nullnull第八章 控制系统稳定性分析控制系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点全部具有负实部，即闭环传递函数的极点全部在[s]平面左半平面。控制系统稳定性的判断方法：直接闭环传递函数求系统特征根；
劳斯稳定性判据；
Nyquist稳定性判据；
由Bode图判断系统的稳定性；
根轨迹法 。8.1 稳定性分析null一、绘制零、极点图 在MATLAB中，绘制零极点图的函数指令为pzmap( )，其调用格式为：[p, z]=pzmap (sys) ——式中sys是系统开环传递函数，此指令可以得到sys的零点和极点数据，不绘制零、极点图；零点数据保存在变量z中，极点数据保存在变量p中；
pzmap (sys) ——用于在复平面绘制零、极点图。在图中，极点用“×”表示，零点用“○”表示；极点p为行向量，零点z为列向量。nullnum=[1 2];
den=[1 3 2 0];
sys=tf(num,den);
closys=feedback(sys,1)
pzmap(closys)
[p, z]=pzmap (closys)
p=roots(closys.den{1})null二、Nyquist稳定判据若系统开环不稳定，即开环传递函数Gk (s)在右半平面上有P个极点，闭环系统稳定的充要条件是：开环系统Nyquist曲线及其镜像当ω从－∞→＋∞变化时，以逆时针方向包围(-1, j0)点P圈；
若系统开环稳定，即开环传递函数Gk (s) 极点均在左半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：开环系统Nyquist曲线及其镜像当ω从－∞→＋∞变化时，不包围(-1, j0)点。nullMATLAB中运用Nyquist稳定判据的步骤为：
(1)绘制开环系统Nyquist曲线。
(2)根据开环传递函数Gk (s)在右半平面上的极点个数P判断开环系统是否稳定。
(3)根据Nyquist曲线绕 (-1,j0)点的圈数和P来判断闭环系统是否稳定。nullnum1=[5];
den1=conv([1 1], [0.1 1]);
sys1=tf (num1, den1);
nyquist (sys1)num2=[5];
den2=conv([1 1], [0.1 -1]);
sys2=tf (num2, den2);
nyquist (sys2)三、对数频率稳定判据三、对数频率稳定判据 Bode图与Nyquist图的对应关系：
① Nyquist图上的单位圆 — Bode图幅频特性上的0dB线
② Nyquist图上的负实轴 — Bode图相频特性上的-1800线null 在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下往上穿过-1800线为正穿越；相频特性曲线由上往下穿过-1800线为负穿越；从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。nullnum1=[5];
den1=conv([1 1], [0.1 1]);
sys1=tf (num1, den1);
bode(sys1)num2=[5];
den2=conv([1 1], [0.1 -1]);
sys2=tf (num2, den2);
bode (sys2)null MATLAB用函数命令rlocus ( )来绘制根轨迹图，其调用格式为：四、绘制系统根轨迹图rlocus (sys) ——sys为闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)，此函数在当前窗口中绘制出闭环系统特征方程1+k G(s)H(s)=0的根轨迹图（k：0→∞）。
rlocus (sys, k) ——此命令可用指定的反馈增益向量k来绘制根轨迹图；
[r, k]=rlocus (sys) ——此命令只返回系统特征方程根位置的复数矩阵和相应的增益向量k，而不绘制零、极点图。nullz=[-3];
p=[0 -1 -2];
k=1;
sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)null五、计算给定一组根的系统根轨迹增益[k, poles]=rlocfind (sys) ——sys为系统开环传递函数，命令执行后，可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由k记录，与增益对应的闭环极点(即特征方程的根)由poles记录；
[k, poles]=rlocfind (sys, p) ——对于给定根计算对应的增益和闭环极点poles。nullnum=[1];
den=conv(conv([1 0],[0.5 1]),[4 1]);
sys=tf(num,den);
rlocus(sys)
[k,poles]=rlocfind(sys)六、用根轨迹法判定系统的稳定性 采用[k, poles]=rlocfind (sys)（可在根轨迹窗口中显示出十字光标，当用户选择根轨迹上的一点时，其相应的增益由k记录，与增益对应的闭环极点(即特征方程的根)由poles记录）这条指令反复进行操作，可以来判断系统的稳定性。六、用根轨迹法判定系统的稳定性nullnum=[0.25 1];
den=conv([1 0],[0.5 1]);
sys=tf(num,den);
rlocus(sys)
[k,poles]=rlocfind(sys) 程序运行后得到根轨迹图如左图所示。当参数k从0→∞变化时，闭环系统根轨迹始终在s平面左侧，因此对应的闭环系统稳定。nullnum=[1];
den=conv(conv([1 0],[1 1]),[0.5 1]);
sys=tf(num,den);
rlocus(sys)
[k,poles]=rlocfind(sys)null 对根轨迹使用[k,poles]=rlocfind(sys)进行操作，将十字光标指向根轨迹与虚轴的交点时，对应的开环增益与极点为：K=2.9957, ploes=-2.9919 -0.0040+1.4056i -0.0040-1.4056i。
当参数K从0→3变动时，根轨迹均在s平面虚轴左半部分，对应的闭环系统稳定；
K > 3时，根轨迹穿越纵坐标到达其右侧，对应的，闭环系统就进入不稳定状态。
当在根轨迹实轴阶段时（过阻尼状态），对应着系统闭环阶跃响应无超调，闭环系统稳定。当在根轨迹圆上时，系统闭环特征方程出现共轭复根（欠阻尼状态），系统闭环阶跃响应有超调量，但系统还是稳定的。
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