单旋翼涵道风扇式无人直升机的钟摆现象与控制

兵工自动化 自动测量与控制 O. I. Automation 2007年第 26卷第 5期 Automatic Measurement and Control 2007, Vol. 26, No. 5 ·62· 文章编号：1006-1576（2007）05-0062-02 单旋翼涵道风扇式无人直升机的钟摆现象与控制 蒋金哲 （南京航空航天大学 自动化学院，江苏 南京 210016） 摘要：单旋翼涵道风扇式无人直升机，采用轴对称的基本布局。其机体绕旋翼桨毂的钟摆现象为对称变悬点二 维摆，且具有非线性、强耦合、高阶次、不稳定等特性。对于此钟摆现象，采用拉格朗日方程建立其多自由度模型、 并在平衡态进行解耦和线性化。然后，设计线性二次最优控制器，使机体的摆动能在任何干扰下都稳定在平衡态。 关键词：单旋翼涵道风扇式无人直升机；变悬点二维摆；拉格朗日方程；线性二次最优控 中图分类号：TP273.1 文献标识码：A Phenomenon and Control of Pendulum in Single Rotor Helicopter with Ducted Fan JIANG Jin-zhe (College of Automation & Engineering, Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, Nanjing 210016, China) Abstract: The single rotor autonomous helicopter with ducted fan adopts the axial symmetrical layout. Thus, the phenomenon of this autonomous helicopter whose fuselage circles the rotor hub to swing, is one kind of symmetrical two-dimensional pendulum with variable suspension point, and characterized as a non-linear, strong-coupling, high order, unstable system. Establish the several degrees-of-freedom model of this pendulum by using the Lagrange equations, and the model is linearized at the balance state. Then, linear quadratic optimal regulator (LQR) is designed for this model to make balancing and positioning control goals realized under any disturbance. Keywords: Single rotor autonomous helicopter with ducted fan; Two-dimensional pendulum with variable suspension point; Lagrange equations; Linear quadratic optimal regulator 0 引言 单旋翼涵道风扇式无人直升机采用轴对称基本 布局形式。由于悬点随旋翼可在平面内自由移动， 机体摆动出现非线性、强耦合性和阶次高等特性。 故采用拉格朗日法建立 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 模型，并在平衡点附近 得 2 个正交方向上解耦的线性模型，再分析其稳定 性、能控性和能观性，设计线性二次最优控制器。 1 钟摆模型的建立 风扇涵道式无人直升机的钟摆可抽象成可平面 移动的滑块和匀质摆杆组成的系统。如图 1，OXYZ 是全局地面坐标系，Ax1y1z1 以 A 为原点、平行于 OXYZ 的局部坐标系，Ax2y2z2以 A 为原点，z2轴 沿机体中心轴方向的机体坐标系。如图 2，将二维 摆动分解为 X、Y方向上的 2次摆动，得转换矩阵： ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ θθθθθ− θ−θ θθθθθ yxyxy xx yxyxy coscoscossinsin sincos0 sincossinsincos R＝ (1) 悬点A在全局地面坐标系OXYZ中的位置矢量 为 rA＝[x,y,0]T，质心 C 在机体坐标系 Ax2y2z2中的 位置矢量为 r'c＝[0,0,1]T，可得出质心在全局地面坐 标系的位置矢量为： rc＝rA＋R·r'c (2) z1 y1 M y2 x1O X x2 A z2 Y Z C Z1 y1 x1 x2 z2 z'2 y2 θy θx θx θy A θx 图 1 钟摆模型坐标系 图 2 钟摆二维摆动角度分解 系统的拉格朗日函数为： L＝TM＋Tm1＋Tm2-Vm (3) 其中：TM为悬点即旋翼动能；Tm1为机体平动 动能；Tm2为机体转动动能；Vm为机体势能。 利用矢量法式 (3) 可转化为： yx 2 y 2 y 22 x 2 C T CA T A coscosmglml 6 1 cosml 6 1rrm 2 1rrM 2 1E θθ+θ +θθ++= � ����� (4) 利用拉格朗日方程： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =θ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ θ∂ ∂ =θ∂ ∂−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ θ∂ ∂ 0LL dt d 0LL dt d yy xx � � (5) 整理得出钟摆数学模型的线性方程组： 收稿日期：2007-04-01；修回日期：2007-04-16 作者简介：蒋金哲（1982-），男，浙江人，2004 年毕业于南京航空航天大学，现南京航空航天大学在读硕士，从事无人直升机的飞行控制 和地面测控技术研究。 兵工自动化 自动测量与控制 O. I. Automation 2007年第 26卷第 5期 Automatic Measurement and Control 2007, Vol. 26, No. 5 ·63· ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +θθθ −θθθ −θθθθ+θθ−=θ +θθθ −θθθ−θθθθ +θ+θθ=θ l)3/(cos)sincosg3 cossinl cossinl6coscosx3( l)3/(cos)cossing3 cossinl3sincosl2 cosy3sinsinx3( x 2 yx yy 2 x xxyxyxy y 2 xx xxyyxyx xyxx � ������ ��� ������ (6) 钟摆的结构参数如表 1。由上述模型的数学表 达式可看出，控制量 ( y,x ���� ) 和 (θx,θy) 间为非线性， 且系统在 X、Y方向上存在强耦合。 表 1 钟摆的结构参数 符号 参数物理描述 参数量值 M 旋翼的总质量 63kg m 桨毂悬点以下的机体总质量 257kg l 桨毂悬点到机体质心的距离 0.86m g 重力加速度 9.8m2/s θx,θy 摆动的机体绕 X,Y 轴的摆角 随时间变化 φx, φy 机体的俯仰和滚转角度 随时间变化 y,x ���� 悬点沿 X,Y 轴移动的加速度 随时间变化 2 模型的线性化 钟摆模型是四自由度模型，取其状态变量为 T yyxxe ],y,,y,,x,,x[x ϕϕϕϕ= ���� ，在平衡位置时初值为 0，系统驱动力为加速度输入，即 ]y,x[u ����= 。其中： y87y65 x43x21 x,yx,x,yx x,xx,x,xx ϕ==ϕ== ϕ==ϕ== �� �� (7) 为得到解耦模型，将绕坐标轴的摆角转换为俯 仰、滚转角，即 xyyx , θ−=ϕθ=ϕ ，进而利用 Taylor 级数将其线性化，得： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ Y X Y X Y X Y X Y X u u B0 0B X X A0 0A X X � � (8) 其中： ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 00l4 g30 0000 1000 0100 A 00l4 g30 0000 1000 0100 A YX ， [ ] [ ]TXTX l43100Bl43100B −=−= 。 3 模型的性能分析及控制器的设计 先求解系统特征根： i9235.2,0 4,32.1 ±=λ=λ 于是系统不稳定（临界稳定），再由可控和可观 判据得出系统是能控、能观测的。可求解出原系统 的状态响应和阶跃响应特性，如图 3、图 4。 0.06 0.04 0.02 0 －0.02 －0.04 －0.06 0 2 4 6 8 10 时间 响 应 悬点位置 X向摆角 悬点速度 X向摆角的速率 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 图 3 钟摆模型 X方向的状态响应曲线 0 2 4 6 8 10 时间 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 ** * * * * * * * * * * 悬点位置 X向摆角 悬点速度 X向摆角的速率 * 响 应 图 4 钟摆模型 Y方向的阶跃响应曲线 在直升机中，驱动力由旋翼提供，其初始加速 度输入来源于旋翼引起的悬点运动。因此，设系统 悬点参考输入 RE，设计线性二次最优控制系统来减 弱钟摆，如图 5，使其动态性能等达到最佳。因在 X和 Y方向正交且相似，故以 X为例，控制量为： u＝-KX＝-(k1x1＋k2x2＋k3x3＋k4x4) (9) X=AX+Bu + - - +K1 Y=CX U x1 x2 RE K2 K4 x2 x3 x4 x1 K3 图 5 钟摆的线性二次最优控制框图 最优控制器即是设计反馈矩阵，使其性能指标 最小，对于钟摆模型就是使机体保持平衡态及机体 对于悬点信号的良好跟踪。 最优控制效果的好坏决定于 Q阵选取，Q阵中 的对角线元素代表各状态变量在目标函数中的比 重。经试验得上升时间和调节时间最佳 K阵为： K＝[8.9443, -17.3172, 7.0300, 0.1153] 先给机体一个扰动，设其初始摆角 θx(0)＝ 0.1rad，响应曲线如图 6，调节时间在 2s 内，保证 系统稳定性；其次，模仿悬点移动，如图 7，给参 考输入一个阶跃， （下转第 72 页） 兵工自动化 自动测量与控制 O. I. Automation 2007年第 26卷第 5期 Automatic Measurement and Control 2007, Vol. 26, No. 5 ·72· 表 1 动态跟踪试验误差数据采集表 T(帧) 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 ∆β -1.305 -1.562 -1.718 -1.406 -1.775 -1.325 -1.396 -1.935 -1.381 -1.688 -1.931 -1.625 -1.525 ∆ε -0.452 -0.652 -0.986 -0.982 -1.032 -1.263 -1.321 -1.023 -1.105 -0.852 -0.986 -1.023 -1.250 T(帧) 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 ∆β -1.956 -2.109 -2.031 -1.850 -1.870 -1.953 -2.500 -2.663 -2.438 -1.850 -1.119 -1.986 -2.094 ∆ε -0.832 -0.672 -0.686 -0.982 -1.052 -1.283 -1.324 -1.423 -0.905 -0.852 -1.685 -1.223 -0.850 T(帧) 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 ∆β -1.718 -1.650 -1.854 -1.854 -1.975 -1.016 -1.935 -1.701 -1.234 -1.859 -1.650 -1.894 -1.854 ∆ε -0.842 -0.756 -0.936 -0.988 -0.833 -0.986 -0.963 -0.826 -0.962 -0.964 -0.906 -0.973 -0.897 T(帧) 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 ∆β -1.653 -1.381 -1.565 -1.484 -1.250 -1.375 -1.625 -1.546 -1.469 -1.906 -1.244 -1.381 ∆ε -0.853 -0.686 -0.785 -0.992 -0.934 -0.865 -0.876 -0.789 -0.873 -0.882 -0.892 -0.482 4 结论 实际射击准备过程中，引起误差的原因很多， 武器性能、操作手操作、外界影响等，所以应综合 分析误差规律，查找误差来源：① 可认识几种典 型误差所引起的动态跟踪误差的规律性，把理论和 实际结合；② 可提供一些分析数据的方法和经验， 有助于提高解决实际问题的能力。 参考文献： [1] 杨育华, 龚坚. 一种新型的武器系统试验训练设备－零 飞试验仪[J]. 火力与指挥控制, 1994, (1): 46-54. [2] 王新富. 防空兵射击学[M]. 郑州: 防空兵指挥学院, 2004. [3] 丁振良 . 误差理论与数据处理 [M]. 哈尔滨 : 哈尔滨工 业大学出版社, 2002. [4] 沈庭芝 , 方子文 . 数字图像处理及模式识别[M]. 北京 : 北京理工大学出版社, 1998. ***************************************************************************************************************** （上接第 63 页） 阶跃参考输入，在其响应过程中悬 点先向反向运动一段距离，使机体由于惯性作用而 向正向倾斜，接着悬点再向正向快速移动到接近目 标位置处开始减速，机体再次在惯性作用下由偏向 负方向状态回到平衡位置。 然后测试参考输入的跟踪性，分别给 X、Y 参 考输入加上正余弦信号，观察其相平面图，如图 8。 机体在 X，Y 平面内其响应曲线的暂态过程表现在 相平面上为从零点到圆周的一段曲线，尽管存在滞 后，但最终的圆周运动跟踪效果很好。 最后，将设计的控制律作用于钟摆的非线性全 量模型中进行实验，得到同样的控制效果。 0 1 2 3 4 时间 图 6 钟摆 x方向的零输入响应曲线 0 1 2 3 4 时间 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 反 应 图 7 钟摆 x方向的阶跃响应曲线 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 X角/rad 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 Y 角 /ra d 图 8 钟摆的相平面图 悬点位置 X向摆角 悬点速度 X向摆角的速率 * 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 反 应 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 悬点位置 X向摆角 悬点速度 X向摆角的速率 * 4 结论 采用拉格朗日方程建立钟摆的非线性、强耦合 数学模型。将非线性、强耦合数学模型在其平衡位 置附近进行线性化后，得到 X、Y 方向正交的线性 化模型，对于能控的钟摆模型设计了线性二次最优 控制器，在 Simulink 和 Vc 环境下对控制效果进行 仿真。结果表明：线性二次最优控制能使机体很快 恢复到平衡状态，减弱了钟摆的负面影响，并对悬 点的各种运动具有良好的跟踪性、稳定性。 参考文献： [1] Eltohamy K G, Kuo C Y. 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