2008年全国初中数学联赛试题及解答

2008 年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题： 1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式 2 1 a + 2 1 b 的值为（ ） （A）5 （B）7 （C）9 （D）11 2、如图，设 AD，BE，CF 为△ABC 的三条高，若 AB = 6，BC = 5， EF = 3，则线段 BE 的长为（ ） （A）18 5 （B）4 （C） 21 5 （D） 24 5 3、从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中任意取出两张，把第 一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则 所组成的数是 3 的倍数的概率是（ ） CB F D A E （A） 1 5 （B） 3 10 （C） 2 5 （D） 1 2 4、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和 CN 分别是这两个角的外角平分线， 且点 M，N 分别在直线 AC 和直线 AB 上，则（ ） （A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM 和 CN 的大小关系不确定 5、现有价格相同的 5 种不同商品，从今天开始每天分别降价 10％或 20％，若干天后，这 5 种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为 r，则 r 的最小值为（ ） （A）( 9 8 ) 3 （B）( 9 8 ) 4 （C）( 9 8 ) 5 （D） 9 8 6、已知实数 x，y 满足( x – 2 2008x − ) ( y – 2 2008y − ) = 2008， 则 3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 的值为（ ） （A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） CB D A N M O 1、设 a = 5 1 2 − ，则 5 4 3 2 3 2a a a a a a a 2+ − − − + − = 。 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，M，N 为 BD 所在直线 上的两点，且 AM = 5 ，∠MAN = 135°，则四边形 AMCN 的 面积为 。 3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横 坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 。 4、依次将正整数 1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第 1 个位置的数字是 1，排在第 5 个位置的数字是 6，排在第 10 个位置的数字是 4，排在第 2008 个位置的数字是 。 第二试（A 卷） 一、已知a 2 + b 2 = 1，对于满足条件 0 ≤ x ≤ 1 的一切实数x，不等式a ( 1 – x ) ( 1 – x – a x ) – b x ( b – x – b x ) ≥ 0 （1） 恒成立，当乘积a b取最小值时，求a，b的值。 二、如图，圆 O 与圆 D 相交于 A，B 两点，BC 为圆 D 的切线， 点 C 在圆 O 上，且 AB = BC。 C B D A E O（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：点 O 在圆 D 的圆周上； （2）设△ABC 的面积为 S，求圆 D 的的半径 r 的最小值。 三、设 a 为质数，b 为正整数，且 9 ( 2 a + b ) 2 = 509 ( 4 a + 511 b ) （1） 求 a，b 的值。 第二试（B 卷） 一、（20 分）已知a2+b2 =1.对于满足条件x+y=l，xy≥0 的一切实数（x，y），不等 式 ay2-xy+ bx2 ≥ 0 ① 恒成立，当乘积 ab 取最小值时，求 a、b 的值． 二、（25 分）同 A 卷第二题， 三、（25 分）同 A 卷第三题． 第二试 (C 卷) 一、（20 分）同 B 卷第一题， 二、（25 分）同 A 卷第二题． 三、（25 分）设 a 为质数，b、c 为正整数，且满足 ⎩⎨ ⎧ =− −+=−+ ② ① .2 )51110224(509)22(9 2 cb cbacba 求 a(b+c)的值． 2008 年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1、B 由题设条件可知a 2 – 3 a + 1 = 0，b 2 – 3 b + 1 = 0，且a ≠ b， 所以a，b是一元二次方程x 2 – 3 x + 1 = 0 的两根，故a + b = 3，a b = 1， 因此 2 1 a + 2 1 b = 2 2 2 2 a b a b + = 2 2 ( ) 2 ( ) a b ab ab + − = 2 2 3 2 1 1 − × = 7； 2、D 因为 AD，BE，CF 为△ABC 的三条高，易知 B，C，E，F 四点共圆， 于是△AEF∽△ABC，故 AF AC = EF BC = 3 5 ，即 cos∠BAC = 3 5 ，所以 sin∠BAC = 4 5 。 在 Rt△ABE 中，BE = AB sin∠BAC = 6 × 4 5 = 24 5 ； 3、C 能够组成的两位数有 12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54，共 20 个，其中是 3 的倍数的数为 12，15，21，24，42，45，51，54，共 8 个，所以所组成的数是 3 的倍数的概率是 8 20 = 2 5 ； 4、B ∵∠ABC = 12°，BM 为∠ABC 的外角平分线，∴∠MBC = 1 2 ( 180° – 12° ) = 84°， 又∠BCM = 180° –∠ACB = 180° – 132° = 48°，∴∠BCM = 180° – 84° – 48° = 48°，∴BM = BC，又∠ACN = 1 2 ( 180° –∠ACB ) = 1 2 ( 180° – 132° ) = 24°，∴∠BNC = 180° –∠ABC –∠BCN = 180° – 12° – (∠ACB +∠CAN ) = 12° =∠ABC，∴CN = CB，因此，BM = BC = CN； 5、B 容易知道，4 天之后就可以出现 5 种商品的价格互不相同的情况。 设 5 种商品降价前的价格为 a，过了 n 天，n 天后每种商品的价格一定可以 表示为a · ( 1 – 10% ) k · ( 1 – 20% ) n – k = a · ( 9 10 ) k · ( 8 10 ) n – k，其中k为自然数，且 0 ≤ k ≤ n， 要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：a · ( 9 10 ) i · ( 8 10 ) n – i，a · ( 9 10 ) i + 1 · ( 8 10 ) n – i – 1， a · ( 9 10 ) i + 2 · ( 8 10 ) n – i – 2，a · ( 9 10 ) i + 3 · ( 8 10 ) n – i – 3，a · ( 9 10 ) i + 4 · ( 8 10 ) n – i – 4， 其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为 4 49 8( ) ( ) 10 10 9 8( ) ( ) 10 10 i n i n i a a i+ − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ( 9 8 ) 4； 6、D ∵( x – 2 2008x − ) ( y – 2 2008y − ) = 2008，∴x – 2 2008x − = 2 2008 2008y y− − = y + 2 2008y − ，y – 2 2008y − = 2 2008 2008x x− − = x + 2 2008x − ， 由以上两式可得x = y， 所以( x – 2 2008x − ) 2 = 2008，解得x 2 = 2008， 所以 3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007 = 3 x 2 – 2 x 2 + 3 x – 3 x – 2007 = x 2 – 2007 = 1； 二、填空题 1、–2 ∵a 2 = ( 5 1 2 − ) 2 = 3 5 2 − = 1 – a，∴a 2 + a = 1， ∴原式= 3 2 3 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 1) a a a a a a a a + − − + + − = 3 32 1 ( ) a a a a 2− − + ⋅ − = 3 2 1 a a = – 31 1 a a − − − − = – ( 1 + a + a 2 ) = – ( 1 + 1 ) = – 2； 2、 5 2 设 BD 中点为 O，连 AO，则 AO⊥BD，AO = OB = 2 2 ，MO = 2 2AM AO− = 3 2 2 ， ∴MB = MO – OB = 2 。又∠ABM =∠NDA = 135°， ∠NAD =∠MAN –∠DAB –∠MAB = 135° – 90° –∠MAB = 45°–∠MAB =∠AMB， 所以△ADN∽△MBA，故 AD MB = DN BA ，从而 DN = AD MB · BA = 1 2 × 1 = 2 2 ，根据对称性可知， 四边形 AMCN 的面积 S = 2 S△MAN = 2 × 12 × MN × AO = 2 × 1 2 × ( 2 2 + 2 + 2 ) × 2 2 = 5 2 ； 3、 1 2 根据题意，m，n是一元二次方程x 2 + a x + b = 0 的两根，所以m + n = – a，m n = b。 ∵| m | + | n | ≤ 1，∴| m + n | ≤ | m | + | n | ≤ 1，| m – n | ≤ | m | + | n | ≤ 1。 ∵方程x 2 + a x + b = 0 的判别式△= a 2 – 4 b ≥ 0，∴b ≤ 2 4 a = 2( ) 4 m n+ ≤ 1 4 。 4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≥ ( m + n ) 2 – 1 ≥ – 1，故b ≥ – 1 4 ，等号当m = – n = 1 2 时取 得；4 b = 4 m n = ( m + n ) 2 – ( m – n ) 2 ≤ 1 – ( m – n ) 2 ≤ 1，故b ≤ 1 4 ，等号当m = n = 1 2 时取得。 所以p = 1 4 ，q = – 1 4 ，于是| p | + | q | = 1 2 ； 4、1 1 2到 3 2，结果都只各占 1 个数位，共占 1 × 3 = 3 个数位；4 2到 9 2，结果都只各占 2 个数位， 共占 2 × 6 = 12 个数位；10 2到 31 2，结果都只各占 3 个数位，共占 3 × 22 = 66 个数位；32 2到 99 2，结果都只各占 4 个数位，共占 4 × 68 = 272 个数位；100 2到 316 2，结果都只各占 5 个 数位，共占 5 × 217 = 1085 个数位；此时还差 2008 – ( 3 + 12 + 66 + 272 + 1085 ) = 570 个数位。 317 2到 411 2，结果都只各占 6 个数位，共占 6 × 95 = 570 个数位。所以，排在第 2008 个位置 的数字恰好应该是 411 2的个位数字，即为 1； 第二试（A 卷） 一、解：整理不等式（1）并将a 2 + b 2 = 1 代入，得 ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a ≥ 0 （2）， 在（2）中，令 x = 0，得 a ≥ 0；令 x = 1，得 b ≥ 0。易知 1 + a + b > 0，0 < 2 1 2(1 ) a a b + + + < 1， 故二次函数y = ( 1 + a + b ) x 2 – ( 2 a + 1 ) x + a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐 标在 0 和 1 之间。由题设知，不等式（2）对于满足条件 0 ≤ x ≤ 1 的一切实数x恒成立，所以 它的判别式△= ( 2 a + 1 ) 2 – 4 a ( 1 + a + b ) ≤ 0，即a b ≥ 1 4 。由方程组 2 2 1 1 4 a b ab ⎧ + =⎪⎨ =⎪⎩ （3） 消去b，得 16 a 4 – 16 a 2 + 1 = 0，所以a 2 = 2 3 4 − 或a 2 = 2 3 4 + 。又因为a ≥ 0， 所以a 1 = 6 2 4 − 或a 2 = 6 2 4 + ，于是b 1 = 6 2 4 + 或b 2 = 6 2 4 − 。所以a b的最小值为 1 4 ，此时a，b的值分别为a = 6 2 4 − ，b = 6 2 4 + 和a = 6 2 4 + ，b = 6 2 4 − 。 二、解：（1）连 OA，OB，OC，AC，因为 O 为圆心，AB = BC，所以△OBA∽△OBC，从 而∠OBA =∠OBC，因为 OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB = 90° –∠OBA = 90° –∠OBC =∠DBO，所以 DB = DO，因此点 O 在圆 D 的圆周上； （2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC = 2 y（0 < y ≤ a）， OE = x，AB = l，则a 2 = x 2 + y 2，S = y ( a + x )， l 2 = y 2 + ( a + x ) 2 = y 2 + a 2 + 2 a x + x 2 = 2 a 2 + 2 a x = 2 a ( a + x ) = 2aS y 。 因为 A∠ BC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO，AB = BC，DB = DO，所以△BDO∽△ABC， C B D A E O所以 BD AB = BO AC ，即 r l = 2 a y ，故 r = 2 al y ， 所以r 2 = 2 2 24 a l y = 2 24 a y · 2aS y = 2 S · ( a y ) 3 ≥ 2 S ，即r ≥ 2 2 S ， 其中等号当 a = y 时成立，这时 AC 是圆 O 的直径.所以圆 D 的的半径 r 的最小值为 2 2 S 。 三、解：（1）式即( 6 3 509 a b+ ) 2 = 4 511 509 a b+ ，设m = 6 3 509 a b+ ，n = 4 511 509 a b+ ，则n = m 2， b = 509 6 3 m a− = 509 4 511 n a− （2），故 3 n – 511 m + 6 a = 0，所以 3 m 2 – 511 m + 6 a = 0 （3）， 由（1）式可知，( 2 a + b ) 2能被质数 509 整除，于是 2 a + b能被 509 整除，故m为整数， 即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式△= 511 2 – 72 a为完全平方数。 不妨设△= 511 2 – 72 a = t 2（ t 为自然数），则 72 a = 511 2 – t 2 = ( 511 + t ) ( 511 – t )， 由于 511 + t 和 511 – t 的奇偶性相同，且 511 + t ≥ 511，所以只可能有以下几种情况： ① ，② ，③ ，④511 36 511 2 t a t + =⎧⎨ − =⎩ 511 18 511 4 t a t + =⎧⎨ − =⎩ 511 12 511 6 t a t + =⎧⎨ − =⎩ 511 6 511 12 t a t + =⎧⎨ − =⎩ ，两式相加分别得 36 a + 2 = 1022，18 a + 4 = 1022，12 a + 6 = 1022，6 a + 12 = 1022，均没有整数解； ⑤ ，⑥ ，两式相加分别得 4 a + 18 = 1022，解得 a = 251； 511 4 511 18 t a t + =⎧⎨ − =⎩ 511 2 511 36 t a t + =⎧⎨ − =⎩ 2 a + 36 = 1022，解得 a = 493，而 493 = 17 × 29 不是质数，故舍去。综合可知 a = 251。 此时方程（3）的解为 m = 3 或 m = 502 3 （舍去）。 把 a = 251，m = 3 代入（2）式，得 b = 509 3 6 251 3 × − × = 7。 第二试(B 卷) 一、由 知,0,1 ≥=+ xyyx .10,10 ≤≤≤≤ yx 在式①中，令 ,1,0 == yx 得 令;0≥a ,0,1 == yx 得 .0≥b 将 代入式①得 xy −=1 ,0)1()1( 22 ≥+−−− bxxxxa 即 .0)12()1( 2 ≥++−++ axaxba 易知 ,1 )1(2 12 0,01 <++ +<>++ ba a ba 故二次函数 的图像（抛物线）开口向上，且顶点的 横坐标在 0 和 1 之间． axaxbay ++−++= )12()1( 2 由题设知，式②对于满足条件 的一切实数 x 恒成立， 10 ≤≤ x 所以，判别式 即,0)1(4)12( 2 ≤++−+=Δ abaa ⋅≥ 4 1ab 由方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+ , 4 1 ,122 ab ba ③ 消去 b 得 .011616 24 =+− aa 故 4 322 −=a 或 ⋅+= 4 322a 又因为 所以，,0≥a 4 26 −=a 或 4 26 +=a 于是，方程组③的解为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += −= 4 26 ,4 26 b a 或 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⋅−= += 4 26 4 26 b a 所以，满足条件的 a、b 的值有两组，分别为 4 26 ,4 26 +=−= ba 和 ⋅−=+= 4 26 ,4 26 ba 第二试(C 卷) 三、式①即 ⋅−+=−+ 509 51110224) 509 366( 2 cbacba 设 , 509 366 cbam −+= ⋅−+= 509 51110224 cban 则 511 4509 3 65092 anamcb −=−=− ③ 故 .065113 =+− amn 又因为 所以， ,2mn = ④065113 2 =+− amm 由式①知， 能被 509 整除，而 509 是质数，于是，2a +2b -c 能 被 509 整除，故 m 为整数，即关于 m 的一元二次方程④有整数根，所以，其判 别式 为完全平方数，设 （ t 为自然数）．则 2)22( cba −+ a725112 −=Δ 22 72511 ta =−=Δ =−= 2251172 ta ⋅−+ )511)(511( tt 由于 511 +t 和 511 -t 的奇偶性相同，且 511 +t≥511，则只可能有以下几种情况: ⎩⎨ ⎧ =− =+ .2511 ,36511 )1( t at 两式相加得 36a +2= 1022.无整数解； ⎩⎨ ⎧ =− =+ .4511 18511 )2( t at 两式相加得 18a +4 =1022，无整数解； ⎩⎨ ⎧ =− =+ 6511 12511 )3( t at ， 两式相加得 12a+6=1022，无整数解； ⎩⎨ ⎧ =− =+ .12511 ,6511 )4( t at 两式相加得 6a+ 12= 1022．无整数解； ⎩⎨ ⎧ =− =+ 18511 ,4511 )5( t at 两式相加得 4a+ 18= 1022．解得 a=251； ⎩⎨ ⎧ =− =+ .36511 ,2511 )6( t at 两式相加得 2a+ 36=1022，解得 a=493，而 493=17×29 不 是质数，故舍去， 综上可知 a=251. 此时，方程④的解为 3 5023 == mm 或 (舍去) 把 n =251，m=3 代入式③得 ,7 3 25163509 2 =×−×=− cb 即 .72 −= bc 代入式②得 ,2)72( =−− bb 所以， .3,5 == cb 因此， .2008)35(251)( =+×=+ cba