1990年全国初中数学联赛试题及解答

1990 年全国初中数学联赛试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论， 其中只有一个是正确的，请把正确结论的代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 字母写在题后的圆括号内。 1． 31 2 31 1 31 1 44 ++−++ 的值是（ ） （A）1 （B）－1 （C）2 （D）－2 2．在△ABC中,AD是高,且AD2 = BD·CD，那么∠BAC的度数是（ ） （A）小于 90° （B）等于 90°（C）大于 90°（D）不确定 3．方程 是实数)有两个实根kkkxkx (02)13(7 22 =−−++− α、 β ，且 0 ＜α＜1， 1＜ β ＜2，那么 k 的取值范围是（ ） （A）3＜k＜4； （B）－2＜k＜－1； （C）3＜k＜4 或－2＜k＜－1 （D）无解。 4．恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ） （A）17 （B）18 （C）35 （D）36 5．△ABC 中， 22=AB ， 2=AC ， 2=BC ，设P为 边上任一点，则（ ） BC （A） PBPA <2 · （B）PC PBPA =2 · PC （C） · （D） · 的大小关系并不确定 PBPA >2 PC PBPA 与2 PC 6．若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构 成三角形，那么，这样的六边形（ ） （A）不存在 （B）只有一个 （C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个 7．若 的尾数是零，且balog 2loglog 1 log ab b baa >> ，那么下列四个结论： （1） 21 ab b >> （2） 0loglog =+ ab ba （3） 10 <<< ba （4） 中，正确的结论的个数是（ ） 01 =−ab （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8．如图，点 ， ，P Q R分别在△ 的边上ABC AB 、 、BC CA上， 且 ，那么，△ 面积的最大值是 1==== RCQRPQBP ABC （A） 3 （B）2（C） 5 （D）3 答（ ） 二． 填空题 82 1 1. 已知 2 +x 1 =−x ，则 x x 12 + = 3, ，…，1234567892的和的个位数的数字是 2. 22 2,1 2 方程 −x =a 3． 01)8)( =−−xa ，有两个整数根，则( 4. △ AB BC边有 100 个不同的点 1P ， 2P ，…，C中， ， ，记 AP 2 · ( 2== ACAB 100P iii BPm += CPi =i 1， 100) 则 2，…， ++ 21 mm … 100m+ = 第 二 试 一、 已知在凸五边形 ABCDE 中，∠BAE = 3α， BC=CD=DE，且 ∠BCD = ∠CDE=180°－2α， 求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE 、 表示不超过实数 [ ]x x二 的最大整数，令{ } [ ]xxx −= （1）找出一个实数 x，满足{ } 11 =⎫⎧+x ⎭⎬⎩⎨ x x（2）证明：满足上述等式的 ，都不是有理数 、设有 个正方形方格棋盘，在其中任意的 个方格中各有一枚棋子。求 行和 三 nn 22 × n3 证：可以选出 n列，使得 n3 枚棋子都在这n行和 列中。 n n 1988 年全国初中数学联赛试题答案 第一试 一、选择题 1．（D） = 2 2 322 2 322 −=− −+− + 31 2 31 2 ++−原式= 2．（D） · ，有CD 2 BDAD 22 =BDAD =2如图①，由 · 2AD+ ＝ 22 + · 22 CDADADBD +++ ＝ 即 可得 ∠BAC＝90° ,虽然 CD 222 CDBD + CDBD 2+ BD CD )()( 22 2)( CDBD + 图① 222 BDACAB =+ 如图② BDAD =2 · 外, ,∠ ＜90° 图② 3.（C） 2 −−++− kkxkx 由 ⎨ >−= <−−= >−−= kk kkf kkf kkf 或 4.（A） ,最大的是 ，∴ ,设 −2 在△ CD ,D点在△ ABC ∠ ABC＞90° BAC 因此∠BAC的度数不确定 记 )( =xf 2)13(7 2 1243 03)2( 082)1( 02)0( 2 2 2 −<<−<<⇒ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎧ 设这 35 个连续自然数最小的是 2n 1)1( 2 −+n 35)1( 2 =−+ nn 即 3512 ， ∴ 17n 5.（C） =+n = 如图 ,PC = , xBP = x ABP中,由余弦定理,有 ABBPABPA = BPcosB Bxx cos24−+222 −+ ·2 8 2= 在△ 中,由余弦定理,有 ABC 2222 )2(2)22(cos 222 −+ 8 25 28 10 == =B ∴ 而 令 8522 +−= xxPA 22)2( xxxxPCPB −=−= 222 285 xxxxPCPBPAy +−+−=−= 0 8 15) 4 7(2872 22 >+−=+−= xxx ∴ 6.（D） … … PCPBPA >2 若能找到 6个整数 , 21 aa , ,, 6a 使满足 ++ 21 aa 206 =+ a（1） ； （2） ≤ ， ≤ ，1a 2a 21 aa + 3a 32 aa + ≤ ；4a 43 aa + ≤ ， ≤ ； （3） 5a 54 aa + 4a 54321 aaaaa ++++ ＞ ． 则以 … 为边长的六边形，即可符合要求． 事实上，对任选三整数 1≤ ＜ 6a ,, 21 aa 6, a ＜ ≤6，必有k ji aa +i j ≤ ，可见此六边形的 任三边不能构成一个三角形． 6 ka 现取 ,5,3,2,1 54321 8====== aaaaa ， 4321 ,,, aaaa , ,aa 满足全部条件. a 则 故这样的六边形至少存在一个.又由 n边形(n≥4)的不稳定性,即知这样的六边形 有无穷 7. 65 多个. (A) 由 bbb b aaaa 1log log 2 1loglog >−> 得 . 所以 <0 balog a 0log1,11,1 <<>>< abab得 b且或 , 所以结论(3)与结论(2)都是错误的. 论(1)中,若 2.1.1,1 ababb b <><> 得从而得 .所以结论(1)也是错误的. 在结 这样,只有结论(4)是正确的. 事实上,由 2loglog ab aa > ,可得 bab aba log log2log 2 1 > 1= 018)8(2 =−++− axax CPBPAPm ii += 2 ii ⋅ (log,0 2 <<−< bb aaa 即所以 . ,所以 =-1, 又因为 4)log