第1讲.函数的零点问题.学生版

​ 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 求方程 的实数根，就是确定函数 的零点． 对于不能用求根公式的方程 来说，我们可以将它与函数 联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根． 如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点．如果函数在此区间上单调，则有且仅有一个零点． 解决这些问题，我们以下准备： ⑴掌握几种常见的函数图象与性质，比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、反比例函数等，其中特别重要的是二次函数的图象与性质； ⑵需要掌握图象变换的基本知识，了解 ， ， ， 的图象是如何由 的图象经过变换得到； ⑶了解函数的解析式满足某些关系时，函数图象的性质： 表示函数 具有周期性； 表示函数 有对称轴 ； 表示函数有对称中心 ． ⑷了解同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线 对称； ⑸熟练使用以上函数的零点定理； ⑹熟悉不等式的性质，与解不等式的一般方法． 板块一 根所在的区间判断 【例1】 若函数 在 内恰有一解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式】 已知函数 ，若在 上存在 ，使 ，则实数 的取值范围是 ． 【例2】 （2010上海卷高考）若 是方程 的解，则 属于区间（ ） A． B． C． D． 【变式】 （2010天津高考）函数 的零点所在的一个区间是（ ） A． B． C． D． 【变式】 函数 的零点一定位于区间（ ）． A． B． C． D． 【例3】 函数 的图象是在R上连续不断的曲线，且 ， 则 在区间 上（ ）． A．没有零点 B．有2个零点 C．零点个数为偶数 D．零点个数为 ， 【例4】 （2009福建文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过 ，则可以是（ ） A． B． C． D． 【例5】 （2010一模石景山理题8） 已知函数 ，正实数 是公差为正数的等差数列，且满足 ．若实数 是方程 的一个解，那么下列四个判断： ① ；② ；③ ；④ 中有可能成立的个数为（ ） A． B． C． D． 【例6】 （2009西城一模20） 已知函数 ． ⑴若 ，函数 的图象能否总在直线 的下方？说明理由？ ⑵若函数 在 上是增函数，求 的取值范围． ⑶设 为方程 的三个根，且 ， ， ， 求证： ． 板块二 根的个数： 【例7】 关于x的方程 有解，则a的取值范围是 ． 【变式】 若函数 的图象与 轴有交点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例8】 若关于 的方程 有唯一的实根，求实数 的取值范围． 【变式】 设 为常数，若关于 的方程 有解，则 的取值范围是_______．若此方程有且仅有一解，则 的取值范围是_________． 【例9】 若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围． 【变式】 已知关于 的方程 有两个不同的实根，求 的取值范围． 【例10】 试判断方程 的实数解的个数是多少 【例11】 （2009石景山一模）已知函数和在 的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是　　　　　　　　．（将所有正确的命题序号填在横线上）． 【例12】 设定义域为 的函数 ，则关于 的方程 有 个不同的实数解的充要条件是（ ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 【变式】 （2010全国卷Ⅰ高考15） 直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 ． 板块三 根的分布 一元二次方程的根的分布 【例13】 若方程 的根都为正数，求 的取值范围． 【变式】 已知 ： ⑴ 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点； ⑵如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数 的取值范围． 【例14】 已知关于x的二次方程 ． ⑴若方程有两根，其中一根在区间 内，另一根在区间 内，求m的范围． ⑵若方程两根均在区间 内，求m的范围． 【变式】 已知关于 的方程 的两个实根 和 ，满足 ，求实数 的取值范围． 【例15】 方程 的两根都大于 ，求实数a的取值范围． 【例16】 已知 是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求实数 的取值范围． 【变式】 （2010二模朝阳理题8） 已知函数 （ ）． 用 表示集合 中元素的个数，若使得 成立的充分必要条件是 且 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 轴对称 【例17】 设函数 对 都满足 ，且方程 恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ） A．0 B．9 C．12 D．18 【例18】 （2009新课标山东卷16） 已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数，若方程 在区间 上有四个不同的根 ， ， ， ， 则 _______． 【变式】 （2009新课标福建卷10） 函数 的图象关于直线 对称，据此可推测，对任意的非零实数 ，关于 的方程 的解集都不可能是（ ） A． B． C． D． 同底的指对函数的图象对称性 【例19】 设 分别是方程 和 的根，则 ． 【变式】 （2009新课标辽宁卷12） 若 满足 ， 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【例20】 设 依次是方程 ， ， 的实数根，试比较 的大小． 习题 1. （2010一模宣武·理·题4） 设函数 ，则其零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 习题 2. （2010一模宣武文题6） 设函数 在区间 内有零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 习题 3. 若关于 的方程 有负根，则实数 的取值范围是 ． 习题 4. 方程 的实数解的个数为 ． 习题 5. 若一元二次方程 的两根都是负数，求k的取值范围． 习题 6. 已知二次方程 的两个根分别属于 和 ，求 的取值范围． 习题 7. 是方程 EMBED Equation.DSMT4 的解，则 这三个数的大小关系是 ． 知识点睛 函数的零点问题 例题精讲 实战练兵 高三年级·第1讲·学生版 page 8 of 9 _1341123427.unknown _1348594521.unknown _1355039655.unknown _1355040311.unknown _1355040587.unknown _1355050937.unknown _1355051545.unknown _1355051553.unknown _1355051561.unknown _1355052750.unknown _1355127383.unknown _1355052647.unknown _1355051557.unknown _1355051549.unknown _1355051541.unknown _1355051543.unknown _1355050968.unknown _1355051164.unknown _1355050952.unknown _1355047524.unknown _1355049948.unknown _1355049954.unknown _1355050097.unknown _1355049950.unknown _1355049946.unknown _1355041011.unknown _1355041013.unknown _1355041009.unknown _1355040411.unknown _1355040421.unknown _1355040436.unknown _1355040417.unknown _1355040390.unknown _1355040402.unknown _1355040372.unknown _1355040275.unknown _1355040291.unknown _1355040297.unknown _1355040283.unknown _1355039764.unknown _1355039801.unknown _1355039749.unknown _1355039674.unknown _1355039703.unknown _1354949036.unknown _1354951007.unknown _1355039616.unknown _1355039626.unknown _1355039640.unknown _1355039621.unknown _1355039577.unknown _1355039608.unknown _1355039567.unknown _1354951029.unknown _1354949521.unknown _1354950336.unknown _1354950932.unknown _1354950525.unknown _1354950333.unknown _1354949603.unknown _1354949507.unknown _1354949513.unknown _1354949500.unknown _1354949200.unknown _1353158777.unknown _1354948125.unknown _1354948229.unknown _1354948289.unknown _1354948200.unknown _1354519751.unknown _1354519759.unknown _1353152122.unknown _1353153502.unknown _1353158771.unknown _1353153515.unknown _1353153417.unknown _1353153485.unknown _1353153408.unknown _1348594582.unknown _1348653597.unknown _1348594589.unknown _1348594534.unknown _1348593108.unknown _1348593531.unknown _1348593615.unknown _1348594026.unknown _1348594194.unknown _1348594201.unknown _1348594518.unknown _1348594197.unknown _1348594191.unknown _1348593890.unknown _1348593939.unknown _1348593942.unknown _1348593932.unknown _1348593764.unknown _1348593537.unknown _1348593541.unknown _1348593544.unknown _1348593534.unknown _1348593218.unknown _1348593225.unknown _1348593347.unknown _1348593350.unknown _1348593228.unknown _1348593221.unknown _1348593134.unknown _1348593215.unknown _1348593150.unknown _1348593111.unknown _1348592756.unknown _1348592811.unknown _1348593102.unknown _1348593105.unknown _1348592848.unknown _1348593018.unknown _1348592762.unknown _1348592788.unknown _1348592795.unknown _1348592759.unknown _1348592743.unknown _1348592749.unknown _1348592753.unknown _1348592746.unknown _1348592737.unknown _1348592740.unknown _1343644304.unknown _1343644308.unknown _1348592730.unknown _1343644306.unknown _1341123429.unknown _1307519064.unknown _1333285447.unknown _1333287255.unknown _1335244146.unknown _1335244154.unknown _1341123423.unknown _1341123425.unknown _1335244158.unknown _1335244162.unknown _1341123421.unknown _1335244160.unknown _1335244156.unknown _1335244150.unknown _1335244152.unknown _1335244148.unknown _1335244142.unknown _1335244144.unknown _1335244140.unknown _1333287214.unknown _1333287239.unknown _1333287247.unknown _1333287232.unknown _1333287169.unknown _1333287197.unknown _1333287147.unknown _1333285450.unknown _1309792141.unknown _1333265188.unknown _1333285441.unknown _1333285444.unknown _1333265200.unknown _1333265210.unknown _1333285438.unknown _1333265205.unknown _1333265193.unknown _1333264642.unknown _1333265182.unknown _1333190080.unknown _1308664736.unknown _1309792061.unknown _1309792064.unknown _1309792066.unknown _1308749098.unknown _1307519120.unknown _1307519135.unknown _1308556513.unknown _1307519143.unknown _1307519124.unknown _1307519095.unknown _1307519109.unknown _1307519075.unknown _1303124660.unknown _1306834480.unknown _1307434098.unknown _1307439923.unknown _1307514153.unknown _1307514155.unknown _1307439933.unknown _1307439937.unknown _1307439927.unknown _1307439899.unknown _1307439910.unknown _1307439889.unknown _1306834572.unknown _1306834583.unknown _1307434094.unknown _1306834577.unknown _1306834495.unknown _1306834567.unknown _1306834491.unknown _1303124696.unknown _1306834455.unknown _1306834466.unknown _1303124711.unknown _1303124676.unknown _1303124682.unknown _1303124669.unknown _1291618501.unknown _1303124626.unknown _1303124646.unknown _1303124653.unknown _1303124636.unknown _1303124614.unknown _1303124619.unknown _1303124576.unknown _1298466371.unknown _1291463272.unknown _1291463336.unknown _1291463346.unknown _1291463354.unknown _1291463359.unknown _1291463342.unknown _1291463322.unknown _1291463331.unknown _1291463317.unknown _1291463257.unknown _1291463267.unknown _1291463208.unknown