【例4-3】电梯的最速下降问题（
）。设
为电梯的瞬时高度（上为正），
为电梯的瞬时速度（上为正）则可列出电梯运动的状态方程
式中
与
分别为开始时刻和末端时刻电梯所在楼层的高度，而
与
分别为开始时刻和末端时刻电梯的运行速度，当然它们应为静止状态。设电梯的最大推力为
，则电梯最速下降问题是：求满足约束条件
的最优控制
，使得
最小。
【解】该问题的哈密顿函数为
由极小值原理，最优控制是
同样，该最优控制的关键是要求出
，注意到协态方程是
它的通解为：
显然，
仅发生在
这样一个孤立的时间点上。
对应于不同的
和
，
有四种情况：
①
②
③
④
对于本题所讲的实际问题，电梯总是在楼层中转移总是要经历（数值上）先加速再减速的过程，所以①、②两种情况是不可能发生的。且上楼（
）总是第③个控制组合，下楼（
）总是第④个控制组合。
另一方面，不难求出当
时状态方程的解为：
从上面两个方程中消去时间t，可得
， 其中：
它是一族开口向右的抛物线。而当
时，状态方程的解为：
同样可导出
， 其中：
这是一族开口向左的抛物线，从图形上讲它比
时得到的开口向右的抛物线焦距更小一些（通俗地说是碗口更扁一些）。
对于本例的问题，当电梯下楼（
）时：因
，故电梯运行的第一阶段（
，向下加速阶段）有
，于是
，
而在电梯运行的第二阶段（
减速制动阶段），因
有
于是
在切换点：
解得：
，
这就是可能的最速下降时间。
同样可求得最速上升时间。对于本题的问题，当电梯上楼（
）时：因
，故电梯运行的第一阶段（
加速阶段）有
，于是
而在电梯运行的第二阶段（
减速制动阶段），因
有
于是
在切换点：
解得：
，
最速上升时间和最速下降时间竟然是相同的。
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