点线面的投影

1 第二章 点、直线、平面的投影 §2.1 投影法 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 式样，工程技术等问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，一般都采用工程图样来表示．工程图样根据使用要求 和使用场合的不同，获得的方法也不同．在绘制工程图样时，通常采用投影法．所谓投 影法，就是用投影的方法获得图样．在日常生活中，人们常见到，当物体受到光线照射 时，在物体背光一面的地上或墙上就会投下该物体的影子，这就是投影．这样的影子只 能反映该物体的轮廓形状，不能反映物体内外各部分的具体形状，在工程上没有实用价 值．经过人们长期研究，对日常生活中的投影加以提 炼，对物体内外各部分的所有空间几何元素 (点、线、 面) 用各种不同的线型加以具体化，从而形成工程上实 用的、完整的投影法． 投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法． 一 中心投影法 如图 2.1所示，投影线都自投影中心 S出发，将空 间△ABC 投射到投影面 P 上，所得△abc 就是△ABC 的投影．这种投影线都从投影中心出发的投影法，称 为中心投影法．所得的投影称为中心投影． 中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图，也称透视图． 二 平行投影法 若将投影中心 S移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，这种投影线互相平行 的投影法称为平行投影法，见图 2.2，所得投影称为平行投影． (a) 正投影法 (b) 斜投影法 图 2.2 平行投影法 图 2.1 中心投影法 2 平行投影法中，若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影．投 影线也可以倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影。 正投影法主要用于绘制机械图样．斜投影法主要用于绘制有立体感的图形． 三 正投影法的主要特性 点在任何情况下的投影都是点．为了充分反映正投影法的投影特性，我们对直线和 平面的投影进行阐述．直线和平面与投影面之间的位置关系只有三种：平行、垂直、倾 斜．若直线和平面就在投影面上，则可归入平行即可．在这三种情况下．直线和平面的 投影见表 2.1． 表 2.1 正投影法下直线和平面的投影特性 位置关系 类别 与投影面∥ 与投影面⊥ 与投影面∠ 直观图 投影图 直观图 投影图 直观图 投影图 直 线 平 面 投影特性 实形性 积聚性 类似性 从表 2.1中可见，当直线和平面与投影面平行时，则投影反映实形 (长)，这种投影 直观，便于度量．当直线和平面与投影面垂直时，则投影反映积聚，这种投影简单，便 于作图．当直线和平面与投影面倾斜时，则投影反映类似形状，这种投影便于检查错 误．实形性、积聚性、类似性满足了工程上经济、实用的原则，正因为这种优越性，所 以，国家 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 规定所有机械图样一律采用正投影法绘制． §2.2 三视图的形成及其投影规律 上一节已阐述了绘制机械图样所采用的投影方法。机件向投影面投影所得的图形称 为视图． 用正投影法绘制机械图样时，如果只画一个投影是不能完整和确切地表达物体的形 状和大小的，见图 2.3．要想完整表达物体上下、左右、前后各部分的形状和大小，必 须将物体朝几个方向进行投影，也就是多方向观察物体．常用的方法是向 3个方向投影， 3 得 3个投影图，简称三视图． 图 2.3 一个视图不能确定物体的形状 一 三视图的形成 所谓三视图，就是有 3个视图．有 3个视图，就有 3个投影面．根据国家标准规定， 3个投影面互相垂直，形成三投影面体系，见图 2.4(a)． 图 2.4 三视图的形成及投影规律 在三投影面体系中，正对观察者的投影面称为正平面，用 V表示．水平放的投影面 称为水平面，用 H表示．侧立的投影面称为侧平面，用 W表示．在 V面上的视图，是 机件由前向后投影所得的图形，称为主视图．在 H面上的视图，是机件由上向下投影所 得的图形，称为俯视图．在 W 面上的视图，是机件由左向右投影所得的图形，称为左 视图．这 3个视图必须按国家标准规定展开，见图 2.4(b)，以 V面为基准 (V面不动)， 4 H面绕 V与 H面的交线 X轴向下转 90°，W面绕 V与 W面的交线 Z轴向右转 90°， 使 V、H、W 面处在同一平面上，便于画图．展开后的三视图按规定不画投影面边框， 也不画投影轴，无需标明视图名称，见图 2.4(c)． 二 三视图的投影规律 在三投影面体系中，规定 X轴方向表示物体的长度方向，Y轴方向表示物体的宽度 方向，Z轴方向表示物体的高度方向．长度方向反映物体的左右关系，宽度方向反映物 体的前后关系，高度方向反映物体的上下关系，见图 2.4(d)．由图可得出三视图的投影 规律： 主、俯视图——长对正； 主、左视图——高平齐； 俯、左视图——宽相等． 这个投影规律不仅适用于机件整体之间的投影，也适用于组成机件的空间几何元素 点、线、面之间的投影． §2.3 点的投影 机件根据使用场合和使用功能的不同，它们的形状有简单有复杂．但不管机件的形 状多复杂，都是由空间几何元素点、线、面组成的，为了顺利画出各种机件 (尤其是复 杂机件) 的视图，首先研究组成机件的几何元素的投影是必须的． 一 点在三投影面体系中的投影 见图 2.5，规定空间点用大写字母，投影点用小写字母．空间 A点在 H面上的投影 为 a，在 V面上的投影为 a’，在 W面上的投影为 a”．根据投影法，Aa⊥H面， （a）立体图 (b) 投影面展开后 (c) 投影图 图 2.5 点的三面投影 Aa’ ⊥V面，则 Aa与 Aa’组成的平面 Q⊥X轴．由于 a’ax∥Aa，aax∥Aa’，所以 a’ax ⊥X 轴，aax⊥X 轴．投影面展开后，a’与 a 的连线 a’a⊥X 轴．同理可以得出 a’a”⊥Z 轴；aaYH⊥YH，a”aYW⊥YW，即 aax ＝a”aZ．这个结论就是点的两个投影的连线垂直于 5 相应的投影轴．这也正是上节三视图投影规律长对正、高平齐、宽相等的理论依据． 在画图 2.5(c)的投影图时，为了作图方便，常画 45°辅助线． 例 2.1 已知空间点 A (12，8，16)，求 A的三面投影． (a) (b) (c) 图 2.6 根据点的坐标作投影图． 解：作图步骤见图 2.6． 第一步：由原点 O向左沿 X轴方向量取 oax＝12． 第二步：过 ax作 X轴的垂线，并由 ax开始，向下量取 8mm得 a，向上量取 16mm 得 a’． 第三步：由 a和 a’按箭头方向画线求得 a”． 例 2.2 已知空间点 B (8，12，0)，C (0，0， 12)，求它们的三面投影图． 解：由于B点的 Z＝0，所以B点在H面内．C 点的 X＝Y＝0，所以 C 点在 Z 轴上．它们的投 影图见图 2.7． 从上述两个例题可看出： 点的 3个坐标值都不等于零时，该点属于一 般空间点．它的 3个投影都在投影面内． 点的一个坐标值等于零时，该点属于某个投 影面．它的 3个投影总有两个位于不同的投影轴 上，另一个投影与自身重合． 点的两个坐标值等于零时，该点属于某根 投影轴．它的 3个投影总有两个投影在某根轴上与自身重合，另一个投影与坐标原点重 合． 二 两点之间的相对位置关系 如图 2.8所示，由两个点的投影沿左右、前后、上下 3个方向所反映的坐标差，即 这两点对投影面 W，V，H的距离差，由此就确定了这两点之间的位置关系． 图 2.7 在投影面上和投影轴 上点的投影 6 (a) 立体图 (b) 投影图 图 2.8 两点的相对位置 图 2.9所示，A、B两点无左右和上下距离差，B点在 A点的正后方，这两点的正面 投影相互重合，A点和 B点称为对 V面投影的重影点．同理，若一点在另一点的正下方 或正上方，则这两点是对 H面投影的重影点．若一点在另一点的正左方或正右方，则这 两点是对 W面投影的重影点． (a) 立体图 (b) 投影图 图 2.9 重影点． 重影点需判别可见性．根据正投影的特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左 遮右．所以图 2.9中的重影点应是 A点遮挡 B点，B点的 V面投影应为不可见．规定不 可见的点加括号，所以，b’应加括号为 (b’)． §2.4 直线的投影 一 直线的投影 由图 2.10可知，根据正投影特性，Aa∥Bb，且同时垂 直 H面，则 Aa和 Bb确定的平面与 H面相交，得交线 ab 图 2.10 直线的投影 7 为直线．所以，直线的投影一般仍为直线．只有当直线垂直于投影面时，如图 2.10 中 CD⊥H面，则直线的投影就积聚成点． 二 直线上点的投影 根据投影特性，由图 2.11 可知，直线上点的投影，在直线的同面投影上．即 C 在 AB上，则 c在 ab上，c’在 a’b’上，c”在 a”b”上．同时，点分线段之比，投影后保持不 变．图中 C点将 AB分为 3 : 2两段，即 AC : CB＝3 : 2．在求作 C点的投影时，只需将 AB的任意一个投影分为 3 : 2，即可求得 C点的投影，见图 2.11(b)． (a) 立体图 (b) 作图过程 图 2.11 直线上点的投影 三 各种位置直线的投影特性 在三投影面体系中，直线与投影面之间的相对位置关系可分为与投影面平行，与投 影面垂直，与投影面倾斜三种．前两种称为投影面的特殊位置直线，后一种称为投影面 的一般位置直线． 与投影面平行的直线称为投影面平行线，它只与一个投影面平行，而与另外两个投 影面倾斜． 与投影面垂直的直线称为投影面垂直线，它只与一个投影面垂直，而与另外两个投 影面同时平行． 与投影面倾斜的直线，即投影面的一般位置直线，它与 3个投影面都倾斜． （一）投影面平行线 与 H 面平行的直线称为水平线，与 V 面平行的直线称为正 平线，与W面平行的直线称为侧平线．它们的投影图及投影特性见表 2.2．规定直线 (或 平面) 对 H、V、W面的夹角分别用α，β，γ表示． （二）投影面垂直线 与 H 面垂直的直线称为铅垂线，与 V 面垂直的直线称为正 垂线，与 W面垂直的直线称为侧垂线．它们的投影图及投影特性见表 2.3． 8 表 2.2 投影面平行线的投影特性 名称 水 平 线 正 平 线 侧 平 线 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 1．水平投影反映实长，与 X 轴夹角为β，与 y轴夹角为γ． 2．正面投影平行 X轴． 3．侧面投影平行 y轴． 1．正面投影反映实长，与 X轴夹 角为α，与 Z轴夹角为γ， 2．水平投影平行 X轴． 3．侧面投影平行 Z轴． 1．侧面投影反映实长，与 Y轴夹 角为α，与 Z轴夹角为β． 2．正面投影平行 Z轴． 3．水平投影平行 Y轴． 表 2.3 投影面垂直线的投影特姓 名称 铅 垂 线 正 垂 线 侧 垂 线 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 1．水平投影积聚为一点． 2．正面投影和侧面投影都平行于 Z轴，并反映实长． 1．正面投影积聚为一点． 2．水平投影和侧面投影都平行 于 Y轴，并反映实长． 1．侧面投影积聚为一点． 2．正面投影和水平投影都平行 于 X轴，并反映实长． (三) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的 9 投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的夹角，见图 2.12． 图 2.12 一般位置直线的投影 四 一般位置线段的实长及对投影面的倾角 由表 2.2，表 2.3可知，投影面的特殊位置直线，从它们的投影图中即可得到该线段 的实长和对投影面的倾角．但一般位置线段的投影却不能．要想求得一般位置线段的实 长和对投影面的倾角，常采用直角三角形法，见图 2.13． 图 2.13 直角三角形法求线段实长和倾角 由图 2.13(a)可知，作 AC∥ab，侧△ABC 为直角三角形。BC＝│ZA—ZB│，AC＝ ab，AB为实长，角 A即为 AB线段对 H面的夹角α．根据三角形三条边之间的关系， 即可在投影图上画出直角三角形，图 2.13 中(b)，(c)是两种不同的作法．直角三角形也 可画在图外．我们不难看出，在这个直角三角形中，求得的倾角只是α角，并不反映β 10 和γ角．若要求β和γ角，两条直角边应作相应变化，如图 2.13(a)中求β角的直角三角 形 ABD．若要求γ角，则还应另作直角三角形．这说明一个直角三角形只能求一个夹角， α、β、γ3个夹角必须画 3个直角三角形．倾角与直角边之间的关系一定符合图 2.14 所示． 图 2.14 求α、β、γ的三个直角三角形 例 2.3 已知线段 AB对 V面的倾角β＝30°，试完成 AB的二面投影，见图 2.15． 解： 分析：题目已知 AB线段的水平投影 ab，见图 2.15(a)，实际已告知 A、B两点的前 后差．又知道 AB线段对 V面的夹角β＝30°．一个直角三角形，已知一条直角边及该 直角边的对角，这个直角三角形可以作出．该直角三角形中的另一直角边即为 AB线段 的正面投影长度，即可完成作图． (a) (b) 图 2.15 完成 AB线段的二面投影 作图：见图 2.15(b)． 1．作直角三角形 aa1b1． 2．截取 a’b’＝ a1b1，完成全图． 五 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种．其中交叉两直线是既不平行，也 不相交，亦称异面直线． (一) 平行两直线 如果空间两直线互相平行，则根据投影特性，这两直线的同面 11 投影也一定互相平行．反之，如两直线的同面投影互相平行，则这两直线在空间一定互 相平行． 前面在阐述直线投影时，已叙述过直线在投影时形成投射面，投射面与投影面相交 的交线即为直线的投影．如图 2.16所示，AB和 CD两直线在投影时所形成的两个投射 面必定互相平行，它们与投影面相交的交线 (即投影) 也必定互相平行．由此可知，当 AB∥CD 时，则 ab∥cd，a’b’∥c’d’，a”b”∥c”d”．根据这一投影特性，我们即可画出 平行两直线的投影，也可判断空间两直线是否平行． 图 2.16 平行两直线的投影 例 2.4 如图 2.17所示，已知 ab∥cd，a’b’∥c’d’，试判断 AB和 CD是否平行． (a) (b) 图 2.17 判别两侧平线是否平行 解： 分析：判别两直线是否平行，只需判两直线的同面投影是否平行，图中两直线只给 出两同面投影互相平行，第三面投影是否一定平行，这要看所给直线是什么线．如所给 两直线是一般位置直线，则第三面投影一定平行，空间两直线平行．如所给两直线是投 影面垂直线，则无需判断，空间两直线一定平行．如所给两直线是投影面平行线，则第 三面投影不一定平行，需作出第三面投影后才能判别． 作图：根据投影关系，作出 AB、CD的第三面投影． 判别：图 2.17(a)，a”b”∥c”d”，所以 AB∥CD． 12 图 2.17(b)，a”b”不平行 c”d”，所以 AB不平行 CD． （二）相交两直线 如果空间两直线相交，则它们的各组同面投影一定相交，且交 点的投影必符合点的投影规律．反之，如果两直线的各组同面投影相交，且交点的投影 符合点的投影规律，则该两直线在空间一定相交，见图 2.18． (a) (b) (c) (d) (e) 图 2.18 相交两直线的投影． 为了清楚起见，图 2.18未画出侧面投影．必须注意，当两直线中有一直线为侧平线 时，见图 2.18(c)，投影图上的“交点”有可能不是真正的交点，而是重影点，必须进行 判别后才能确定两直线是否相交．判别的方法是作侧面投影，见图 2.18(d)，或用点分线 段成定比的方法，见图 2.18(e)．这里判别的结果是两直线不相交． （三）交叉两直线 在空间既不相交，也不平行的两直线称为交叉两直线．交叉两 直线的投影不符合相交两直线的投影规律，它在 3个投影面上的投影虽然都可以相交， 但其交点绝不符合点的投影规律．交叉两直线的投影也不符合平行两直线的投影规律， 它在3个投影面上的投影绝不会同时相互平行，但可以在一个或两个投影面上相互平行， 见图 2.19． 13 图 2.19 交叉两直线的投影 六 直角投影定理 当空间两直线垂直相交，且其中一直线平行于某一投影面时，则在该投影面上两直 线的投影仍保持直角，见图 2.20． (a) (b) 图 2.20 直角投影定理 如图 2.20(a)所示，AB⊥AC，AB∥H面．由于 Aa⊥H面，所以 AB⊥Aa，因此，AB 垂直于相交两直线组成的平面 ACca．又由于 ab∥AB，所以 ab⊥ACca 平面，ab⊥ac， ∠bac＝90°．利用这个性质，即可作投影图，见图 2.20(b)．利用这个性质亦可判定： 若相交两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两 直线的夹角必是 90°． 上述是两直线垂直相交的情况．如果两直线垂直，但不相交，结果会怎么样呢？由 图 2.21可知，结果是一样的．读者可自行证明． 14 (a) (b) 图 2.21 两直线交叉垂直 例 2.5 过点 A作一等边三角形 ABC，已知 BC在水平线 MN上，试完成△ABC的 两面投影，见图 2.22． 解： 分析：要作出△ABC的投影，只有确定 BC边的长度和在 MN上的位置方可作出．根 据题意，可先作出 BC边上的高，以确定 BC在 MN上的位置．再根据高的实长作出等 边三角形 ABC的实形，以确定 BC边的实长，即可在 MN上确定 BC的投影． (a) (b) ( c) (d) 图 2.22 作等边三角形 ABC 15 作图： 第一步：利用直角投影定理作出△ABC的高 AD的投影，见图 2.22(b)． 第二步：利用直角三角形法求出 AD的实长，并作出△ABC的实形，见图 2.22(c)． 第三步：在 MN上截取 BC实长，并完成全图，见图 2.22(d)． §2.5 平面的投影 一 平面的表示法 由初等几何可知，不在同一直线上的三点确定一个平面．因此，表示平面的最基本 方法是不在一直线上的三个点．其它的各种表示方法都是由此派生的．平面的表示方法 可归纳成下列五种． 1． 不在同一直线上的三点，见图 2.23(a)． 2． 一直线和该直线外的一点，见图 2.23(b)． 3． 相交两直线，见图 2.23(c)． 4． 平行两直线，见图 2.23(d)． 5． 任意平面图形，见图 2.23(e)． 图 2.23 几何元素表示的平面 图 2.23示出的平面是用几何元素来表示的平面．除此之外，还可以用迹线来表示平 面．所谓迹线，是平面与投影面相交的交线．如平面 P与 V面相交的交线称为正面迹线， 用 Pv表示；与 H面相交的交线称为水平迹线，用 PH表示；与 W面相交的交线称为侧 面迹线，用 PW表示，见图 2.24． 图 2.24 平面的迹线表示法 16 由图 2.24可知，Pv和 PH是 P面与 V面和 H面的交线，亦是 P面上的两条相交直 线，因此，用迹线来表示平面在本质上与用几何元素来表示平面是一致的，只是为了简 洁起见，Pv 与 PH的另一个投影 (都在 OX 轴上) 不再另行标明，显得有些抽象．但若 掌握并用活了，作图就会显得很简捷． 二 各种位置平面的投影特性 在三投影面体系中，平面与投影面之间的相对位置关系和直线与投影面之间的相对 位置关系是相同的，同样分为三类： 投影面平行面——只平行于一个投影面，而与另外两个投影面同时垂直的平面． 投影面垂直面——只垂直于一个投影面，而与另外两个投影面都倾斜的平面． 一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面． (一) 投影面平行面 与 H面平行的平面称为水平面，与 V面平行的平面称为正平 面，与 W面平行的平面称为侧平面．它们的投影图及投影特性见表 2.4． 表 2.4 投影面平行面的投影特性 名 称 水 平 面 正 平 面 侧 平 面 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 1． 水平投影反映实形 2． 正面投影积聚成平行于 X 轴的直线 3． 侧面投影积聚成平行于 Y 轴的直线 1． 正面投影反映实形 2． 水平投影积聚成平行于 X 轴的直线 3． 侧面投影积聚成平行于 Z 轴的直线 1． 侧面投影反映实形 2． 正面投影积聚成平行于 Z轴的 直线 3． 水平投影积聚成平行于Y轴的 直线． (二) 投影面垂直面 与 H面垂直的平面称为铅垂面，与 V面垂直的平面称为正垂 面，与 W面垂直的平面称为侧垂面．它们的投影图及投影特性见表 2.5． 17 表 2.5 投影面垂直面的投影特性 名 称 铅 垂 面 正 垂 面 侧 垂 面 立 体 图 投 影 图 投 影 特 性 1.水平投影积聚成直线，与 X轴夹 角为β，与 Y轴夹角为γ． 2.正面投影和侧面投影具有类似 性． 1.正面投影积聚成直线，与 X轴夹 角为α，与 Z轴夹角为γ． 2.水平投影和侧面投影具有类似 性． 1.侧面投影积聚成直线，与 Y轴夹 角为α，与 Z轴夹角为β． 2.正面投影和水平投影具有类似性 (三) 一般位置平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜．因此，在三个投影面上 的投影都不反映实形，而是缩小了的类似形，见图 2.25． 图 2.25 一般位置平面的投影 三 平面上的点和直线 点和直线在平面上的几何条件是： 点在平面上，则该点必在平面上的直线上． 直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个点 (两点法)；或通过平面上的一个点， 18 且平行于平面上的一条已知直线 (一点一方向)． 根据上述几何条件，就可在平面上作点或直线，亦可判定点或直线是否在平面上． 例 2.6 如图 2.26(a)所示，已知直线 DE在△ABC平面上，求作直线 DE的水平投 影 de． (a) (b) (c) 图 2.26 作平面上的直线 解： 分析：根据直线在平面上的几何条件可直接作图，本题为简单起见，采用两点法． 作图： 1．延长 d’e’与 a’b’分别交于 1’和 2’．根据直线上点的投影特性，可求得水平投影 1 和 2，见图 2.26(b)． 2．连 1、2．同样根据直线上点的投影特性，可求得 DE的水平投影 de，见图 2.26 (c)． 例 2.7 如图 2.27(a)所示，已知△ABC 及点 K的两面投影，试判别点 K是否在△ ABC平面上． (a) (b) (c) 图 2.27 判断点 K是否在△ABC平面上 解： 分析：根据点在平面上的几何条件，可用两种方法进行判别． 方法一 (两点法)，见图 2.27(b)． 1．连 ak，并延长交 bc于 l． 19 2．根据投影关系，求得 a’l’ ． 3．判别：因 k’在 a’l’上，所以点 K在△ABC平面上． 方法二 (一点一方向)，见图 2.27(c)． 1．过 k作 ac的平行线交 ab于 l． 2．根据投影关系求得 l’，并连 l’k’． 3．判别：检查结果为 l’k’∥a’c’，所以，点 A在△ABC平面上． 四 平面上的投影面平行线 平面上的直线具有直线的投影特性．由于一般位置平面具有普遍性，故这里只阐述 一般位置平面上的直线．一般位置平面与一般位置平面相交，交线为一般位置直线或投 影面平行线．一般位置平面与投影面平行面相交，交线为投影面平行线．一般位置平面 与投影面垂直面相交，交线仍为一般位置直线．故一般位置平面上只能作出一般位置直 线和投影面平行线．作不出投影面垂直线．投影面平行线是直角投影定理中的基本直线， 必须熟练掌握它的作图方法． 例 2.8 已知△ABC 平面，试在平面上过 A 点作水平线，过 C点作正平线，见图 2.28． 解： 分析：由于水平线的正面投影平行于 X 轴， 故可先过 A 点的正面投影作 X 轴的平行线，再根 据投影关系确定其水平投影即可．同理，正平线 的水平投影平行于 X轴，可先过 C点的水平投影 作 X 轴的平行线，再根据投影关系确定其正面投 影． 作图： 1．过 a’作 a’e’∥ox，并求出 ae．则 AE即为 △ABC平面上的水平线． 2．过 c作 cd∥ox，并求出 c’d’．则 CD即为△ABC平面上的正平线． 五 平面上的最大斜度线 （一）最大斜度线的概念．平面上对投影面的夹角为最大的直线称为最大斜度线．如 图 2.29(a)所示，过平面 P上任一点 A作 Aa⊥H面，AB⊥PH，任作 AC，则组成三个直 角三角形：ABC、ABa、ACa．在直角三角形 ABC中，AC是斜边，所以 AC＞AB．同时， AC和 AB又分别是直角三角形 ACa和 ABa的两条斜边，这两个直角三角形享有公共的 直角边 Aa，Aa 所对的夹角，斜边越长，夹角越小，所以α＞φ．AB 对 H 面的夹角最 大，故称 AB为对 H面的最大斜度线． 由于图 2.29(a)中的投影面 H可换成 V面或 W面，故最大斜度线必须具体指明是对 哪个投影面的最大斜度线，如： 图 2.28 平面上作水平线和正平线 20 投影面为 H面，则 AB是 P面上对 H面的最大斜度线． 投影面为 V面，则 AB是 P面上对 V面的最大斜度线． 投影面为 W面，则 AB是 P面上对 W面的最大斜度线． (a) (b) 图 2.29 最大斜度线及其投影 （二）最大斜度线的投影特性．由图 2.29(a)可知，AB⊥PH，PH是 P面与水平面 H 的交线，也是 P 面上的水平线．所以，P 面上对 H 面的最大斜度线必垂直于 P 面上的 水平线．同理，P面上对 V面的最大斜度线必垂直于 P面上的正平线；P面上对 W面的 最大斜度线必垂直于 P面上的侧平线．这些垂直关系可直接利用直角投影定理在投影图 上方便地作出投影来．图 2.29(b)即是平面上对 H面的最大斜度线 AE的投影图． （三）求最大斜度线的目的是求平面对投影面的倾角．由图 2.29(a)可知，平面上的 最大斜度线是与投影面夹角最大的直线．显然，该夹角就是平面对投影面的夹角．因此， 最大斜度线的几何意义是测定平面对投影面的倾角．求作最大斜度线的主要目的是求解 平面对投影面的倾角． 例 2.9 已知直线 AB为平面对 V面的最大斜度线，试求该平面对 H面的倾角α， 见图 2.30(a)． (a) (b) (c) 图 2.30 求平面对投影面的倾角 解： 21 分析：因为 AB是平面上对 V面的最大斜度线，所以 AB垂直平面上的正平线．任 作一条正平线与 AB垂直相交，即可确定该平面的投影． 有了该平面的投影，即可作对 H面的最大斜度线，并通过直角三角形法求α角． 作图： 1．过 B点作 BC平行 V面，并垂直于 AB，见图 2.30(b)． 2．在平面上作水平线 CD；过 B点作 BE⊥CD；利用直角三角形法求出 BE的α角， 即为所求，见图 2.30(c)． 第二章 点、直线、平面的投影 §2.1 投影法 §2.2 三视图的形成及其投影规律 §2.3 点的投影 §2.4 直线的投影 §2.5 平面的投影