基于小波变换和GARCH模型的股票市场多尺度VaR

基于小波变换和 GARCH 模型的股票市场多尺度 VaR1 杨一文 王绮绮 （西北工业大学 管理学院，陕西 西安 710072） 摘要：基于股票市场异质性这一假设前提，即股票的价格行为受市场中不同投资 时间尺度的市场参与者的交易行为所影响，因此也具有时间多尺度特征。首先应 用小波变换将上证综合指数进行多尺度分解，得到指数在各时间尺度上的波动部 分；其次在各个时间尺度上，分别对波动部分建立 GARCH 模型，并计算 VaR； 最后 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 结果表明，多尺度 VaR 不仅很好地描述不同投资者的风险收益偏好， 而且还有助于证明股票市场异质性假设的合理性和市场有效性在不同时间尺度 上的差异。 关键字：小波变换 多投资时间尺度 GARCH VaR 股票市场 中图分类号: TP183；F830 文献标识码: A Multi-scale VaR of Stock Market Based on Wavelet Transform and GARCH Model Abstract: Based upon the hypothesis of stock market being of heterogeneity, that the behaviors of stock prices are affected by the tradings exercised by investors who have different investment horizons, thus the price volatility having the features of multi-time-scale, the study on multi-scale VaR is conducted. Firstly, Shanghai Composite Index time series are decomposed at different time scale with wavelet transform; Secondly, the volatility parts of the index series at each time scale are modeled with GARCH, respectively, with which multi-scale VaRs are calculated; Finally, analysis results show that multi-scale VaR not only can properly describe the investors’ risk-yield preference, but also would appear to help proving the heterogeneity hypothesis of stock market reasonable. From the results it also can be concluded that market efficiency changes as at different time scales. Key Words: Wavelet Transform GARCH Stock Market Multi-scale VaR Stock Market 1教育部人文社会科学研究基金规划项目（09YJAZH073），国家自然科学基金资助项目（70471026） 1. 引言 相比于用股票收益率的方差描述股票的市场风险，风险价值VaR（Value at Risk）能更好地描述人们对风险（损失）的切身感受，是在市场不利情况下对潜 在损失的一种测度。VaR方法最早由J. P. Morgan公司提出[1]，每天下午4:15提交 给Morgan公司总裁的著名的4.15报告，分析公司在未来的24小时总体上的潜在损 失的大小。一经问世便受到广泛关注并得到了迅速发展，现已成为金融机构及金 融监管部门度量金融风险的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方法，其最大优点在于能够测量不同交易、不同 业务部门的市场风险，并将这些风险集成为一个数值，即用一个数值表示未来某 个时期的潜在损失。 由金融时间序列计算VaR，离不开对金融时间序列波动特征的准确描述。在 对时间序列进行建模时，通常将其分解为确定性成分和随机成分，即 yt = f(t-1, X) + εt (1) 其中f(t-1, X)表示确定性的可预测部分，X表示截至t-1时刻的所有有用信息，εt是 不可预测的随机成分或预测误差项，是计算VaR的基础。传统的时间序列分析理 论一般假设随机误差或残差项εt服从正态分布，并且这种误差的波动特征保持不 变，即具有时不变的方差或波动率。 直至上世纪80年代，人们才逐渐认识到资产价格时间序列的波动性是随时间 变化的，即所谓的异方差性。大量的资产价格实证分析发现，包括股票收益在内 的金融资产价格时间序列具有明显的波动性聚集这一特点，表现为资产价格在变 化过程中大的变化之后往往跟随着大的变化，小的变化之后往往跟随着小的变 化，但符号是随机的，即时间序列的波动性（幅度）或不同时刻的方差表现出一 定程度的相关性。金融资产价格的这种异方差特征最早由美籍法国裔数学家曼德 布鲁特（Mandelbrot）在研究棉花价格波动的过程中所发现[2]，但他没有继续把 收益看成是在时间上具有依赖性的变量而建立模型。而由Engle在1982年建立的 自回归条件异方差（ARCH）模型标志着异方差研究的突破性进展[3]，该模型突 出了条件方差的概念，在假设不同时刻的随机误差εt为统计不相关的条件下，误 差项在t时刻的方差依赖于t-1时刻及之前误差平方εt-i2的（i = 1, 2, …）大小：大的 误差项导致序列当前大的方差，小的误差项导致序列小的方差，因此可以很好地 拟合时间序列yt（或εt）波动性聚积这一特征。Bollerslev1986年将ARCH模型扩展 中线投资者 短线投资者 长线投资者 交易时间尺度 （价格） 图 1 异质市场示意图。市场大致分 为三个层次：低频冲击，即长期投 资者的市场行为，对系统的影响最 具穿透性，对市场的影响是全方位 的；而高频冲击，即短期交易行为， 对市场的影响是短暂的且范围是有 限的；中频冲击效应则介于二者之 间。 为广义ARCH（GARCH）模型[4]，以减少ARCH模型的阶数。国内关于中国股票 市场价格波动的聚积性的实证研究表明，应用GARCH族模型可以较好地描述沪 深股票市场的波动性[5–7]。 上述资产价格波动性在某种程度上的相关性使得其数据分布呈尖峰厚尾形 态，表明相对于正态分布来讲，股票收益率发生较大波动的可能性则来的大一些。 所以，传统计算 VaR 的参数方法对数据所做的服从正态分布以及方差时不变的 假定将低估 VaR，并且估值是静态的。正是由于 GARCH 模型较好地刻画了金融 资产价格时间序列波动的波动性聚集这一特征，即异方差特性，因此结合GARCH 模型计算 VaR 无疑是一个合理的方法。 近年来，由于人们逐渐认识到有效市场理论所依据的严格条件与实际相差甚 远，对市场现象的解释能力有限，并且随着行为金融学研究的兴起，市场参与者 有限理性的群体行为对股票价格的影响越来越受到关注。而投资时间尺度则是投 资者市场行为的主要特征，是区分市场参与者不同交易行为、进一步深入认识市 场群体行为的一种有效方法。股票市场 中的众多投资者具有多种不同的投资时 间尺度，因为投资者对市场具有不同的 预期、不同的信息来源和不同的信息解 读方式（人脑的差异）、以及对风险有不 同的厌恶程度等，因而导致他们具有不 同的投资时间尺度，即所谓的市场异质 性[8–9]。短时间尺度投机者基于价格的短 期波动决定他们的交易策略，具有较高 的交易频率，对价格的影响是短期的， 对市场的影响范围有限；而长时间尺度 投资者基于基本信息决定他们的投资策 略，往往具有较低的交易频率，对价格 的影响是长期的，对市场的影响穿透力 强、范围广；而中长时间尺度投资者则 同时关注短期波动和长期基本信息，其 交易行为对市场的影响是中等强度的，如图1所示。任何影响股票市场的因素在 不同时间尺度的投资者眼里其作用是不一样的，所引发的交易行为就有所差异。 所有不同投资时间尺度的市场行为间的相互影响、作用的总和最终反映在市场价 格上，导致股票价格波动具有多时间尺度特性，进而VaR也具有多时间尺度特性。 实际上，投资者对风险的关注依其投资时间尺度不同而不同，长时间尺度投 资者主要关注大时间尺度波动风险对投资收益的影响，而忽略短时间尺度波动风 险带来的影响。而短时间尺度的投资者则将其关注的焦点集中在短时间尺度的波 动风险上。因此，把握股票价格波动的多尺度特性，并结合GARCH模型在多个 时间尺度上计算VaR，较通常在单一时间尺度上计算VaR，能更精确地刻画股票 市场风险，有助于深刻理解市场风险在不同时间尺度上的分布结构，为探索股票 市场风险演化规律开辟一个新的研究视角。为此，本文 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 安排如下，第2节简 要介绍GARCH-VaR模型；第3节利用小波变换将股票收益率序列进行多尺度分 解；在不同尺度上建立GARCH模型并计算VaR以及结果讨论分别在第4节和第5 节中给出。 2．GARCH-VaR 2.1 VaR 的定义 VaR(Value at Risk)按字面解释就是“风险价值”，确切的是指，在一定概率水 平（置信度）下，某一金融资产或投资组合的价值在未来特定时期内的最大可能 损失。比较规范的定义是：在正常的市场条件下，在给定的置信水平1-α和持有 期T内，某一投资组合的随机损失值Δr预期可能发生的最大值，即 Prob(Δr < VaR) =1– α 或 Prob(Δr > VaR) = α (1) 其中，按一般习惯VaR取正值（实际上取正、负无关大碍，只需作相应变换即可）。 2.2 GARCH–VaR 模型 GARCH(p, q)基本的应用形式是 ∑ ∑ = = −− ++= ⋅= += p i q j jtjitit ttt ttr 1 1 22 0 2 σβεαασ νσε εμ (2) 其中，rt表示t时刻资产收益率，并由收益方程表示，该方程可有多种形式，如多 元自回归或均值自回归，即将σt引入收益方程中，rt = μt + βσt + εt；νt为独立同分 布的随机变量，且与σt相互独立；α0 > 0，αi ≥ 0（i = 1, …, p），βj ≥ 0（j =1, …, q） 保证条件方差的非负性， 1 1 1 22 <+∑ ∑ = = −− p i q j jtjiti σβεα 保证条件方差序列的收敛性。 实际应用中一般假设νt服从标准正态分、t分布或广义误差分布，例如，假设 νt服从标准正态分布，则： αν α =−≤ )( zProb t (3) 其中，zα为正态分布对应概率为α的临界点或分位数，不等式两端同乘σt ασνσ α =−≤⋅ )( zProb ttt (4) 由收益方程得 ασμ α =−≤ )( zrProb tt (5) 由VaR定义，得到t时刻的（VaR > 0） VaRt = -μ + σt·Φ-1(α) (6) 其中，Φ(·)为随机变量νt服从的概率分布。 2.3 VaR 值的准确性检验 由式(6)得到的 VaR 是基于历史时间序列建模分析的基础上得出的未来风险 价值，需要对其预测结果的有效性与准确性进行检验。其中检验方法有多种，本 文将采用失败率检验方法：T 代表样本容量，即时间序列的长度，计算实际损失 超过 VaR 值的失败次数，记作 N，失败率 P = N/T。假定计算 VaR 的置信度为 1 – α，则每次失败的期望概率为 P0 = α，如果失败率 P 大于 P0，则模型失败；反 之，模型成功。因此建立原假设和备择假设如下：H0：P ≤ P0，H1：P > P0，此 时模型的准确性检验转化为对失败率 P 是否显著异于失败期望概率 P0 = α的检 验。 在实际应用中，通常假设 VaR 值的估计具有时间独立性，失败出现的次数 可视为一系列独立的贝努里试验，则在 T 次实验中失败 N 次的概率为： NTNN T PPC −− )1( 。基于此，Kupiec 构造出了最大似然估计统计量[10]： ])1ln[(2])1ln[(2 00 NNTNNT PPPPLR −− −−−= (7) 在原假设成立的前提下，统计量 LR ~ χ2(1)。据此可以确定在某一置信水平下的 接受域和拒绝域，实现上述假设检验。例如，假设显著水平为 5%，对应的临界 值为 3.841，如果 LR >3.841，则拒绝原假设，说明 VaR 模型准确性差；反之， 则不拒绝原假设，认为 VaR 值计算的准确性在 95%的置信水平时满足要求。 3. 多尺度分解 小波，顾名思义就是持续时间很短的波，把满足下列条件 0)( =∫ dttψ ， ∫ =1)( dttϕ (8) 的函数 ψ、φ，分别称作母小波、父小波（或尺度函数）。多尺度分解就是将一个 信号（数值观测序列）表示（分解）成小波函数的线性组合，其中父小波用来表 示信号的低频光滑成分，母小波用来表示信号偏离低频趋势的高频细节部分。任 意时间序列 f(t)∈L2(R)可由正交小波进行多尺度分解或表示： ∑∑∑ ∑∑∑∑ == −− +=+= ++++≈ J j jJ J j k kjkjJ k kk k kJkJ k kJkJ k kJkJ tDtStdtS tdtdtdtStf 11 ,, ,1,1,1,1,,,, )()( )()( )()()()()( ψ ψψψϕ L (9) 其中，J 是尺度分解的层数，k 的取值范围是 1 至对应尺度上小波变换系数的个 数，SJ, k、dJ, k、dJ-1, k、…、d1, k是小波变换的系数 ∫≈ dttftS kJkJ )()(,, ϕ ， ∫≈ dttftd kjkj )()(,, ψ ，j = 1, 2, …, J (10) 函数 φj,k(t)、ψj,k(t)由小波函数 φ(t)、ψ(t)的伸缩、平移得到 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − j j j kj ktt 2 22)( 2/, ϕϕ ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − j j j kj ktt 2 22)( 2/, ψψ (11) 由式(9)，小波系数 SJ, k、dJ, k、dJ-1, k、…、d1, k表示小波函数 φj,k(t)、ψj,k(t)对整个 信号 f(t)的贡献程度。系数 SJ, k称做平滑系数，表示信号在大（较糙）尺度 J 上 的低频平滑行为，dj, k 称做细节系数，表示信号在尺度 j 上的高频细节行为。Sj 和 Dj分别称作原始序列 f 在不同尺度 j 上的逼近（或趋势、平滑）和细节，式(9) 所示的小波分解的示意图由图 2 给出。通过小波变换将股票收益序列进行多尺度 分解，就可以大致得到不同投资时间尺度的交易行为引起的价格波动，即各尺度 上的高频细节部分，进而可以计算各时间尺度上的 VaR。 如果原始时间序列 f(t)的采样周期为 Ts，则对应的采样频率 fs = 1/Ts，那么经 一次分解后，D1 的频率范围是 2-2fs~2-1fs，对应的时间尺度为 2Ts ~ 4Ts；类似地， D2 的频率范围是 2-3fs~2-2fs，对应的时间尺 度为 4Ts ~ 8Ts；等等，以此类推。这样利 用小波变换将信号分解成多尺度（多分辨 率）成分：小尺度（精细分辨率）部分和 大尺度（粗糙分辨率）部分。值得注意的 是，随着尺度的增加，在大尺度上得到的 逼近和细节的频率比较低，但是带宽也随 之减少，即对低频成分具有比高频成分较 高的分辨率。正是由于这一特性，小波变 换被誉为数学显微镜。 4．多尺度 VaR 计算 4.1 数据说明 选择 2009 年 1 月 5 日至 2010 年 12 月 31 日两年的上证综合指数日收盘价为 样本数据，样本容量为 486，数据来源于锐思数据库注 1。收益率采用对数收益率： rt = lnPt – lnPt–1。 4.2 收益序列的多尺度分解 离散小波变换（DWT）最著名的改进形式是所谓的“最大重叠离散小波变 换”（Maximal Overlap DWT）[11]，虽然二者有许多不同的性质，但就本文所涉 及的问题而言，采用最大重叠离散小波变换有以下有点：1) 时间序列的长度无 需是2J的整数倍，可以是任意整数；2) MODWT得到的逼近Sj(t)和细节Dj(t)具有 零相位偏移，与原始序列在时间上是对齐的，因此，我们可以方便地在不同时间 尺度上分析某一市场波动的特点并计算对应的VaRt。 对上证综合指数收益序列应用 MODWT 共进行了 6 层小波分解注 2，对应的 最大时间尺度为 64（26）天，如图 3 所示。所用小波滤波器为 LA8，它是长度 为 8 的与 Daubechies 最小不对称（Least Asymmetric）尺度滤波器对应的小波滤 波器，其最大特点是具有线性最小相位偏移，很容易获得零相位小波变换。 注 1 网址：http://www.resset.cn/ 注 2 分解层数再增加时，分解得到序列的序列异方差性已变得不显著。 图 2 小波 J 层分解示意图 4.3 上证综合指数收益序列多尺度 GARCH 模型 式(2)中的收益方程是条件均值方程的最简单形式，实际建模过程中一种可 能的处理是适当的扩展为多阶自回归移动平均模型，模型阶数确定的原则是残差 项 εt不相关，εt2 具有相关性。异方差模型的形式为 GARCH(1, 1)，假设为独立同 分布的随机变量 νt服从 t 分布注 1，即 Jj ttt ttt titbitDctD jjjjjj jjj j q i jji p i jjijj , ,2 ,1 )1()1()( )()()( )()()()( 22 0 2 11 L= −+−+= ⋅= +−+−+= ∑∑ == σβεαασ νσε εεμ (13) 应用 Eviews5.0 建模结果如表 1、表 2 所示。 注 1 引入 t 分布主要是考虑较好拟合股票收益率分布的厚尾部分。 图 3 上证综合指数收益率在 6 个尺度上的波动细节，左列：D1~D3，右列：D4~D6。 表 1 条件均值方程参数 D1(t) D2(t) D3(t) D4(t) D5(t) D6(t) c1 – 0.6721 0.586135 1.465333 1.984987 1.972103 1.892499 c2 — –0.799767 –0.841106 –1.060054 –0.996937 –0.896107 b1 — — 0.995973 0.997421 0.21 0.989401 表 2 GARCH(1, 1) 模型参数注 1 D1(t) D2(t) D3(t) D4(t) D5(t) D6(t) D7(t) α0 3.12E–06 6.01E–07 9.23E–08 4.65E–09 8.07E–10 6.33E–10 5.47E–11 α 0.19 0.13 0.14 0.13 0.09 0.31 0.35 β 0.79 0.86 0.84 0.87 0.86 0.42 –0.14 α +β < 1 其中 Dj(t)（j = 1, 2, …, 7）表示上证综合指数收益序列在多个尺度上的高频细节 部分，即波动部分，因此均值 μj = 0，实际结果也表明方程的截距项在 0.05 显著 水上与 0 没有显著差异。表 1 和表 2 中的模型参数值都是在 0.05 的显著性水平 上显著不为零；对每一尺度上均值方程的残差进行条件异方差性检验（ARCH test ） [3] 表 明 存 在 显 著 的 条 件 异 方 差 性 ； 衡 量 残 差 序 列 相 关 性 的 D-W(Durbin-Watson)统计量均接近 2，表明残差自相关性较弱，各尺度上的数据 拟合较好。各种检验结果说明模型建立合理，可用于下一步进行 VaRt 值序列的 计算。 4.4 多尺度 VaR 及检验 给定置信水平 1–5%，由式(6)计算各尺度上的细节部分 Dj(t)的 VaR，结果如 图 4 所示。并由式(7)构造的统计量对其准确性分别进行检验，结果示于表 3。 从表 3 中可以看出各个尺度上 VaR 值准确性检验的 LR 统计量都小于显著性 水平为 0.05 时的临界值 3.841，表明上述基于 GARCH(1, 1)的 VaR 模型对上证指 数收益率各个尺度高频分量的波动风险进行了较准确的度量。 注 1几乎所用对上证综合指数GARCH建模的研究如[5−7]等应用单位根方法对上证指数日收益率的平稳检验 都表明，在 5%或 1%显著水平上是平稳的，而对该序列的小波分解是线性低通、带通滤波的结果，也一定 是平稳的，因此可以对其应用式(13)进行 GARCH 建模。 表 3 VaR 准确性检验（失败率检验方法） N T P = N/T LR 统计量 VaR1 28 486 0.058 0.567 VaR2 24 486 0.049 0.004 VaR3 23 486 0.047 0.075 VaR4 23 486 0.047 0.075 VaR5 23 486 0.047 0.075 VaR6 20 486 0.041 0.850 从表 3 中可以看出各个尺度上 VaR 值准确性检验的 LR 统计量都小于显著性水平 为 0.05 时的临界值 3.841，表明上述基于 GARCH(1, 1)的 VaR 模型对上证指数收 益率各个尺度高频分量的波动风险进行了较准确的度量。 各尺度上计算的 VaR 的简单统计特征在表 4 中给出。 5. 结果讨论 图 3 中，经多尺度变换后得到的上证综指收益率在各个尺度上的波动， 统计 量 VaR 图 4 上证综合指数在 6 个尺度上的 VaR，左列：VaR1~VaR3，右列：VaR4~VaR6。 表 4 各尺度上计算的 VaR 的简单统计特征 随着尺度的增加，分辨率越来越差，那些快速变化的波动已逐渐分辨不出， 波动变得越来越平滑。这就相当于逐渐远离某一观测物体，物体本身上的细 节部分变得模糊，直至观察不到。这也符合长期投资者具有长投资时间尺度 的投资理念，他们不去关心短期的高频波动，对其视而不见，只关心对市场 有深刻影响的波动。例如，2009 年 8 月 19 日、20 日、31 日，上证综指收益 率涨跌幅度都在 4%以上（对应图中位置 150 前后），这样连续的大幅波动对 市场具有深刻影响，果然自九月 1 日起开始了连续 3 个月的震荡上行，而 31 日的深度下跌，则形成阶段性底部；再例如，2009 年 10 月 9 日大盘上涨幅 度近 5%（对应图中位置 183 处），仅在第 1、第 2 尺度上留下不十分明显的 痕迹，在更大尺度上则看不到明显特征。实际上该日不过是国庆长假后第一 天开市，没有什么特别之处。因此在长时间尺度投资者眼里，市场波动显然 没有短时间尺度投资者认为的那样剧烈，这样的投资理念也自然反映在对待 风险的态度上。模型式是(13)是对收益序列条件方差的一步自回归，以此为 基础计算的 VaRt 是未来持有期为一天，置信水平为 95%时各尺度上最大可 能损失。在长时间尺度投资者眼里，波动变化缓慢，那么他对所承担的风险 的调整幅度自然也就不如短期投资者那样大，如图 4 所示那样，大时间尺度 上 VaR 值的变化比小时间尺度上 VaR 的变化就来得平缓。作为一种方法的 说明，限于篇幅，本文只给出一种日时间尺度的收益序列在多个尺度上计算 VaR 的结果，也可直接用于计算更长或更短时间尺度收益序列的多尺度 VaR。 关于结合股票行业、流通盘大小等特点，分析不同投资时间尺度投资者未来 不同持有期的风险，将另行撰文研究。 均值 标准差 最大值 最小值 峰度 偏度 VaR1 0.0126 0.0076 0.0514 –0.0022 5.1642 1.1800 VaR2 0.0054 0.0051 0.0297 –0.0132 4.9995 0.5481 VaR3 0.0012 0.0043 0.0185 –0.0153 4.1847 0.1890 VaR4 0.0003 0.0031 0.0099 –0.0082 3.0343 0.1620 VaR5 0.0001 0.0023 0.0065 –0.0049 2.9827 0.1925 VaR6 0.0000 0.0017 0.0041 –0.0030 2.3015 0.2339 根据本文计算 VaR 的定义，VaR 取正值表示可能的最大损失，那么反过来， VaR 取负值则表示可能的最大收益。由图 4，VaR 取负值的个数随尺度增大而增 加，也就是说指数收益率在较大尺度上每一时刻的分布属于左偏分布的情形有所 增加，说明获得潜在收益的可能性是随投资时间尺度增加的。这是因为在较大时 间尺度上，忽略掉短期波动，相对容易掌握收益率变化的趋势，获得收益的可能 性自然就大一些，而所承担的风险也就小一些，这一分析结论得到表 4 所列出统 计结果的进一步印证。 我们还观察到，同一时刻的 VaR 在各个尺度上的符号是不一致的，说明在 这一时刻，风险和收益在不同尺度上也是不一致的，这恰恰反映出不同时间尺度 的投资者具有不同的收益预期和风险暴露，实际验证了股票市场的异质性，并且 至少可以证明，上海股票市场的有效性在不同尺度上是有差异的。而如果 VaR 在各个尺度上的符号开始变得趋于一致，即市场的异质性开始减弱，则很可能预 示着股市泡沫和股灾，因为当所有投资者对市场的看法趋于一致时，市场流动性 开始消失，股票价格要么猛涨要么急跌。 综上，基于小波变换的多尺度分解为我们围绕投资时间尺度这一投资行为的 重要特征，通过市场数据实证研究股票市场风险、深刻理解不同投资时间尺度市 场行为的风险-收益偏好提供了一种有利工具，开辟一个新的研究视角。多尺度 分解的应用，当然是以市场的异质性假设为前提，本文的计算结果也比较有利地 证明了该假设的合理性。最后有必要简单说明多尺度变换得到的平滑与市场人士 常用的移动平均线的区别，本质上讲二者均为线性滤波，但前者是零相位滤波， 而后者的滞后性这一缺陷则是众所周知的；基于正交小波分解的不同尺度的平滑 和细节可以重构回原始序列，如式(9)所示，或者至少能够保证能量守恒，即尺 度J上的平滑和所有尺度上细节部分的方差之和等于原始序列的方差，而不同窗 口长度的移动平均显然不具备此有点。 参考文献 [1] Morgan J P. 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