二次函数最值的应用

二次函数最值的应用第7卷第3期 2005年7月安顺师范高等专科学校学报 JOURNAL()FANSHUNTEACHERSCoLLEGE v01．7No．3 Jul．2005 二次函数最值的应用杨芸 (安顺市职业技术高级中学，贵州安顺561000) 摘要：二次函数的最值在高中数学中，是一个重要的知识点，教材中对最值的讨论较周详，但对最值的应用体现较弱，该文重点讨论二次函数最值的应用，特别是在相关学科和实践中的应用等问题。关键词：二次函数；最值；应用；课程改革中图分类号：G633．6文献标识码：A文...

第7卷第3期 2005年7月安顺师范高等专科学校学报 JOURNAL()FANSHUNTEACHERSCoLLEGE v01．7No．3 Jul．2005 二次函数最值的应用杨芸 (安顺市职业技术高级中学，贵州安顺561000) 摘要：二次函数的最值在高中数学中，是一个重要的知识点，教材中对最值的讨论较周详，但对最值的应用体现较弱，该文重点讨论二次函数最值的应用，特别是在相关学科和实践中的应用等问题。关键词：二次函数；最值；应用；课程改革中图分类号：G633．6文献标识码：A文章编号：1672—3694(2005)03—0083一02 根据新一轮数学课程改革方向，加强数学的实用性，注重理论与实践问题的结合，把数学知识应用到生产劳动和经济活动中，引导学生探究和完成一些研究型课题，实现学生的实践与综合应用知识领域目标的达成。这是课程改革的主要任务，在高级职业中学，重视数学在自然科学和社会实践中的应用。以二次函数的最大值，最小值为工具，解决有关问题在现行中学教材中体现较弱，值得我们进一步讨论，下面举例说明应用的广泛性。一、在自然科学中的应用在这类问题中，一般借助建立数学模型，构造二次函数，然后通过求函数的最大值，最小值得到解答，从而解决实际问题，下面就两个例题进行分析说明它的实用性 1．与物理学科相关的应用例在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到口。，口2，⋯⋯n。，共咒个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”n是这样一个量，与其它近似值比较，n与各数据的差的平方和最小；依此规定，从a。， n2⋯⋯口。推出的口= 分析：本题首先要理解题意，并能将文字语言转化成数学符号语言来表示，同时要熟悉利用二次函数模型求有关最值，从而得到题目解答。解：这个问题是求使，(口)=(口一口1)2+(口一口2)2+ ⋯⋯+(n—n。)2取得最小值时，口的值。．’．，(4)=行口2—2口(口l+口2+⋯⋯+口。)+(口12+口22 +⋯⋯口。2)，，2∈．No 根据二次函数y=凹2+k+c(n≠0)的性质。口>O时，图象开口向上，顶点的纵坐标即是函数的最小收稿日期：2004—04—06 作者简介：杨芸，女，安顺市职业技术高级中学教师。值。根据顶点坐标公式当n：垫型上唼二型：生生掣；生时函数，(口)取得最小值。即当口是这咒个数据的算术平均数时，口与各数据的差的平方和最小。。 2．在实际生活中的应用例某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知收益满足函数 R(z)：j400z寺≯(o◇<400) L80000 (z≥400) 其中x是仪器的月生产量。 (1)将利润表示成月产量的函数，(z) (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元(总收益=总成本+利润) 分析：利润=总收益一总成本由于R(z)是分段函数，所以，(z)也要分段求出然后分别求出，(z)在各段中的最大值，最小值，通过比较，就能确定，(z)的最大值。解：(1)设月生产量为X台，则总成本为20000+100z 从而几)：l一专，+300扩20000∞Q<400’ L60000一100z(z≥400) (2)当o≤z≤400时，，(z)=一÷(z一300)2+25000 ．‘．当z=300时，有最大值，(z)=25000 · 83· 万方数据安顺师范高等专科学校学报 2005年第3期当z>400时，．厂(z)=60000—looz是减函数，(z)<6000一100×400<25000 ．’．当z=300时厂(z)的最大值为25000 答：每月生产300台仪器时，最大利润为25000元。二、利用最大值。最小值作为条件，可以讨论二次函数中的相关参数 1．求相关参数，渗透数形结合思想。例若，(z)=z2+2z+3在区间[M，0]的最大值为 3，最小值为2，则实数M的取值范围是什么? 分析：此题利用，(z)在某区间【M，0]上的最值，确定区间的范围，要注意区间最值的多种可能性与实数定义域最值的异同，以免解题中有所遗漏。解：，(z)的顶点横坐标为z2F寿2—1 顶点纵坐标为y=奠≥帮=号=2 ．’．顶点坐标为(一l，2) 若M<一1，则根据图形所示厂(z)关于z=一1对称。．+．，(0)=3，厂(一2)=3，，(一1)=2 ．‘．M∈[一2，一1] 2．利用最大，最小值讨论参数例若，(z)=耽r2+2mz+1(优≠0)，在[一3，2]上厂(z)max=4求m 分析：此类题目中的参数所有各种可能的取值情况，在讨论的时候，要注意考虑到各种情况，不能遗漏。解：顶点横坐标z兰娑=一1 (1)若拼O，图形开口向上，图形关于z=一1对称。．’．，(z)max=，(2)=4m+4研+1=8跏+1：4 ． 3 一”2i 三、利用函数最大值，最小值作为条件。可以反过来确定二次函数解析式二次函数的表达式有三种，一般式、顶点式、双根式。要善于灵活地根据所给二次函数的性质，恰当选择表达式，并使用待定系数法求解。例已知，二次函数，(z)满足，(2)=一1，，(一1)=一 l且，(z)的最大值是8，试确定此二次函数。解法l：利用二次函数一般形式设厂(z)=∞2+如+c(口≠0) 由题意得 +c：一l c=一1 =8 所求二次函数为j，=一422+4z+7 ·84· 解法2：利用二次函数顶点式设厂(z)=n(z一棚)2+" ．‘．，(2)=，(一2) ．·．抛物线对称轴为z=王±_孚坐：告．‘．j，=，(z)=n(z一÷)2+8 厂(2)=一1．‘．口(2一—})2+8=一1 解之得4=4 ．。．，(z)=一4(z一专)2+8=一422+4z+7 解法3：利用双根式由已知：y(z)+1=O的两根为zl=2，z2=一1 故可知，(z)+1=口(z一2)(z+1) 即，(z)=口z2一∞一2n一1 二次函数有最大值，ymax=8趴丛生掣=8 解之得：n=一4或口=0(舍去) ．‘．所求函数解析式为，(z)=一4(z一÷)2+8=一422 +4z+7 小结：利用已知条件求二次函数解析式，最常用方法是待定系数法，但可根据相同的条件选用适当的形式求，(z) (1)已知三个点坐标时，宜用一般式 (2)已知抛物线的顶点或与对称轴有关或与最大最小值有关时，常用顶点坐标。 (3)若已知抛物线与z轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式，求厂(z)更方便。例I 求过A(一2，0)，B(1，6)且最大值为8的二次函数解析式解：设，(z)=口(z+研)2+8(n<0) 由图象过点A(一2，0)及B(1，6)得 l口(一2+优)2+8=0 {n(1+仇)2+8=6 解之得{二：苫或{二!二亏．·．，(z)=一222+8或，(z)=一吾z2+萼z+等例Ⅱ 已知函数，(z)同时满足以下三个条件。(1)，(1 +z)的最大值为15；(2)，(1+卫)=，(1一z)对任意z∈R 成立；(3)，(。)=0的两根立方和为17 求，(z) 解：从此题中条件(1)，(z)在其它定义域内的最大值也就是它的顶点纵坐标，从条件(2)看，(1+z)=，(1～z)说明此函数关于z=1对称，对于二次函数，它关于z=l对称则顶点必在z=l上所以顶点坐标为(1，15) 于是可设此二次函数为厂(z)=口(z一1)2+15根据条件(3) (下转第88页) 4— 4 7 = || || 口6 C，●●●J‘●●【得之解孙+蔓卅“苇似㈨、性、万方数据安顺师范高等专科学校学报2005年第3期———————————————————————————————————————————————————————一 DiscussingTeachingmethodinthecourseofDataStructure LiZhen—hUa (ThecomputerdepartmentofAnshunoccupatigntechnologycollege，Anshun561000，Guizhou，China) Abstract：DataStructureisabasicspecializedcourseofcomputersandSomeotherrelatedcourses·Varlous kindsofDataStructu譬esareusedinmanyofcomputersystemSoftwaresandapplicationsoftwares·Ifyouwants toworkoncomputersefficiently，youmust1eamtoknowSOmeknowledgeaboutDataStructure·卜IoweVer，this subiectismuchmoretheoreticalandpractical，Andit’ssubstanceisabstract．Soit’s，Verydifficultforstudentsto master．Asateacher，teachingmethodandmusteringmystudentstolearnitwell．Ithinkit’sVeryimportantand necesSarytoteachDataStructurebetterandmoreelastically． KevwDrd：DataStructures；Abstract；Algorithm；Teachingmethod；Practice (责任编辑王德红) (上接第84页) z13+z23=(zl+z2)(z12一zlz2+z22)=(z1+ z：)[(z。+z：)z一3z。z：]又．’嘲+z：=警=2 Zl’Z2= 日+15 口．。 15 ol十一 n ．‘㈣，％，划2z一3一警)刊1一萼)=17 ．‘．口二一6 ．·．，(z)=一6(z一1)2+15 ApplicationofMaximum*MinimumValueofQuadraticfunction YanqYUnV Abstract：Maximum*Minimumvalueofquadraticfunctionisanimportantcheckpointmthemath哪atlcs ofseniorMiddleSch001．Inteachingmaterial$，thediscussionabouttheValueismorecomplete，butthereflectlon ofthevalue’sapplicationisweaker，theeSsayemphasizeSondiscussingtheApplicationofMaximum*Minimum valueofquadraticfounction，particularly，nowtoapplythevalueinthefieldsofrelevantcourses andpractlce· Kevwords：Quadraticfunction；Maximvm*Minimumval7Je；Application；Reformofcurricula ·88· (责任编辑王德红) 万方数据二次函数最值的应用作者：杨芸， Yang Yun 作者单位：安顺市职业技术高级中学,贵州,安顺,561000 刊名：安顺师范高等专科学校学报英文刊名： JOURNAL OF ANSHUN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)： 2005,7(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_assfgdzkxxxb200503031.aspx

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