀: 尸 一 : ∋ , # Ω : ∋ 把投影面和显示器屏幕或 = Θ 绘图仪低面对应 , 从而可求得显示器和 = Θ 绘图仪上 点 尸的投影 η 的坐标 Μ 七 、 隐 线 处 理 � Μ 隐线判断 将三维图形在投影面上描绘时 , 线段互相交错 , 不能很好地进行立体表示 Μ 若能采用 视线所能看见的线段予以连结表示 , 看不见的线段不予连接的处理方法 , 将能得到正确的 立体图形 Μ 这个处理作业称为隐线处理 , 隐线处理按下述 隐线判断的条件进行 ∀Χ# 若线段两端点 尸和 η 都可 以看见则线段是可见的予以表示 Μ ∋ ∀= 忍 , 邓 , :∋ 》乙一局 ΗΝ尸‘。矛味万产�,,六侣 产�‘卜、、 ! ∀ 若线段两端点 � 和 # 都不可见则线段是 隐线 , 不予表示 ∃ % ∀ 若线段两端点 & 和 # 中一点可见 , 另一 点看不见 , 则用二分法进行调查 , 只把可见部分予 以表示 ∃ 这种隐线判定实际上是进行隐点判定的 方法 ∃ !∃ 隐点判断 如图 ∋ 所示当判断点 & 和视点 ( 之间三维图 形的一部分存在时 尸点 为隐点 , 否则为视点 ∃ 这 个判断实际上是取母曲线的一部分 ) ∗ 作旋转面 图 ∋ + , , 并由 + , 和直线 � ( 是否有交点来判定 � 点是否为隐点 , 在图 ∋ 中 为隐点 ∃ 设点 ) , ∗ 的 − 坐标 . ‘, . / , 0 坐标为 0 ‘ , ! ! ∃ 视点 ( 的坐标为 尸点的坐标为 & − � , 1尸, 0 &∀ 则线段 ) ∗ 的延长线方程式为 隐点判断 &( 与 + , 相交所以 尸 ( − ( , 2 ( , / 石 ∀ 。 3 . / 一 . 4 ! ! 一 / , 0 坐标值 ∃ , ∃ . ∃ / , 一 . , ! ∃乙 ∃ 卜一! ! 一 / 5 6 ! ∀其中 . , 0 为延长点的 − ,&( 连线的方程式为 − 一 − ( − 尸一 − ( 2 一 2 ( 2 & 一 1 ( 6 % ∀ 其中 7 , 1 , 0 为 尸( 线上任一点的坐标值 ∃ / 一 / ( / & 一 / 石 由 6 % ∀式得 8 � � � 年 ϑ ϑ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ 一、户一ϑ Υ “ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ_ 一 鱼二兰互: ∃ 一 : ∋ ∀= ∃ 一 = ∋ # Ω = ∋ : 一 : ∋Ο Υ 布 Μ石甲一一二Ξ 二二 ∀Ο ∃ 一 Ο ∋ # Ω Ο ∋乙厂 — 乙 乙 Ζ ∀�α # 当 % Π 线段的旋转面与直线 ∃∋ 有交叉点时 , = , Θ , ( 间存在以下关系 = : Ω Θ : Υ ( : 把∀� ς # , ∀� α #式代人∀�! #式得 ∋ · ς ς Ω : 2 · : Ω − Υ ∴ 其中 ∀� ! # ∀� δ # 。 ∀= ∃ 一 = ∋ #ς Ω ∀Ο∃ 一 Ο ∋ #ς王二 二二二二一∀: ∃ 一 : ∋ #, 一‘鱼二里三、,ι: , 一 : Α Ρ ∀�Σ #” � 「, 、 , ” , , , 、 Ρ 、 , ” 〔= ∃ 一 = ∋ #: 2、 Μ , , , 。 , , ” 、> 一— , Δ 人> 一 人 乙 # 龟人 乙 一— 】月司 叹= > Υ = 乙 #: ∃ 一 : 2 / 、 ’ ι : ∃ 一 : ∋ ΡΡ , , , 〔Θ∃ 一 Θ ∋ # · : ∋ ι�Μ Δ = 乙 一— 】Χι : ∃ 一 : ∋ Ρ ≅ ε ∀( : 一 ( , #∀( Ξ · ς ς 一 ( Α · : Α # ∀� #竹��曰云一 ∀= ∋ 一巡命男云丝,#’ Ω ∀一俨是杀产匹#’ Μ ∀ς ς 一 : Α #ςΘ 石 一 ∀Ο Η 一 Ο石# · Τ 石: ∃ 一 : ∋由 ∀�δ#式解得的根 , 即为 % Π 线段延长线的旋转面和 Η ∋ 实际上就是根据二次方程∀� δ #式的判别式来判断隐点 Μ 设 2 ∀: # Υ ∋ · ς ς Ω : 2 : Ω − ∀�� # 直线交点的 Τ 坐标 Μ 这样 2 Α Υ 2 ∀ς �# 2 , Υ > ∀ς ς# 2 ∃ Υ 尸∀: ∃# 2尸∀: # Υ ; 2 ∀: #; : 尸尸 Α ⎯ 2 2∀: Α # 2 2 Α Υ 2 2 ∀ς ς # 2 2 , Υ 2 2∀: , # 则 ∀� δ #式的判别式有如下几种情况 ϕ ∴ Υ ∴ κ 1 [≅、月Μ�−∋一2 在 尸 一 ∋ − κ ∴ 时有下列情况 49:9八;乡一一<(((=‘6∃>?≅ ∃ Α , · Α , Β Χ 同时 Α Α , · Α Α , Β Χ8 Δ ∃ 除上述情况外 ! ( ∃ Β ∃ ! ! ( Β Χ ( 一 Χ ( Ε Χ 矛∃∃∃∃∃了、∃∃=、 / > 3 Β Φ 9 Α % > 9 ΕΧ9 Φ Δ 3 4 9 9 Ι ? ; 9 Χ, Ε ? > Φ ? 位Η Β Δ 9 > 5 > 3 ∃86‘7 , Η > ? Φ , ⊥,− − ( % ∃. Λ ∴ ς一Λ �‘ ∀�� �# Μ