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线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数重要知识点及典型例题答案线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和|ajn（1）（用2心3屁2…％jlj2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DDt）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行...

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和|ajn（1）（用2心3屁2…％jlj2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式DDt）行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式Mj、代数余子式Aj（1）ijMij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D0时，有唯一解：XjDjD(j1、2n)齐次线性方程组:当系数行列式D10时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式：①转置行列式:a11a12a13a21a22a23a3ia32a33a11a21a31a12a22a32a13a23a33②对称行列式：aijajj③反对称行列式：ayaji奇数阶的反对称行列式值为零a11a12a13a21a220a310a33④三线性行列式方法：用k£22把a2i化为零，。。化为三角形行列式⑤上（下）三角形行列式行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念:需.（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）矩阵的运算:加法（同型矩阵）交换、结合律数乘kA(kaj)m*n分配、结合律lA*B(aik)m*l*(bkj)l*n(aikbkj)乘法1m*n注意什么时候有意义般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置(AT)TA(AB)Tbt(kA)TkAT(AB)tbtat（反序定理）方幕：AklAk2Ak1k2(A©)k2A&k2几种特殊的矩阵：AB都是n阶对角阵对角矩阵:若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,1B（非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵乘某一行（列）3、将某行（列）的K初等矩阵都可逆倍乘阵倍加阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵等价标准形矩阵DrIr0OO矩阵的秩r(A):满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r(AB)=r(B)初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(kaij)nk(aij)n，行列式kajknaj逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：111、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A1)1Ai112、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)-Ak3、可逆矩阵A的转置At也是可逆的，且(AT)1(A1)T4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)1B1A11但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但(AB)ABA为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则A1A1伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵：AA1A2A21A22(代数余子式)特殊矩阵的逆矩阵：(对1和2，前提是每个矩阵都可逆)1、分块矩阵DA1A1BC1C12、准对角矩阵AA2A21A3A31A413、AAAA4、A*AA1(A可逆)5、A*An16、A*1A1丄A(A可逆)力IA7、AAt8、ABBA判断矩阵是否可逆：充要条件是A0，此时A1-1-A*IAI求逆矩阵的方法：定义法AA1I*A伴随矩阵法A1AIAI初等变换法A|Inln|A1只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设Aaijm*n是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A(行变左乘，列变右乘)第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵t简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当rn时，有无穷多解r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A) 规范型：形如的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C,使得则称A与B是合同的，记作AB。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）第一章行列式.行列式的定义和性质1.余子式Mij和代数余子式Ay的定义例1行列式第二行第一列元素的代数余子式A.2B.C.1D.测试点0111111111101121,A21(1)M2110101211011100011110余子式和代数余子式的概念解析答案B2•行列式按一行或一列展开的公式n1)AaijnajAj，j1,2丄n;(Aaiji1aijAij,Ij11,2丄n)n2)aijAki1kjjjj例2设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3，对应的余子式分别为3,2,1则此行列式的值为.测试点行列式按行(列)展开的定理TOC\o"1-5"\h\z212223解D(1)A212A223A23(1)(1)M212(1)M223(1)M23HYPERLINK\l"bookmark103"\o"CurrentDocument"34310例3已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x问x__「测试点行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零•解因第一列的元素为1,4,3,2，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x,故1243（3）42x0所以x1行列式的性质1)ata2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式=原行列式的k倍.推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等a11a12a132a112a122a13例4已知a21a22a233，那么a21a22a23a31a32a332a312a322a336）行列式的某一行（列）的(B.12A.24C.6D.122a112ai22a13a11a12a13解析a21a22a232(2)a21a22a232a312a322a33a31a32a33测试点行列式的性质答案B12.例5设行列式a1b1=1，a1C1=2,则a1b1C1=(a2b?a2c?a2b?c?B.1A.3C.1D.3测试点行列式的性质a?b?C2a?c?a2b2故应选D答案D二.行列式的计算二阶行列式和三角形行列式的计算•对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算3•对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开行列式中各行元素之和为一个常数的类型范德蒙行列式的计算公式1114例6求4阶行列式的值.113112111111123233100233100203249499(1)(1)(2)200499(1)(3)200409367677300677300607例7计算3阶行列式123233249499367677解0.xaaa例8计算行列式：axaaaaxaaaax测试点行列式的计算11141131解121111111110020100004333(3)xaaaaxaaaaxaaaaxx3aax3axx3aax3aaaaaaxaaxx3aaaa0xa0000xa0HYPERLINK\l"bookmark304"\o"CurrentDocument"000xa3(x3a)(xa).例9计算行列式Dnab0L000abL0000aL00HYPERLINK\l"bookmark321"\o"CurrentDocument"MMMOMM000Labb00L0a测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解Dnab0L0abLHYPERLINK\l"bookmark278"\o"CurrentDocument"00aLMMMO000Lb00LMM=aAnbAm=aMn+b(1)n1Mn1MM(1)n1bn测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧例10计算行列式D6问（1）D(x)中,测试点解（1）1664x3项的系数=?（方程D（x）0有几个根？试写出所有的根。1.范德蒙行列式的判别和计算公式；2，J・行列式按行（列）展开的定理•x3项的系数A14(1)5(32)(42)(43)216⑵因为D(x)(2x)(3x)(4x)(32)(42)(43)所以方程D（x）0有三个根：x12,x23,x34.00L0110L0000L2002L00MMNMf\(1)3MMOM(1)(6)'05L00⑵(5)00L50⑶(4)60L0000L0660L001x2x3x解D6/I6!27例11设D(x)第二章矩阵一、矩阵的概念要弄清矩阵与行列式的区别两个矩阵相等的概念几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A,B的加、减、乘有意义的充分必要条件例1设矩阵A(1,2),B133，则下列矩阵运算中有意义的是（6A.ACBB.ABCD.CABC.BAC测试点：矩阵相乘有意义的充分必要条件答案：B120100例2设矩阵A210，B021则A001013测试点:矩阵运算的定义120200320解A2B210042252.001026027例3设矩阵A1B2，则ATB23解ATB(1,2)8.测试点:矩阵运算的定义2．矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.((AB)2A2+ABBAB2;(AB)(A-B)A2+BA-AB-B2;(AB)kABABLABAkBk;(AE)2A22AE如果ABO，可能AO,BO.例如A111111,B22都不为零，但ABO223．转置对称阵和反对称阵1）转置的性质(AB)TATBT;(A)TAT;(ABC)TCTBTAT2）若AA（ATA），则称A为对称（反对称）阵例4矩阵A,B,C为同阶方阵，则（ABC）T=（）A．ATBTCTB．CTBTATC．CTATBTD．ATCTBT答案:B例5设（1,2,3）,（1,1,1）,令AT,试求A5.测试点矩阵乘法的一个常用技巧11解因为A222,所以333A5TTTTTt(T)(T)(T)(T)11111111(T)5T[(1,1,1)2]52(1,1,1)252223222233333333TOC\o"1-5"\h\z11答案32222.333例6A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是()A.AAB.AAc.aatd.ata解析(AAt)tAt(At)tAtaaAt.故AAT为对称阵•(AAT)TATA(AAT).故AA为反对称阵•(aat)taat•故aat为对称阵•同理ata也为对称阵答案B112例7已知矩阵A,E为2阶单位矩阵，令BA23A2E,求B3测试点方阵多项式的概念；11111110BA23A2E322323230114332021876902204.方阵的行列式的性质AtA;IAn|A;IAB|A||BAkA1例7设A为n阶方阵,IA;A为实数，则|A=B.I||AD|门AAAc.n|a答案：c212例8矩阵AB，则行列式AtB14’45解析答案"T1AB23.aTb11AB(2)5.逆矩阵1）方阵a可逆（也称非异，A满秩）的充分必要条件是A0.当A可逆时,A1A21LAn1其中方阵A的伴随阵A的定义AA2A22LAn2MMOMAnAnLAnna1b1db特别当adbe0时，cdadbcca重要公式AAAAAE；AAn1；A与A1的关系2）重要结论：若n阶方阵A,B满足ABE，则A,B都可逆，且A1B,B1A.3）逆矩阵的性质：11(A)A;;当111111T11T10时，(A)-A;(AB)BA；(A)(A);A4）消去律：设方阵A可逆，且ABAC（BACA），则必有BC.（若不知A可逆,仅知A0结论不一定成立。）6.分快矩阵矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如B1A1A12A3A,BB2,ABA21A22A23…B3A11B1A21B1A12B2A22b2A13B3A23B3分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置A1AI2LAkTA1A21LA21A22LA2kA；A；2L^2MMOMMMOMAm1Am2LAmkAlAkL准对角阵的逆矩阵:如果A,A2丄,,Ak都是可逆阵，则TOC\o"1-5"\h\zAlOLOHYPERLINK\l"bookmark319"\o"CurrentDocument"OA2LOMMOMOOLA<HYPERLINK\l"bookmark317"\o"CurrentDocument"A1OLOOA21LOMMOMOOLAk1例9二阶矩阵Aab，则A=(cddbaA.cC.dbcaB.dcbadcD.ba)测试点伴随矩阵的定义，二阶方阵的伴随阵100例10三阶阵A220，则AA333测试点重要公式AAAAAE600答案6E060006答案：A例11A200363，则A532解AA31623612例12设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)1，则A=(34A.B.C.D.测试点逆矩阵的性质111212112解由(2A)1,所以2A故A13434234答案D101例13设A210,求A32510AE2132⑵+(-2)(1)101100(3)+3(1)012210022301110000105001测试点求逆矩阵的方法解1011001011⑶（2）⑵0122102(3)2012200272100172001015]10(J--1220105-1171001一—122511212所以A151171—1—22注意定要验算例14已知A22A8EO,则(AE)1测试点关于逆矩阵的重要推论若A,B都是n阶矩阵，且满足ABEn,则A,B都可逆，且A1B,B1A.由A22A8EO得A2A3A3E5E0，即(AE)(A3E)5E，(A(A3E)EFE，故（AE)11-(A3E).51答案(AE)1(A3E).5例15设A是n阶方阵，且（AE）2O，证明A可逆.测试点若ABE则A,B都可逆，且A1B,B1A.证因为(AE)2O,即A22AE0,所以A(A2E)E故A可逆，且A1（A2E）.例16设n阶方阵A满足AmO，其中m为正整数，证明EA可逆，且TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark129"\o"CurrentDocument"(EA)1EAA2LAm1分析只要检查(EA)(EAA2LAm1)E即可HYPERLINK\l"bookmark133"\o"CurrentDocument"证因为(EA)(EAA2LAm1)HYPERLINK\l"bookmark135"\o"CurrentDocument"EAAA2A2LAmEAmE.HYPERLINK\l"bookmark139"\o"CurrentDocument"故(EA)1EAA2LAm1三、矩阵的初等变换和初等矩阵1．初等变换的定义和性质称矩阵的下列三种变换为初等行变换：两行互换；某一行乘一个非零的数；某一行的k倍加到另一行上。类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.方阵经初等变换后的行列式是否变化？(分别就三种初等变换说明行列式变化的情况)初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换ErO必能将矩阵A化为标准形，其中r为矩阵A的秩.OO如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B,则称矩阵A与B等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.初等矩阵的定义和性质初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.初等变换和矩阵乘法之间的关系对任意mn阶矩阵A，总存在一系列m阶初等阵R,F2丄,Pk和一系列n阶初等阵Qi’Q?丄，Qi,使得P1P2LPkAQ1Q2LQlEOrOO2ki2lOO4)矩阵mn阶A与B等价的充分必要条件是存在一系列m阶初等阵R,P2丄,Pk和一系列n阶初等阵QiQ丄,Qi,使得PP2LRAQ1Q2LQiB.例i7下列矩阵中，是初等矩阵的为()0iii0A．B．i0i0000i100010C．011001D．003100测试点初等矩阵的定义和性质100解析C.010是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。101答案C例18设三阶矩阵Aa11a12a13矩阵P,使得a21a22a23,若存在初等a31a32a33a112a31a122a32a132a33PAa21a22a23,则P【】a31a32a33100102100120A.010B.010C.210D.010201001001001测试点矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系答案B四、矩阵的k阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法1矩阵的k阶子式的概念2矩阵秩的概念定义0矩阵的秩为0，对于非零矩阵A，如果有一个r阶子式不等于0,而所有的r1阶子式（如果有的话）都等于0,则称矩阵A的秩为r.显然n阶可逆矩阵的秩等于n，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）；从而矩阵A左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价.求矩阵秩的方法1010例19设矩阵A0234，则A中（）0005A.所有2阶子式都不为零B.所有2阶子式都为零C.所有3阶子式都不为零D.存在一个3阶子式不为零测试点矩阵的k阶子式的概念答案D101例20设矩阵A020矩阵BAE，则矩阵B的秩r（B）=001测试点矩阵秩的概念001解BAE010000答案r(B)21213例21设矩阵A48412，问a为何值时，363a（1）秩(A)1；（2）秩(A)2.测试点求矩阵秩的方法1213(2)(4)(1)12131213解A48412(3)(3)(1)0000000a9363a000a90000所以当a9时,秩(A)1;当a9时,秩（A）2例22设A为mKn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵BAC的秩为测试点用可逆矩阵左（右）乘任意矩阵A,则A的秩不变.答案r例23设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）111111A．000B．011000000111111C．222D．222000333答案B测试点矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价解因为A,C,D的矩阵的秩都为1,B的矩阵的秩等于2.故答案应为B.五、矩阵方程的标准形及解的公式AXBXAB7XABXBA1;A1XA2BXA11BA2・例24设矩阵A211B，求矩阵方程XAB的解X5320测试点解矩阵方程的方法BA131311250A5262验算！例25设代B均为3阶矩阵,E为3阶单位矩阵,且满足：ABEA2B.若已知A101020,求矩阵101B.测试点解矩阵方程的方法解因为ABEA2B，故ABBAE从而(AE)BA2E(AE)(AE），又101100001AE020010010,显然AE可逆，应用消去律得101001100201BAE030・102101201100验算ABE020030010101102001303100403060010070303001304202201403A2B040030070202102304所以确有ABEA2B2331011120八”卄口、计例26已知A,B,C,D矩阵X满足万程1021120101,AXBXDC，求X。测试点求矩阵方程的解DC得(AB)XDC故X(AB)1(DC)12其中AB,DC11121ABDC11012131011521017301152173所以X152解由AXBX1310211213101152验算31121312111021第三章向量空间n维向量线性运算的定义和性质;例1．已知15223其中，1(3,4,1),2(1,0,3),(0,2,5),则3.测试点n维向量线性运算的定义和性质解因为15223,所以0311T*T1T5T)2[2450]1513112故3(1,1,)(请验算)211答案3(1,1,).2(0,1,1)T,贝U由1,2,3线性表出的表示式为例2设向量1(1,1,伏2(1,1,0)T,3(1,0,0)T,测试点向量由向量组线性表示；组合系数的求法解考虑X|1x22x33该线性方程组的增广矩阵11101110A1231101001110010111111011011001011101000100001100110011所以13答案13(验算!)二、n维向量组的线性相关性1•向量组的线性相关性的定义和充分必要条件:1)定义：设2,L,m是一组n维向量.如果存在m个不全为零的数2丄，m，使得1122Lmm0>则称向量组1,2,L,m线性相关，否则，即如果1122Lmm0,必有12Lm0,则称向量组1,2丄,m线性无关•2)m个n维向量1,2丄，m(m2)线性相关的充分必要条件是至少存在某个i是其余向量的线性组合即1,2,L,m(m2)线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合例3设向量组1,2丄，S线性相关，则必可推出()A.1,2丄，s中至少有一个向量为零向量B.1,2丄，S中至少有两个向量成比例C.1,2丄，S中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合Di,2丄，s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合测试点向量组线性相关的概念答案C例4向量组i,2,L,s线性无关的充分条件是A.i,2,L,s都不是零向量B.i,2,L,s中任意两个向量都不成比例C.i,2,L,S中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合D.i,2,L,s中任意si个向量都线性无关测试点向量组线性相关的概念；充分条件；必要条件；充分必要条件.解i,22都不是零向量，但i,2线性相关.ii2i0ii0,2i,3i中任意两个向量都不成比例，且其中任意3000但i,2,3线性相关.故A,B,D都不正确•答案C例5.设向量组i,2线性无关,证明向量组ii2,2i2也线性无关测试点向量组线性无关的定义5证设kiik220因为ii2,2i2则ki(i2)k2(i2)0即(kik2)i(kik2)2012个向量都线性无关，因为2线性无关,故kiki0,所以只能0k1k20.这表明若kiik?20,必有kik20.据向量组线性无关的定义，知1,2也线性无关例6.若向量组i(3,i,a),2(4,a,0),3(i,0,a)线性无关，则a可能的取值应满足一_测试点n个n维向量线性无关相应的行列式0;341341TTT⑶(a)(1)解DTT1231a01a0a0a2a4a024a2a2a(a2)0所以a0,且a2.答案a0,且a2.2.关于线性相关的几个定理1）如果向量组!,2丄,m线性无关，而1,2丄,m,线性相关，则可由1,2丄,m线性表示，且表示法唯一•2）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关，则整体相关；或整体无关，则部分无关）3）若向量组i（ai，ai2，L，aG，i1,2，L，m线性无关，则接长向量组i（aii,ai2,L,ain,ai（ni））,i1,2,L,m必线性无关.3•判断向量组线性相关性的方法1）一个向量线性相关0;2）含有零向量的向量组必线性相关；3）向量个数=向量维数时，n维向量组1,2,L,n线性相关AI12Ln|0.4）向量个数>向量维数时，向量组必线性相关；5）部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；7）向量组线性无关向量组的秩=所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数；8）向量组1,2丄n线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组X11X22LXnn0有（没有）非零解例7.设n维向量组1,2,Lm（m2）线性无关，则组中减少任意一个向量后仍线性无关组中增加任意一个向量后仍线性无关m存在不全为零的数k1,k2,L,km,使kii0i1组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出解析因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组答案A例8设向量1@1,0,5),2心2,b2,C2),1()A.若1,2线性相关，则必有1,2线性相关B•右1,2线性无关，则必有1,2线性无关C右1,2线性相关，则必有1,2线性无关中减少任意一个向量后仍线性无关@1,0,5小1）,2（a2,b2,C2,d2），下列命题中正确的是D若1,2线性无关，则必有1,2线性相关答案B例9.设向量组1,2,3线性无关,而向量组2,3,4线性相关.证明:向量4必可表为1,2,3的线性组合.测试点关于线性相关性的几个定理证1因为2,3,4线性相关，故1,2,3,4线性相关，又因为1,2,3线性无关,所以4必可表为1,2,3的线性组合.证毕.证2因为1,2,3线性无关,故2,3必线性无关,又因为2,3,4线性相关故4必能由2,3线性表示,当然可表为1,2,3的线性组合.证毕.三、向量组的极大无关组及向量组的秩1．极大无关组的定义：设1,2,L,r是向量组T的一个部分组.如果（1）1,2,L,r线性无关；（2）任给T，都有,1,2丄,r线性相关，则称1,2丄,r是向量组T的一个极大无关组•2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法10例10A13的行向量组的秩.16测试点矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案2例11设1,2,3,4是一个4维向量组，若已知4可以表为1,2,3的线性组合，且表示法惟一，则向量组1,2,3,4的秩为（）A．1B．2C．3D．4测试点（1）向量组的秩的概念；（2）向量由向量组线性表示的概念（3）向量组线性相关和线性无关的概念解因为4可以表为1,2,3的线性组合，且表示法惟一，必有1,2,3线性无关,因为设1122330，由4可以表为1,2,3的线性组合，即4k11k22k33故440k11k22k33112233(k11)1(k22)2(k33)3由表示法惟一，有k11k1,k22k2,k33k3于是有1230，故1,2,3线性无关，又4可以表为1,2,3的线性组合，所以1,2,3为向量组1,2,3,4的一个极大无关组，故向量组1,2,3,4的秩为3.答案C例12设向量组1(1,1,2,1)t,2(2,2,4,2)T,3(3,0,6,1)T,4(0,3,0,4)T求向量组的秩和一个极大线性无关组；将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合测试点求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法1230(2)(1)1230⑶(2)(1)解A12341203⑷(1)(1)00332460000012140444123012030111(3)(3)(1)(3)0102(1)(2)(2)00110011000000001001010200110000所以原向量组的秩为3，1,2,3为所求的极大无关组•41223四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标n维向量空间，记为Rn.n维向量空间的定义：n维实向量的全体构成的集合称为子空间的定义：设V是Rn的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称V是Rn的一个子3.生成子空间的定义：设空间，简称为向量空间V.1,2,L,mRn,则由它们的所有线性组合构成Rn的一个子空间，称它为由1,2,L,m生成的子空间例13设7、{x(X1,X2,X3,0)N,X2,%R},V2{x(x1,X2,x3,1)x1,X2,X3R}V3{x(X1,X2,L,Xn)X1X2LXn0｝，说明哪个是子空间，那个不是解析在V中，任取(X1,X2,X3,0),(y1,y2,y3,0)V1,k为任意数，都有(X1y1,X2y2,X3y3,0)Vk(kx1,kx2,kx3,0)V所以y是子空间.类似地，可以证明V3｛x(x1,x2丄,xn)x1x2Lxn0｝也是子空间.但对V2｛x(Xi,X2,X3,1)Xi,X2,X3R｝，取(1,0,0,1),(0.1.0.1)都属于V而(1,1,0,2)V2.这表明V2对加法运算不封闭，故V2不是子空间.4.向量空间的基和维数的定义向量空间V的一个向量组2丄，r线性无关，且V中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间｛0｝没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数r为该空间的维数.设Xrr称(x1,X2丄,Xr)为在这组基下的坐标.例14向量空间V｛x(x-i,x2,0)x1,x2为实数｝的维数为测试点向量空间维数的概念解容易看出(1,0,0),(0,1,0)是V的一个基。答案2例15证明向量组1(1,1,1),(1,2,0),3(3,0,0)是R的一组基，则向量(8,7,3)在这组基下的坐标是113311解因为TTT123120021100001故1,2,3线性无关，所以它是R3的一组基考虑TX|1X2T2X3T3T该线性方程组的增广矩阵为1138ATTT123T12071003113811380131013100660011得X13,X22,X31.测试点向量在一组基下的坐标(8,7,3)在这组基下的坐标是所以(即(3,2,1)答案(3,2,1).例16求由向量组(1,1,1),2(1,2,0),3(2,3,1)生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数•解析显然1(1,1,1),2(1,2,0)是1(1,1,1),2(1,2,0),3(2,3,1)的一个极大无关组，故是由向量组1(1,1,1),2(1,2,0),3(2,3,1)生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于2.a11x1a12x2La1nxn1.a?1x〔a?1X2La2nxnb2LLam1x1am2x2Lamnxnbm^1a12La1n2.Axb，其中Aa21a22La2n,,bMMOMam1am2Lamn3.x-i1X22Lxnnba1j其中1jM(J1,2丄，n)amj、线性方程组的三种表示方法bib22,XMX2Mbmxn第四章线性方程组二、齐次线性方程组r(A)未知数的个数(即矩阵A的列数)1•齐次方程组有非零解的条件齐次方程组AX0有非零解的充分必要条件是n个未知数n个方程的齐次方程组AX0有非零解的充分必要条件是A0.设A是mn阶矩阵.若mn，则齐次方程组AX0必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要)例1•设A为mn矩阵，齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是()A.A的列向量组线性相关B.A的列向量组线性无关A的行向量组线性相关D.A的行向量组线性无关测试点齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系答案A例2.设A是4X3矩阵，若齐次线性方程组Ax0只有零解，则矩阵A的秩r(A).测试点1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2根据系数矩阵的阶数，确定方程的个数和未知数的个数解析线性方程组Axb的系数矩阵A的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数因为A是4X3矩阵,故方程组Ax0的未知数的个数n3，故方程组Ax0只有零解的充要条件是系数矩阵A的秩n3.答案r(A)3X1X2X30例3.齐次线性方程组x1X20有非零解，则2x1X2X30XiX2X3解析X12x1X2X300有非零解X311⑵⑴⑶（1）（1）1111110211220而X1X2X31)(4)故因为X12x1X2X300有非零解，则4.X2X34.答案齐次方程组解的结构1）齐次方程组解的性质设，都是Ax0的解，则GC2也是Ax0的解（0，G为任意常数）2）齐次方程组AX0的基础解系的概念设1,2丄,s是齐次方程组AX0的一组解.如果它满足：（1）1,2^L,s线性无关；（2）AX0的任何一个解都可以表示为1,2丄，s的线性组合，则称1,2,L,s为该齐次方程组的基础解系.如果齐次方程组有非零解（即r（A）n）,则它有基础解系.重要结论：齐次方程组AX0的基础解系含nr（A）个线性无关的解；齐次方程组AX0的任意nr（A）个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；3）齐次方程组AX0的基础解系的求法Xx2=0例43元齐次方程组“2的基础解系所含解向量的个数为x2x30测试点齐次方程组的基础解系（定义;含几个解向量；求法）一一一110一解因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为2,未知数的个数为3,所以其基础解系含321个011答案1例5已知124是齐次方程组Ax0的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用A.12,2B.12,2C.与1234等秩的向量组234D.与1234等价的向量组234测试点1.齐次方程组的基础解系特别是若齐次方程组的一个基础解系含4个解,则它的任意4个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别4,齐次方程组解的性质.解因为1,2,3,4是齐次方程组Ax0的一个基础解系,故1,2,3,4都是齐次方程组Ax0的解,因为1,2,3,4与1,2,3,4等价,故1,2,3,4能由1,2,3,4线性表示,故1,2,3,4也都是Ax0的解.又因为1,2,3,4线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以1,2,3,4的秩也等于4,所以1,2,3,4也线性无关.故1,2,3,4也是Ax0的基础解系.所以D正确.答案D例6.设m

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