方型锥上第一类Siegel域

第 �� 卷 第 � 期 � ! ∀ 年 # 月 数 学 学 报 ∃ % & ∃ ∋∃ & ( ) ∋∃ & ∗% ∃ + ∗, ∗%∃ − . /0 � � ∋ 1 2 34 , , . 。 � � 夕5 方型锥上第一类 67 3 83 /域 9 许· 以 超 :中国科学院数学研究所; 记 − 为 < ” 中不包含直线的仿射齐性开凸锥:简称齐性锥 ;, 则 % ” 中点集 少:= ; > ?≅ 〔 Α ” Β∗Χ :宕; 〔Δ Ε 称为齐性锥 − 上第一类 67 38 3/ 域 , 它仿射齐性 0 熟知齐性锥 − 上第一类 67 38 3/ 域在解析 等价下的分类即齐性锥在仿射等价下的分类 0 这方面已有结果为 −7 ΦΓ 32梦, 关于仿射齐 性自共扼锥的分类 0 本文考虑方型锥 , 即这种齐性锥 , 它仿射等价于适合条件 , , , 一 , 万 > · · · 一 Φ , 一 , , , > 马 笋 Η , Ι > � , � , ⋯ , , :ϑ 0 � ; 的 , 次 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 齐性锥:定义见Κ � �; 0 由 Λ# 〕可知方型锥及其上第一类 67 38 3/ 域都不可分解 , 且 几 : 几 钱 ⋯ 成 咖 为方型锥的仿射不变量 , 所以它可记作 Δ :几 , 1 # , ⋯ , 为;0 且方 型锥的仿射分类问题变为求适合条件 :∃杏乒;’∃ 梦十 :∃ , ;’∃杏乒> �占, ‘∗ , :ϑ 0 � ; , 分群产一 艺 :32 ∃ 络乙;、泞 :ϑ0 # ; 的 叭 阶实方阵 群少, 川乡。 , 1 , , � 成 7 Μ 7Μ 反镇 , 在等价关系 万 :二。 , . 9 , 。Ν ;. Ν9 , 下乡。 , 9 :ϑ 0 Ο ; 下之标准形 , 其中 。 ,沂 。:价 ;0 再按照 〔� 〕, 对每个标准形可写出一个标准锥 0 本文给出了方型锥上第一类 67 38 3/ 域的分类 :定理 � 0 �。;, 亦即给出了方型锥在仿射 等价下的分类 :定理 � 0 ;, 这是 刘 的内容 0 在 妇 我们定出了所有互不仿射等价的标准 锥 , 它们为 − Ν , = 0〔1 Π ; , − :, � , , #; , :ϑ 0 ∀ ; 以及 , ; Ο , 共有三大类 碑一, 一 # 川Θ3 、= :� , � , ⋯ , � , 咖一 Ρ , , 、 ; , � 《 1卜 Ν 《 。, , :ϑ 0 Σ ; 二言一 / 二 一 刀 > 、 产 8 >=:� , ⋯ , � , � , ⋯ , � , Ο , ⋯ , Ο , , 、 ; , � 成 互镇 , 一 # , ϑ 镇 刀 , 杏, 杏Τ 刃 十 雪一 , 一 � , 二合一 � 二− :� , ⋯ Υ 一 仓一一、# , Ο , ⋯ , Ο , 〔2、; , � 毛 8 , 雪, 蜜Τ 雪> , 一 � 0 尸, 一 #气 :ϑ 0 ! ; :ϑ 0 5 ; 全系不变量为 几 , 仍 , ‘⋯ , 嘶 , 以及在情形 Δ :几 , 几;及 Δ :� , ⋯ , � , 殉一 , , 勺 ;。 当 为一、 9 � ! Σ 年 ! 月 � ! 日收到 0 � 数 学 学 报 �� 卷 为 Ο 之倍数时还有一个不变量 ς , 它是正整数 , 定义见定理 � 0 0 在 亏� , 我们算出了标准 方型锥上第一类 67 38 3/ 域的最大解析自同胚群:即自同构群 ; 0 在 冬# , 和 −7 ΦΓ 32 梦, 的方法 不同 , 不用单 Β. 2Ω 1Φ 代数的分类理论 , 直接给出了仿射齐性自共扼锥的仿射分类 0 不可 分解的仿射齐性自共扼锥的标准锥为 = Ξ , − :, �; , − :5 , 5 ; , − :� , ⋯ , � ; , − :� , ⋯ , � ; , − :Ο , ⋯ , Ο ; , 所以它们都是方型锥 0 所以本文包含了第一类齐性 67 38 3/ 域的已知分类 结果 0 本文所用符号和 Κ � Ψ , 〔#Ψ 相同 , 所用关于矩阵论之结果参考 〔Ο Ψ 0 ∀ � 0 方型锥上第一类齐性 +7 3 8 3/ 域的分类 引理 Λ / 若 Φ 个 Χ 阶复方阵组 Ζ / , ⋯ , Ζ , 适合 口ΝΖ9 Τ 口又8 , 一 �。, 9 ∗ , 7 , 左一 � , � , ⋯ , , 0 : � 0 � ; 则存在正整数 ∋ , 使 。 [ � Κ宁 Ψ对 :� 0 � ; 这里方括号示整数部分 0 ,己∗ , 为 切, 一 � 一Ι阴 阶单位方阵 :, ∴ � , ⋯ , ]竺二��、, 则Λ Π 」Υ ?Ζ/ , ⋯ Ζ , Ε在酉相抵下的标准形为 ?左Ρ , ⋯ , 岌, Ε , 其中岌�7Τ Ρ 一凡, Τ , , 岌� , 一斌二 凡 , , < 一 > ∗ 、、、、0000000声了Υ、、、0户Υ∗ϑ ∗ ϑ一Υ]、 Υ]⊥ ≅百才了000000、、、 < Π7Τ / 一 :� 0 # ; ϑ � 护 一 � ∀ ϑ ; 、、、几00000口百ΒΥ、、��了Η&‘ 一 毛ϑ≅2、、 0 当 ” 偶还有 :∗:ς ; ϑ一∗ :_ ; ⎯ Τ _ > ∋ 0 :� 0 Ο ; ϑ 一∗:_ ;;⎯∗:ϑΥα、、 ≅口了了000�0、、、 于是当 , 奇 , 标准形唯一 当 ” 偶 , 不唯一 全系不变量为非负整数 ⎯0 ∗ :2 ; 证 无妨取 Ζ、 > � 0 于是 必 , ⋯Υ Η ∃ 八 ⊥一∃ Ρ ϑ Υ ⋯ , Φ 0 所以当 。 ; # , 显然当 Φ 偶 , , 。。 斜 ( 3 2Χ 7. 0 无妨取 ΖΠ 一 丫二: ϑ一 ∗:, ;; 妻 # 0 万Ρ才 , Τ 万扭, 一 �。, , 了, 左,万又Τ 才 ,万Ρ 一 � Ρ , 9了, Ι, 反> # , 有 犷 > , , Χ 为偶数 , ∃7 为 , , 阶方阵 0 由归纳法便求出了标准形 0 许以超 Ν 方型锥上第一类 67 383 /域 、0,0‘,Β、��少000,:< 一 “∗< �⋯ <一 Ω‘·8 ?:∗‘ς ; ϑ一 ∗ :_ ; ∗ :户; ϑ一∗:_ ; :� 0 ∀ ;今标准形 ?岌, , ⋯ , 友。一Ρ , 反, Ε和 ?岌� , ⋯ , 岌。一 /, 岌支Ε 酉相抵当且仅当按 :� 0 ∀ ; 定义之 < , < 衣 酉相似 0 这证明了当 , 偶 , ς 为全系不变量 0 证完 0 定理 � 0� 若 Χ 阶复方阵组 ?Ζ/ , ⋯ , Ζ , Ε 适合 :� 0 � ; , 则在等价关系 。, 9 习 :3 , , 3又;。。9。 , � 成 6: , 下的标准形为 :� 0 � ; , :� # ;, :� 0 Ο ;, 其中 Δ , = 〔 Δ :, ; , ∃ 〔 . :, ; 0 当 , 奇 , 标准形唯一 , 当 。 偶 , 则 ς ; _ , 且全系不变量为正整数 ⎯0 证 由引 � 0 � , 只需讨论 Φ 为偶数的情形 0 设两组标准形 ?反Ρ , ⋯ , 岌, 一� , 岌。 Ε , ?岌� , ⋯ , 反, [ � , 岌支Ε分别对应 :户, 。; , :户9 , 。, 9 ; 0 今 < 一 :一丫石 ;号岌,尾⋯ 岌, [ Ρ虱 , < 9 一 :一了巧;号岌Ρ虱⋯岌。 [浅众;’0 如果它们等价 , 显然 < 9 > :Ω3 Ξ ∃ ;β < 口 0 由 : � 0 ∀ ; , ς > 广 或 ς > 广 , 相应 Ω3 Ξ ∃ > � 或 一 � 0 这就证明了定理 0 给定 , 一 � 个 Χ Ρ 阶方阵构成之标准形岌Ν , ⋯ , 岌。一 � 0 当 。 偶 , 岌, 一� 对应 :ς , 妇 0 再给 定 , 一 � 个 。广阶方阵构成之标准形 粼 , ⋯ , 反方一� 0 当 , 偶 , 岌言一Ν 对应 :广 , _ 9 ; 0 显然有 引理 Λ # 。Ρ χ 。护阶复矩阵 δ 若适合条件 、、�、、/ 、,石0!、/产�0Β 0上曰0主Τ::.爪岌�, δ > 刀岌会, 岌� ,Τ /刀 Τ 刀岌鑫Τ Ρ > . , , Ν , ⋯ , ?卫二二卫�0 将 。之行按 左, 一� , 列按 岌Ν 一� 之方式分块 , 贝。Λ Π Β δ > δ ∗ , ”走一 :6ϑΞ 一劲, 爪 一嵘 � 一言脚; 天一 � , � , ⋯ , 其中最后一个当 , Υ ε , 、 , > Ο友十 # 为 δ 9 Τ Ν Ρ 当 Φ > Ο友Τ Ο 为 δ 9 Τ Ρ > : ‘ 一⊥ ϑ 从十 Ν 为 ς ε ς 9 矩阵 Ρ 当 , > Ο反十 ∀ 为 +针 � Ρ 当 。 > 为 ⎯ χ _ 七矩阵 0 Ο反Τ Σ 为 6 9 Τ Ρ 一 :, , ϑ 子“千 ]、, χ 9 Τ Ρ⊥ ∗ 左Τ ≅ φ Υ 引理 � 0Ο ϑ � 阶复斜对称方阵 Ζ , , ⋯ , Ζ , 一 � 为 δ岌� , ⋯ , δ反, [ � , 其中 δ 由:� 0 ! ;定义 , 且 当 , 若适合 :� 0 � ; , 则它在酉相合下之标准形 > 5反Τ � , ∀ � 9 > ∗ Ρ 当 Φ > 5友, 5友一 � , 5反一 � , 5交一 # , δ Π9 一 ∗ , 这时若 , 一 5友一 � , 有 ⎯ > 叮Ρ 当 , > 5交Τ � , 又9 > :Η ∗∗ Η Υ/、、3602几00Λ810‘0二,Ζ⎯ > _ Ρ当 , > 5反Τ # , δ Π , Τ Ν ∴ ;‘“’], 其中 , , “偶 · : 一 ∗⊥〔, 夕Ρ 当 。 > 5友Τ Ο , δ Π9 Τ , > Η 一 ≅、‘”� ϑ Υ :ϑ 一 ∗ 证 由引 Λ / , 存在酉方阵 Δ , 尸虱乌 Δ > 岌, , � 攫 Ι成 , 一 � 0 作 酉 相合 口, 。 = ‘ Ζ , = , 故无妨设 Ζ, > Ζ ,反, 0 注意 口Ν Τ 8 , 一 。, 友三, 一 友�, , 反�, Τ Ν > 一跳, Τ Ρ , 所以 反9 Ν Ζ , > �凤 , 友和Ζ Ν 十 Ζ /左、Τ Ρ > 。0 取酉方阵 β 使石瓦φ’ 一凤, � 蕊 7成 , 一 � 0 于是 Ο 数 学 学 报 �� 卷 Δ Ζ , Δ ’ > :Δ Ζ , β ’;:厅岌, Δ ’; 0 注意 口, 斜对称 0 由引 � 0 # , 作 口Ρ 、 Δ Ζ Ρ Δ ’便证明了引理 0 引理 Λ + 若 Χ 阶实方阵组 ?∃ , , ⋯ , ∃ , Ε适合 买∃ 9 十 ∃又∃ , > �今Β , Ι, 天> 则式 :/ 0 � ;成立 0 且它在实正交相抵下之标准形为 :� 0 5 ; 尸� 一 ‘· 凡 一 : 一 ∗ϑ [ Υ δς , ‘Τ ‘一 戈< Π6一� ϑϑ 一 δ < Π矛一 , � , ⋯ , ;, 尸’“’ ∴ :δ < Π户 δ < 万ϑ ;, :‘· ,、/Ι‘立≅,000,&∃α其中 显然无妨设 ∃ / 一 , , ∃ Π 一 : 一几ϑ ;0 于是将 ∃ , 按 Χ/ > 竺行列分块 ,� 有ε∗ γ , γ 6 一 ε 7;, # 成 ’《 ”’��、一一∃ 记 口7一� > ∃ 女 , 一 凡 斗 斌石 η , , 它们复斜对称 , 适合 :/ 0 �; 0 今 。� , 仇 � , Ρ 。。� 一 。 Ν 一 :一Ζ , 刀 。 口、 [ Υ— [[ 卜⎯ 一 − 一 ∗ Ζ 一 φ 〔 φ尸 Υ Χ ; 若有 . Ρ∃ 9 ϑ � 0 而 ∃ 7 9 . 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Ρ∃ 9 . Ν · 考 虑 从 ∃ Ρ⋯ ∃ 一∗∃ 几, 川∃ Π⋯ ∃ 二一 Ν ∃ 。 立即有 ,Η 、、、Β了<ϑΥ]、Η5一一、沙: ”⊥一 < 9 > Ω 3Ξ ∃ > 士 � 0 < 9 ϑ < 一 < Η 、 , Υ ϑ】Η Ν > 5 ϑ � �Υ ⊥一 < 其中 。 故将 。 Ν , ϑ � 按 。 , 行列分块 , 有 。 ] 一 :∗ 7 。 � 一 :∗ 7 丁丫尸�Υ ⊥∗ �一 & ⎯∴一 & / Η ⊥[ 山 �, 又� · � Ο ;+ < , ΥΥ了0、、、、0声Υ、/厂9.<Σ几ϑΥ]⊥/Υ&尸Υ0�、、/Υ.< 而 尸一了不& 一 β , 尸, Τ 了写 了, 一 Δ 都是 。Ν 阶酉方阵 0 引进 Χ 阶酉方阵 、、]Υ 9 .< Σ � Υ∗ Ν 一 斌不 几⊥Υφ , > 一> 了0 > / [ Υ— [ ��− Π ⊥∗Ν 丫 一 � � , Υ ⊥ ∗ / 、 � Υ∗ Ν 一了石 几、ΥΕ, − / > 一, 一 � �— ��Υ − Π ⊥∗ Ν − 一 � 几Υ ⊥ ∗ � 则关系 , 育一 艺 :。, , 。又;. Ρ、 9 ϑ � 等价于 “ 一 艺 :3 , 过 3又;百‘。交。 0 走ι � 七 ι � 和 :� 0 �# ; 等价当且仅当 < 和 < 9 之符号差之绝对值相等 0 此即 ⎯ > ⎯》 _ , 广 ; 广 , 这证明了 ⎯ > 广 0 定理证完 0 由定理 � 0 � , :� 0 � � ; ⎯9 或 ⎯ > 尹 0 由 引理 � 0! , 个 Χ 阶方阵组 :� 0 �ϑ; 和 Χ 个 护 阶方阵组 :/ 0 � �; 若有关系 艺 :3 9。, 3 Ρ ;片一 艺 :3 9ς , 3 Ρ;ς聋:ς广;’ , / 簇 / 镇 , , � 镇 , 镇 Χ , :� 0 �∀ ; 则只出现下面三种情形 Ν , > � Ρ 刀 一 ,、 一 � Ρ , > � , # , Ο , 阴 > Ο, 证 对 , > � 及 , ; � , Ο ; Χ 由直接计算可证明引理之结论 0 _ 9 > 对 ϑ 。 刀 ; � , Χ ϕ Ο 由 :� 0 � ;, Χ 为偶数 , 于是 卿 一 � ϕ 竺 Τ � ϕ #� · 取 ‘一 ‘一 � , 有 冬] 一鸽Τ �:‘;’· 所 以当誉十 ‘一 ” Τ ‘ 导出矛盾 0 证完 0 记 ] 阶方阵组:设 则 < 会一 Ν 一 一 Β咤 , 当 竺 Τ � 一 �7 十 � , 则 < 会> < 弃Τ� 0 这些都 � ] 为 斗之倍数 ;Ν 一几 ϑ ϑ ∗ � 一几 ϑ;ΦΦ∗Φ‘了了00000,、、一一&、、、/20]//Ν Ρ, 〕一 , , 了Ρ , ; 一?∗ � 一几Η .几ϑϑϑ几几ϑ Η Η ϑ Η ϑ � � 一几 Η Η ϑ Η ϑ ϑ 一 � � � � ϑ 一几 ϑ ; 又� 0 � Σ ;了‘‘了了00飞、、一一行Ο& 于是取实正交方阵 ?∗ ��一,自‘�一尸一一 ! ∀一几 !∀ !一 # ∃ Σ 数 学 学 报 �� 卷 对 Χ > Ο , 式 :� 0 � �; 给出的对 > & ‘& , & 0 所以这时在实正交相似下可改取标准形:� 0 � �; 为 :� 0 �Σ ; , 这里 ] 为 , 0 同样 , 对 。 > # , Ο , 标准形 : � 0 �ϑ ; 可改取作 :� 0 �Σ ; , 这里 ] 为 、0 引理 Λ + 适合 :� 0 ∀; 的 , 阶实方阵组 ?∃ / , ⋯ , ∃ 。Ε 在定理 � 0 Σ 的等价关系下的标 准形只有下面四组 Ν :7; 。 > � , ς Ν > � Ν 、、0声Υ,上ϑ一%”&土∋ ( )∃ , 一 ! , ( # 一 ∋ ∃ ∋ &&&∃ , ∗ + , , −‘, 一 了−‘, & , ! , . , + ∋ )/ ∃ 。 ∗ 0 , 1� ∗ ‘2, 一 自∃ 已 ∃∀&万&一3了4几、、 ∋ ∋一 &∀ 5一 & ∃ 1. ∋一 &∀ 一 & ∃ 已 67,& 一 3�、 ∃ 期 许以超 Ν 方型锥上第一类 67 38 日 域 凡 、、0了Υ��ϑ一ϑΒ/Υ/、ϑ ⊥、ΒΠ,�Φφ一ΦΒ/‘/、 、、吸、、彼00‘000000,了尹Υ≅、/了Φφ,�:一 �ϑ 、、、,产ΥΦ曰�� 一 ,上ΦΥ]、 乃 :一 � ϑϑ � ; ϑ 一 � ;,上八φΥ了0龟、、 0Υ了Β户,/3333//6300、/、、、 :ϑ �� ϑ ; 凡 一 �; 这时有 尸,成 > 弓, 且 艺耳:3公3 , Τ 。公3 。 ;已 > �占。 , ∗ , :� 0 �夕; 又对 , > � , � , Ο , 有 证 由式 :� 0 �; , , ς ,尸决一 冗 :3 ,凡3又;, , , > Χ 0 故 , > � , � , Ο , 50 7, 天> � , � , 所以由定理 � 户, 一 艺 成37 尸, , 则 万弓:。二。 , 十 。扮“ ;弓 一 民户, Τ 户忿卢“ 0 :� 0 � ∀ ; 0 Σ , 便定出了标准形 0 记 由直接计算可知 它 等于 之二 � �。。 。 , 0 最后 , 在 , 一 Ρ , � , Ο 显然 万 :3 9⎯7 。Ρ ;尸9 一 叉 :亡9⎯7 3 Ρ ;尸沪Ρ 0 由 ⎯7 。Ρ 一 。Ν 便证明 及ι � 左ι � 了 :� 0 � ∀; 0 证完 0 定理 � 0 , 次方型锥在仿射等价下之标准方型锥为 Ν :一 ; , > � , − / > ? , , 〔 尺】2 Ν 二ϕ . 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