null第六节(3)(4)第六节(3)(4)一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 二、齐次微分方程 第三章 三、伯努利方程 四、其他可用变量代换法的方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 称为非齐次的 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次的 ;2. 解非齐次方程2. 解非齐次方程对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得null例1 求方程 的通解。解 例2. 解方程 例2. 解方程 解: 先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令null例3 求方程 的通解。
分析
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：解二、齐次微分方程二、齐次微分方程形如的方程叫做齐次微分方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 例3. 解微分方程例3. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )例4. 解微分方程例4. 解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. null例5 求解微分方程解微分方程的解为三、伯努利 ( Bernoulli )方程 三、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利 例6. 求方程例6. 求方程的通解.解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: 四、其他可用变量代换法的方程 四、其他可用变量代换法的方程 例7. 求方程的通解.内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式化为线性方程求解.2. 伯努利方程3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如, 解方程法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程思考与练习思考与练习提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程2. 求方程2. 求方程的通解 .解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 备用题备用题1. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有线性方程利用公式可求出2. 设有微分方程2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有2) 再解定解问题2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为伯努利(1654 – 1705)伯努利(1654 – 1705)( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
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