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2 Grupos de simetrías. Mosaicos Estas notas deben entenderse como un guión de lo que se expondrá en el aula. En ningún caso pretenden sustituir ni la asistencia a clase ni las necesarias consultas bibliográficas. El contenido de este capítulo puede seguirse a través de [2]. El objetivo de este capítulo es estudiar y clasificar todas las posibles formas de cubrir el plano con copias idénticas de una “ficha” o “pieza” (tesela) de manera periódica; es decir, los mosaicos o teselaciones perió- dicas (al final del capítulo veremos también algunas teselaciones “aperiódicas”). La herramienta para esta clasificación es el estudio de qué movimientos del plano (aplicaciones biyectivas del plano que respetan la distancia entre puntos, es decir, isometrías) preservan la teselación, es decir, el estudio de las simetrías de la teselación. A su vez, para este estudio, es fundamental el hecho de que las simetrías de una figura plana tienen una estructura algebraica de grupo. Por tanto deberemos estudiar algunas nociones de teoría de gru- pos, aplicarla al grupo de los movimientos del plano y sus subgrupos, aplicar a su vez estos resultados al estudio de los retículos, y podremos entonces encontrar los 17 grupos cristalográficos planos, que son todos los posibles grupos de simetrías de un mosaico del plano y, por tanto, clasifican todas las formas posibles de teselar un plano de forma periódica. La consecuencia es una primera mirada sobre la realización de las estructuras algebraicas en la geometría a través del concepto central de simetría. 2.1 Las simetrías rotacionales de un tetraedro ¿Cuántas simetrías rotacionales tiene un tetraedro regular? Es decir, ¿cuántos movimientos rígidos del es- pacio llevan el tetraedro sobre sí mismo? Contemos los ejes y las rotaciones por cada eje: a) Hay un eje de rotación que pasa por el centro de cada cara y el vértice opuesto (en total, 4 ejes), y las rotaciones de ángulos 2�3 y 4� 3 dejan invariante el tetraedro. b) Otro eje de rotación es el que une los puntos medios de aristas no concurrentes (otros 3 ejes). En ese caso, hay que girar un ángulo �. c) Si añadimos la identidad, que es trivialmente una simetría, el total es de 8 + 3 + 1 = 12. Un prisma hexagonal y una pirámide dodecagonal tienen también 12 simetrías rotacionales. En efecto, a) En el primer caso, las cinco rotaciones cuyo eje es el que une el centro de ambas bases y de ángulo k� 3 ; k = 1; 2; : : : ; 5; las tres rotaciones de ángulo � cuyos ejes unen los puntos medios de las seis caras rectangulares opuestas; las tres rotaciones de ángulo � cuyos ejes unen los puntos medios de las aristas opuestas que no delimitan las bases; y la identidad. b) En el segundo, las 11 rotaciones cuyo eje une el vértice de la pirámide con el punto medio de la base, de ángulos k�6 ; k = 1; 2; : : : ; 11, y la identidad. ¿Tienen entonces estas tres figuras el mismo comportamiento en lo que a las simetrías rotacionales se refiere? ¿Tienen “la misma simetría”? La respuesta es no. Aunque el número de simetrías coincida, las relaciones entre ellas son diferentes. Por ejemplo, el orden sucesivo en el que se apliquen varias las simetrías de la pirámide no influye en el resultado final (que es la rotación cuyo ángulo es la suma total de los ángulos de las rotaciones aplicadas). Sin embargo, esto no se aplica a los otros dos casos (véase la Figura 2.1). Además, en el caso del tetraedro, hay tres rotaciones (no triviales) distintas que, aplicadas dos veces, dejan al tetraedro en la posición de partida (es decir, que al componerse con ellas mismas dan como resultado la identidad): son las que tienen ejes que unen puntos medios de aristas. Sin embargo, para el prisma hexagonal, hay siete de estas rotaciones (todas las de ángulo �). (Y, en el caso de la pirámide, sólo hay una). Elementos de Matemáticas y aplicaciones 28 Grupos de simetrías. Mosaicos Elementos de Matemáticas y aplicaciones (a) Tetraedro. (b) Prisma hexagonal. Figura 2.1: Simetrías en un tetraedro y en un prisma hexagonal. 2.2 Grupos. Isomorfismos y homomorfismos de grupos 2.2.1 Definición axiomática de grupo Parece claro, pues, que las tres figuras consideradas en el apartado anterior exhiben un comportamiento diferente en lo que a sus simetrías se refiere. Dicho de otra forma, en el conjunto de las simetrías de una figura hay una estructura más profunda y más rica que la puramente conjuntista, es decir, hay más infor- mación que la simplemente numérica. De hecho, en los tres casos las simetrías de cada figura tienen en sus relaciones rasgos comunes, aunque dichas relaciones acaben mostrando comportamientos distintos. Así, la identidad es siempre una simetría de una figura; la composición de dos simetrías es una simetría; la compo- sición con la identidad no tiene ningún efecto; la composición es asociativa (es decir, dadas tres simetrías �1, �2 y �3 tales que �1 � �2 = �1 y �2 � �3 = �2, entonces al aplicar sucesivamente las tres simetrías es �1 � �2 � �3 = �1 � �3 = �1 � �2); y toda simetría tiene otra simetría que deshace sus efectos, una inversa. Aislando estas propiedades, podemos dar una definición axiomática de una estructura que se comporta, genéricamente, como las simetrías de una figura: Elementos de Matemáticas y aplicaciones Elementos de Matemáticas y aplicaciones Grupos. Isomorfismos y homomorfismos de grupos 29 Definición 2.2.1 Un grupo es un par (G; �) formado por un conjunto G y una aplicación � : G�G! G (a; b) 7! �(a; b) = a � b que verifican las siguientes propiedades: 1) Propiedad asociativa: (a � b) � c = a � (b � c) para todo a; b; c 2 G. 2) Existencia de elemento neutro: Existe e 2 G tal que a � e = e � a = a para todo a 2 G. 3) Existencia de inverso: Para todo a 2 G existe b 2 G tal que a � b = b � a = e. Si además de las tres propiedades anteriores, se verifica 4) Propiedad conmutativa: a � b = b � a para todo a; b 2 G, se dice que el grupo es conmutativo (o abeliano1). 2 Ejemplo 2.2.2 a) Las simetrías del tetraedro, el prisma hexagonal, la pirámide dodecagonal,. . . forman grupos. b) Los números enteros Z, racionales Q, o reales R, con la suma, constituyen grupos abelianos. También lo son números racionales (o reales) no nulos con el producto (debemos quitar el cero pues éste carece de inverso), así como los números complejos C con la suma, o los complejos no nulos con el producto. c) Las aplicaciones biyectivas del conjunto f1; 2; : : : ; ng en sí mismo, con la composición de aplicacio- nes, forman un grupo (no abeliano). A este grupo se le llama el grupo simétrico, Sn, o el grupo de permutaciones de n elementos. d) Las matrices 2�2, con la suma de matrices, son un grupo abeliano. Las matrices 2�2 con determinante no nulo, con el producto de matrices, son un grupo no abeliano. A este grupo se le llama el grupo general lineal de orden 2, GL(2;R) o, simplemente, GL(2) (obviamente, en vez de 2, se puede usar cualquier otro número natural n). También son grupo con el producto: i) las matrices de determinante 1 (el grupo especial lineal, SL(n)). ii) las matrices ortogonales, es decir, aquellas que verifican AT = A�1 (el grupo ortogonal, O(n)). iii) las matrices ortogonales con determinante 1 (el grupo especial ortogonal, SO(n)). e) Las clases de restos módulo n 2 N, Zn, son un grupo con la suma. Para p primo, Zpnf0g es también grupo con el producto. f) El grupo de Klein Z2 � Z2 = f(0; 0); (1; 0); (0; 1); (1; 1)g es un grupo con la suma, definida componente a componente (es un caso particular de suma directa de grupos abelianos 2). 2 Todos estos ejemplos se acomodan a la definición que hemos obtenido “destilando” el comportamiento de las simetrías respecto a la composición. ¿Cuál es la ventaja de dar una definición axiomática, en vez de estudiar específicamente el caso que nos interese? Pues que, a partir de los axiomas de la definición, se puede demostrar con una sola demostración que ciertas propiedades se verifican en todos los casos en que se cumpla la definición, ya sean simetrías de figuras espaciales, matrices, números, permutaciones o clases de restos. Por ejemplo: 1Por el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802–1829). 2Sean (G;+) y (H;+) dos grupos abelianos. La suma directa deG yH , que representaremos comoG�H , es el grupo constituido por el conjunto G�H con la operación (g1; h1) + (g2; h2) = (g1 + g2; h1 + h2) para todo g1; g2 2 G y h1; h2 2 H . Elementos de Matemáticas y aplicaciones 30 Grupos de simetrías. Mosaicos Elementos de Matemáticas y aplicaciones Proposición 2.2.3 Sea (G; �) un grupo. Entonces: a) El elemento neutro e de G es único. b) Cada elemento de G tiene un único inverso. (Esto permite definir, para cada a 2 G su inverso, que denotaremos por a�1). c) Sea a 2 G: Si existe b 2 G tal que a � b = e entonces b = a�1: DEMOSTRACIÓN. a) Supongamos que e y e0 son dos elementos neutros. Entonces, por ser e neutro, se verifica que e � e0 = e0: (2.1) Pero, por ser e0 también elemento neutro, se tiene que e � e0 = e: (2.2) Por tanto, de (2.1) y (2.2), se concluye que e = e0: b) Sea a 2 G y supongamos que b; c 2 G son dos inversos de a. Entonces, por definición, se verifica que b = b � e = b � (a � c) = (b � a) � c = e � c = c: c) Basta probar que b � a = e: Como b 2 G; existe b�1 2 G: Entonces, b � a = b � a � (b � b�1) = b � (a � b) � b�1 = b � e � b�1 = b � b�1 = e: 2 2.2.2 Subgrupos. Grupos finitos. Orden El grupo de rotaciones del espacio que dejan invariante un prisma n–gonal se denomina grupo diédrico n–ésimo, y se denota por Dn. Normalmente, se visualiza más bien como el grupo de transformaciones del plano que deja invariante un polígono regular de n lados, y así lo definiremos más adelante. La visualiza- ción se puede hacer intuitivamente, haciendo que la altura del prisma tienda hacia 0. Las bases coinciden entonces en un polígono plano regular de n lados. De este modo, las rotaciones alrededor del eje que une el centro de las bases se convierten en rotaciones planas alrededor del centro del polígono; y las rotaciones de ángulo � respecto a ejes paralelos a las bases tienen el efecto de “voltear"el polígono alrededor de dicho eje: es decir, el mismo efecto que una reflexión (que es una transformación del plano) respecto a ese eje. Vimos, al principio de este capítulo, que D6 tiene 12 elementos. Visualicemos D6 como las rotaciones y reflexiones planas que dejan invariante un hexágono regular, e imaginemos ahora que incrustamos un triángulo equilátero en el hexágono, uniendo vértices alternos, como se muestra en la Figura 2.2. Figura 2.2: Triángulo incrustado en un hexágono. Entonces, parte de las simetrías del hexágono también son simetrías del triángulo: las rotaciones al- rededor del centro de ambos, y ángulos 2�3 y 4� 3 , y las reflexiones con respecto a las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. En total, seis simetrías. De este modo, visualizamosD3 como subconjunto deD6, pero de forma queD3, con la operación deD6 restringida a sus elementos, es también grupo. Decimos que D3 es subgrupo de D6. En general, Elementos de Matemáticas y aplicaciones Elementos de Matemáticas y aplicaciones Grupos. Isomorfismos y homomorfismos de grupos 31 Definición 2.2.4 Sea (G; �) un grupo. Un subconjunto H � G es un subgrupo de G (y se escribe H � G) si (H; �) es grupo. 2 Ejemplo 2.2.5 a) (2Z;+) � (Z;+) � (Q;+) � (R;+) � (C;+). b) SO(n) � SL(n) � GL(n): 2 Notación 2.2.6 Sea (G; �) un grupo. Si x 2 G y n 2 Z, vamos a denotar por xn a xn = 8>><>>: x � (n): : : � x; si n > 0 e; si n = 0 x�1 � (�n): : : � x�1 si n < 0: 2 Definición 2.2.7 Sea (G; �) un grupo y x 2 G. El conjunto hxi = fxn : n 2 Zg es, trivialmente, un subgrupo abeliano de G, y se llama el subgrupo generado por el elemento x. Si existe un elemento y 2 G tal que G = hyi se dice que G es un grupo cíclico. 2 Definición 2.2.8 Si G es un grupo con una cantidad finita de elementos, se llama orden de G, y lo deno- taremos por jGj, al cardinal de G (en el caso de que G no sea un conjunto finito, diremos que tiene orden infinito). Si x 2 G, llamaremos orden de x a ord(x) = jhxij: 2 Observación 2.2.9 El orden de un elemento x es el menor entero positivo n tal que xn = e: 2 Ejemplo 2.2.10 El orden de D6 es 12. De sus elementos, la identidad tiene orden 1, las rotaciones de ángulo � tienen orden 2, las de ángulo k�3 (k = 1; 5) tienen orden 6, y las de ángulo 2k� 3 (k = 1; 2) tienen orden 3. 2 Ejemplo 2.2.11 El orden de todos los elementos del grupo de Klein es 2 (excepto el elemento neutro, (0; 0), que tiene orden 1). 2 Acerca de los subgrupos, nos será útil saber que: Proposición 2.2.12 Sea (G; �) un grupo y H un subconjunto no vacío de G: Se verifica que: H � G , x � y�1 2 H para todo x; y 2 H: DEMOSTRACIÓN. ) Evidente. ( Veamos que H es un subgrupo de G: 1) La propiedad asociativa se verifica automáticamente por ser G grupo. 2) El elemento neutro e 2 G está, de hecho, en H , pues dado cualquier x 2 H (y hay alguno, pues H 6= ;) se tiene que e = x � x�1 2 H . 3) El inverso de cualquier x 2 H también está en H , ya que e; x 2 H ) x�1 = e � x�1 2 H: 4) Pero, además, para que (H; �) sea un grupo, debe ser � : H �H ! H . En efecto, 8x; y 2 H ) x; y�1 2 H ) x(y�1)�1 = xy 2 H: 2 Proposición 2.2.13 Sea G un grupo y H1;H2 � G: Si H1 � G y H2 � G entonces H1 \H2 � G: DEMOSTRACIÓN. Usando la Proposición 2.2.12, basta probar que x; y 2 H1 \H2 ) xy�1 2 H1 \H2: Si x; y 2 H1 \H2, entonces x; y 2 H1 y, por ser H1 un grupo, se verifica que xy�1 2 H1; análogamente, xy�1 2 H2. Así pues, xy�1 2 H1 \H2: 2 Elementos de Matemáticas y aplicaciones 32 Grupos de simetrías. Mosaicos Elementos de Matemáticas y aplicaciones 2.2.3 Isomorfismos: cuándo dos grupos son “iguales” Ejemplo 2.2.14 Consideremos el conjunto formado por las rotaciones en el plano alrededor del origen, de ángulos 0; �2 ; � y 3� 2 , que denotamos �0; �1; �2 y �3, respectivamente. Este conjunto, con el producto de composición, constituye un grupo G1. La tabla de multiplicar de este grupo sería �0 �1 �2 �3 �0 �0 �1 �2 �3 �1 �1 �2 �3 �0 �2 �2 �3 �0 �1 �3 �3 �0 �1 �2 Por otra parte, llamamos G2 al grupo formado por el conjunto de números complejos f1; i;�1;�ig dotado de la multiplicación habitual; la tabla de multiplicar del grupo sería 1 i �1 �i 1 1 i �1 �i i i �1 �i 1 �1 �1 �i 1 i �i �i 1 i �1 Finalmente, la tabla de “multiplicación” deG3 = Z4 (esto es, el conjunto f0; 1; 2; 3g con la suma módulo 4) es 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 Nótese la completa analogía existente entre las tres tablas. Si definimos una aplicación f : G1 ! G2 mediante �0 7! 1; �1 7! i; �2 7! �1; �3 7! �i; entonces esta aplicación es biyectiva y verifica que f(xy) = f(x)f(y); ya que las tablas de multiplicar en ambos grupos son idénticas a través de f . (Esto no es extraño, pues multiplicar por un número complejo de módulo 1 equivale a realizar un giro de ángulo igual al argumento del número). Igualmente, la aplicación g : G2 ! G3 definida mediante 1 7! 0; i 7! 1; �1 7! 2; �i 7! 3; es biyectiva y verifica g(xy) = g(x) + g(y): (Nuevamente, no hay sorpresas: basta pensar que G2 = fi0; i1; i2; i3g y que al multiplicar dos potencias de la misma base se suman los exponentes). Es decir que, para nosotros, los tres grupos son “el mismo” a todos los efectos. Más precisamente, diremos que f y g son “isomorfismos” y G1; G2 y G3 son “isomorfos”. 2 Definición 2.2.15 Sean (G; �) y (G0; �) grupos. Una aplicación f : G! G0 es un isomorfismo (de grupos) si es biyectiva y verifica que f(x � y) = f(x) � f(y) para todo x; y 2 G. En ese caso, los grupos G y G0 se dicen isomorfos y se escribe G �= G0: 2 Ejemplo 2.2.16 Son isomorfismos: a) La aplicación (R;+)! (R+; �) dada por x 7! exp(x). Elementos de Matemáticas y aplicaciones Elementos de Matemáticas y aplicaciones Grupos. Isomorfismos y homomorfismos de grupos 33 b) La aplicación D3 ! S3 que a cada simetría le hace corresponder el efecto de la simetría sobre los vértices del triángulo. 2 Proposición 2.2.17 Sean G y G0 dos grupos y sea f : G! G0 un isomorfismo entre ellos. Entonces: a) G y G0 tienen el mismo cardinal. b) Si e y e0 son, respectivamente, los elementos neutros de G y G0 f(e) = e0 y f(x�1) = (f(x))�1: c) Si H es subgrupo de G, f(H) es subgrupo de G0 (Los isomorfismos llevan subgrupos a subgrupos). d) Si x 2 G; ord(x) = ord(f(x)) (Los isomorfismos preservan el orden de los elementos). e) Si G es un grupo abeliano G0 también lo es. DEMOSTRACIÓN. a) Trivial (pues todo isomorfismo es una biyección). b) Para todo x 2 G se tiene f(x) = f(xe) = f(x)f(e); así que e0 = (f(x))�1f(x) = (f(x))�1f(x)f(e) = e0f(e) = f(e); de modo que f(e) es el elemento neutro de G0. En cuanto al inverso, se tiene que f(x)f(x�1) = f(xx�1) = f(e) = e0 por lo que f(x�1) es el inverso de f(x). c) Sea H � G. Basta observar que para todo f(x); f(y) 2 f(H) se verifica que f(x)f(y)�1 = f(xy�1) 2 f(H); ya que xy�1 2 H . d) En efecto, puesto que f(hxi) es un subgrupo y se verifica que f(xn) = (f(x))n; se tiene que f(hxi) = hf(x)i: Consecuentemente, ord(x) = jhxij = jf(hxi)j = jhf(x)ij = ord(f(x)): e) Basta tener en cuenta que para todo x0 = f(x) e y0 = f(y) se verifica que x0y0 = f(x)f(y) = f(xy) = f(yx) = y0x0: 2 Observación 2.2.18 Con las dos últimas afirmaciones de la Proposición 2.2.17 podemos formalizar que los tres grupos de simetrías de la Sección 2.1 son “distintos” en el sentido de que no pueden ser isomorfos. 2 Elementos de Matemáticas y aplicaciones 34 Grupos de simetrías. Mosaicos Elementos de Matemáticas y aplicaciones 2.2.4 Homomorfismos de grupos. Núcleo e imagen Definición 2.2.19 Una aplicación f : G! G0 es un homomorfismo de grupos si se verifica que f(xy) = f(x)f(y) para todo x; y 2 G: 2 Observación 2.2.20 Las afirmaciones segunda y tercera de la Proposición 2.2.17 se verifican también para homomorfismos, pues en su demostración no se utiliza que la aplicación en cuestión sea biyectiva. 2 Definición 2.2.21 Sea f : G! G0 un homomorfismo de grupos. a) ker(f) = fx 2 G : f(x) = e0g es el núcleo de f: b) im(f) = f(G) = ff(x) : x 2 Gg es la imagen de f: 2 Proposición 2.2.22 Si f : G! G0 es un homomorfismo de grupos se tiene que ker(f) � G e im(f) � G0. DEMOSTRACIÓN. a) Si x; y 2 ker(f) entonces f(xy�1) = f(x)(f(y))�1 = e0; por lo que xy�1 2 ker(f). b) Si f(x); f(y) 2 im(f) se tiene que f(x)(f(y))�1 = f(xy�1) 2 im(f): 2 Observación 2.2.23 Sea f : G! G0 un homomorfismo de grupos. a) La aplicación f es inyectiva , ker(f) = feg: b) La aplicación f es sobreyectiva , im(f) = G0: 2 2.2.5 Subgrupos normales. El grupo cociente Dado H � G, consideremos la relación de equivalencia dada por xH � y , xy�1 2 H: La clase de equivalencia de x sería Hx = fhx : h 2 Hg; pues yH � x , yx�1 = h 2 H , y = hx con h 2 H: Cada una de estas clases de equivalencia tiene exactamente jHj elementos. En efecto, la aplicación H ! Hx h 7! hx es, por una parte, trivialmente sobreyectiva; por otra parte, si hx = h0x, entonces (hx)x�1 = (h0x)x�1, y por tanto, h = h0. Puesto que G es la unión disjunta de sus clases de equivalencia, obtenemos el siguiente resultado: Teorema 2.2.24 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo finito, y H un subgrupo suyo. Entonces, jHj divide a jGj. Elementos de Matemáticas y aplicaciones Elementos de Matemáticas y aplicaciones Isometrías del plano y matrices ortogonales 35 DEMOSTRACIÓN. Si llamamos G=H al conjunto cociente de G por la relación de equivalencia H� , G=H = fHx : x 2 Gg; como los Hx son una partición de G, cada Hx tiene jHj elementos, y hay jG=Hj de ellas, tenemos que jGj = jG=HjjHj. 2 Definición 2.2.25 H � G se llama subgrupo normal (y se escribe H C G) si se verifica que ghg�1 2 H para todo g 2 G; h 2 H: 2 Observación 2.2.26 Lo interesante es que siH C G, entonces la operación de G le da estructura de grupo a G=H . En efecto, podemos definir el producto de dos clases mediante (Hx)(Hy) = Hxy sin que la definición dependa del representante elegido, y