线性代数考试复习题

线性代数考试复习题P21例1．8计算以下队列式31111311D=1131。1113解：方法一31111113r2－r1111311131311r4r11131r3－r1002－2r4＋r2002－2D=11311311020－2020－21113r3r23111r4－3r10－2－2－8r4＋r3000－121113r2r3－020－2002－2=1×2×2×(－12)=48000－12解：方法二61111111r2－r11111c1＋c2＋c3＋c463111311r3－r10200D6131=6113160020=6×1×2×2×2=4861131113r4－r10002P39－P41复习思虑题1a11a12a131．假如D=a21a22a23a31a32a33A2a112a122a13，则2a212a222a23=(3)。2a312a322a33(1)2D；(2)－2D；(3)8D；(4)－8D。解：2a112a2a212a2a312a1222322a13a112a122a13a11a122a13a11a12a132a23=2a212a222a23=2×2a21a222a23=2×2×2a21a22a232a33a312a322a33a31a322a33a21a22a23a11a12a132a2a122a1311∵D=a21a22a23，∴2a212a222a23=2×2×2×D=8Da31a32a332a312a322a33a11a12a134a112a11－3a12a2．假如D=a21a22a23=1，则4a212a21－3a22aa31a32a334a312a31－3a32a1323=(2)。33(1)8；(2)－12；(3)24；(4)－24。解：4a112a11－3a12a132a2a11－3a12a114a212a21－3a22a23=22a212a21－3a22a4a312a31－3a32a332a312a31－3a32a132a11－3a12a13a11a12a1323c2－c122a21－3a22a23=2×2×(－3)a21a22a23332a31－3a32a33a31a32a33a11aD=a21aa31a12a134a112a11－3a12a22a23=1，∴4a212a21－3a22a32a334a312a31－3a32a13=2×2×(－3)×1=－1233a11a12a13a31a32a333．假如D=a21a22a23，则2a21－3a312a22－3a322a23－3a33=(3)。a31a32a33a11a12a13(1)D；(2)2D；(3)－2D；(4)－3D。解：a31a32a33a31a32a33a11a12a132a21－3a312a22－3a322a23－3a33c2＋3c12a212a222a23c3c1－2a21a22a23a11a12a13a11a12a13a11a12a13a11a12a13a31a32a33∵D=a21a22a23，∴2a21－3a312a22－3a322a23－3a33=(－2)×D=－2Da31a32a33a11a12a133x＋ky＋z=0，4．假如4y＋z=0，有非零解，则k=1或3。kx－5y－z=0，解：3k1041=[3×4×(－1)]＋(k×k×1)＋[1×(－5)×0]－(1×4×k)－[1×(－5)×3]－(1×0×k)k－5－1=k2－4k＋3=(k－1)(k－3)∴k=1或许k=3有非零解。kx＋z=0，5．当k≠2时，2x＋ky＋z=0，只有零解。kx－2y＋z=0，解：k012k1=2k－4，k=2。∴k≠2时只有零解。k－21B计算以下各队列式120113501．01561234解：12011201r－r015－1r3－r2015－121原式0156－0033=－(1×1×3×7)=－21r4－r10033r3r4000711111－1112．11－11111－1解：r2－r11111r3－r10－200原式00－20=1×(－2)×(－2)×(－2)=－8r4－r1000－2123423413．34124123解：r2－2r11234r3－2r21234r3－3r10－1－2－7r4－7r20－1－2－7原式0－2－8－1000－44=1×(－1)×(－4)×40=160r4－4r10－7－10－13r4＋r300040P87-P89习题2．41．求以下方阵的逆阵bcd，此中ad－bc≠0；解：ab∵A=cd，│A│=ad－bc≠0，则A可逆，11=(－1)1+1Ad=dA=(－1)1+2c=－c12A21=(－1)2+1b=－bA22=(－1)2+2a=a11A11A21∴A-1=A*=│A││A│A12A221d－b=ad-bc－ca2-15．设n阶方阵A知足A－A＋2E=O，证明A可逆，且求A。A2－A＋2E=OA2－A=－2E1A[－(A－E)]=E2AB=BA=E，∴A是可逆的；1又∵AB=BA=E，则A-1=B，∴A-1=－(A－E)。2P95复习思虑题2B5．设200A=035014且AB=A＋B，求A＋B。解：AB=A＋BAB－B=A(A－E)B=AB=(A－E)-1A设A－E=C，则B=C-1A200100100C=035－010=025=6－5=1≠0014001013250502C11=(－1)1+113=1，C12=(－1)1+203=0，C13=(－1)1+301=0；0010102+113=0，C=(－1)2+203=3，C=(－2+301=－1；C=(－1)1)212223001010313+125=0323+205=33－1)3+302=2。C=(－1)，C=(－1)－5，C=(100100C*=03－5，C-1=1×03－50－120－121002001×2＋0×0＋0×01×0＋0×3＋0×11×0＋0×5＋0×4B=03－5×035=0×2＋3×0＋(－5)×00×0＋3×3＋(－5)×10×2＋3×5＋(－5)×40－120140×2＋(－1)×0＋2×00×0＋(－1)×3＋2×10×0＋(－1)×5＋2×4200=04－50－13200200400A＋B=035＋04－5=0700140－130076．设4阶方阵A=(A，A，A，A)，B=(A，A，A，B)。12341234此中A1，A2，A3，A4，B4都是四元列向量，已知│A│=－1，│B│=2，求队列式│A＋2B│。解：│A＋2B│=│(A，A，A，A)＋2(A，A，A，B)│12341234│(A1，A2，A3，A4)＋(2A1，2A2，2A3，2B4)││3A1，3A2，3A3，A4＋2B4│=3×3×3│A1，A2，A3，A4＋2B4│=27(│A，A，A，A│＋│A，A，A，2B│)12341234=27(│A│＋2│B│)=27[(－1)＋2×2]=817．设A为三阶方阵，A*是A的陪伴阵，且│A│=a≠0，求以下队列式：1(1)A*；3解：∵A为三阶方阵13原式=*││A3又∵│A*│=│A│n－113a2∴=│A│2=27│(2A)-1│；解：1原式=A-12A为三阶方阵13=-1││A21又∵│A-1│=│A│1311∴=×=2│A│8a1(3)(2A)-1－A*；311解：∵A为三阶方阵，且│A-1│=，A-1=A*，A*=│A│A-1=aA-1│A││A│111a1a3∴原式=A-1aA-1－-1－-1│－=A=│A232323a31=－3aP109010a11a12a21a22E(1，2)A=100a21a22=a11a12001a31a32a31a32100a11a12a11a12E(2(k))A=0k0a21a22=ka21ka22001a31a32a31a32100a11a12a11a12E(3，1(k))A=010a21a22=a21a22k01a31a32ka1131ka12＋a32＋aP114例3．312325设A=221，B=31求矩阵X，使AX=B。34343解：X=A-1B，(A┆B)(E┆A-1B)。123┆25r2－2r1123┆25(A┆B)=221┆310－2－5┆－1－9343┆43r3－3r10－2－6┆－2－12r＋r210－2┆1－4r－2r3100┆32110－2－5┆－1－90－20┆46r3－r200－1┆－1－3r2－5r300－1┆－1－3r2÷－2100┆32010┆－2－3r3×－1001┆1332∴X=A-1B=－2－313P116－P117习题3．12．求各矩阵的行最简形。(1)－1221A=312301－13－12解：r3r11－13－12r2－2r11－13－12原式2－122101－44－3r2r331230r3－3r104－76－6171100－r3－4r210－13－1r1＋r39301－44－341r1＋r2106010－－r÷9001－r＋4r3933299102001－93(2)12－2A=212110解：r1r3r1＋r2r－2r1110r2r31022原式0－1201－2r3－r101－2r3＋r2000(3)23－1312A=421110－102解：r5r1r4r2r2＋3r110－2r3－2r210－2r5＋3r3100r3＋4r1018r4－r2012r4－6r3010原式029001001r4＋r1012r5－3r2006r2－2r3000r5＋2r1033r3÷500－3r1＋2r3000r×(－1)1(4)12102A=2334211240解：r3－r2r2－2r112102r12r21038－2＋原式0－114－201－1－42r3－r10－114－2r2×(－1)000005．求解以下矩阵方程11－11(1)0－22X=1；1－102解：X=A-1(E-1B，(A┆B)┆AB)。┆3r31r2－2r3100┆－r11321113┆2－1┆1r－r－1┆1r＋r(A┆B)=0－22┆10－22┆1┆11－10┆2r3×(－1)001┆0r2÷(－2)010┆－r1－r2┆2001┆032∴X=A-1B=1－2012－3－30(2)32－4X=27；2－1078解：X=A-1B，(A┆B)(E┆A-1B)。r－3r1212－3┆－30r3－2r112－3┆－30(A┆B)=32－4┆270－45┆1172－10┆78r－r20－11┆213r1＋2r3r2－4r3100┆45r3×(－1)100┆45001┆33010┆12r1＋r2010┆12r2r3001┆33r3－r25X=A-1B=1233P135－P137例3．11和例3．121．求解线性方程组x1＋x2＋3x3－x4=1，x1＋5x2－9x3－8x4=0，3x1－x2－3x3＋4x4=4，解：11－3－11r2－r111－3－11A=15－9－8004－6－7－13－1－344r3－3r10－467133510－r2÷4244371r1－r201－－－r3＋4r224400000R(A)=R(A)=2＜4∴方程组有无量多解335x1－x3＋x4=244371x2－x3－x4=－244设x3=2k1，x4=4k2，得：5x1=3k1－3k2＋，41x2=3k1＋7k2－，4x3=2k1，x4=4k2。得通解：5xx123－341=3k1＋7k2＋－(k1，k2∈R)4x3200x40402．λ取何值时，线性方程组λx1＋x2＋x3=1，x1＋λx2＋x3=λ，2x1＋x2＋λx3=λ有独一解有无量多解无解解：方法2λ11│A│=1λ12=(λ－1)(λ＋2)。11λ当λ≠1且λ≠－2时，│A│≠0，方程组有独一解；当λ=1时1111r3－r11111A=111100001111r－r100002A│=0，R(A)=R(A)=1＜3，方程有无量多解；当λ=－2时－2111r1r311－24r＋2r111－243A=1－21－20－33－60－33－611－24r2－r1－2111r3＋r20003R(A)=2＜R(A)=3，方程组无解。P140－P141习题3．31．鉴别以下线性方程组能否有解；如有解，求出它的通解。4x3x11x解：1＋2x2－x3=2，1－x2＋2x3=10，1＋3x2=8；42－12r1－r213－3－8r3－11r113－3－8A=3－12100－1011－140－1011－1411308r2－3r111308r3－3r2000116R(A)=2＜R(A)=3，方程组无解。2x1＋x2－x3＋x4=11，(2)4x1＋2x2－2x3＋x4=2，2x1＋x2－x3－x4=1；解：r2－2r121－1111r3－r121－1111A=42－212000－1－2021－1－11r3－2r2000030R(A)=2＜R(A)=3，方程组无解。2x1＋3x2＋x=4，3x1－2x2＋4x3=－5，3x1＋8x2－2x3=13，4x1－x2＋9x3=－6；解：r1r2r－2r232314r2－2r11－24－5r4－r2102－1A=1－24－507－71401－1238－213r3－3r1014－1428r÷7000024－19－6r4－4r107－714r1＋2r20000R(A)=R(A)=2＜3，方程组有无量多解x1=－2x3－1，x2=x3＋2，x3=k。得通解：x1－2－1x2=k1＋1(k∈R)x310x1－2x2＋x3=－5，x1＋5x2－7x3=2，3x1＋x－5x=－8；23解：r2－r191－21－5r3－3r11－21－5r÷710－－32A=15－7207－87731－5－8r3－r20000r1＋r2801－170000R(A)=R(A)=2＜3，方程组有无量多解x1=9x3－3，x2=8x3＋1，x3=7k。得通解：xxx1239－3=k8＋1(k∈R)703．问λ取何值时，线性方程组(λ＋3)x1＋x2＋2x3=λ，λx＋(λ－1)x2＋x=λ，133(λ＋1)x1＋λx2＋(λ＋3)x3=3有独一解有无量多解无解解：λ＋312│A│=λλ－11=(λ＋3)2(λ－1)＋2λ2＋3(λ＋1)－6(λ＋1)(λ－1)－λ(λ＋3)－λ(λ＋3)3(λ＋1)λλ＋3=λ3－λ2=λ2(λ－1)≠0①当λ≠0且λ≠1时，│A│≠0，方程组有独一解；②当λ=0时3120r÷301－1－3r3r110113A=0－1100－1100－1103033r1－3r31011r3＋r2000－3R(A)=2＜R(A)=3，方程组无解。③当λ=1时4121r2r11011r－6r110113A=101101－2－301－2－36143r2－4r16143r3－r20000R(A)=R(A)=2＜3，方程组有无量多解x1=－x3＋1，x2=2x3－3，x3=k。得通解：xxx1－112=k2＋－3(k∈R)310