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第 9 章 唯一分解整环 在初等数论中，我们已经知道整数的唯一素分解的特性．实际上整数的唯一素分解实际上 是整数环的一个特性．现在我们考虑的问题是，是否存在比整数环更抽象的一类环，也存在类 似于整数环的素分解的特性？回答是肯定的，这类环也是一类整环，我们称之为单一分解整 环．本章的主要目的就是要讨论整环中与分解有关的一些基本概念及一个整环为单一分解整环 的充要条件．另外，我们还将介绍几种具体唯一分解整环的实例：主理想整环、欧氏环及唯一 分解整环上的多项式环． §1 分解的基本概念 我们知道在整数环中，与唯一分解密切相关的本概念如整除、素数（素元或既约元）唯一 分解的概念等．我们将这些概念可以推广到一般的整环中． 首先给出整除的概念． 定义 1 给定整环 R， ，如果存在Rba ∈, Rc∈ ，满足 bca = 则称 被 整除，或 整除 ，记为 ．这时称 是 的因子， 为b的倍元．否则，b不 能整除 ，记为 ． a b b a ab | b a a a ab |/ 下面我们将讨论两个元素互相整除的充要条件． 定理 1 给定整环 R， ，则 且 的充要条件是 与b仅相差一个可逆元， 即存在一个可逆元 ，使 Rba ∈, ab | ba | a Rc∈ bca = ． 证明 必要性：若 相互整除，由 知存在ba, ab | Rc∈ 使 bca = ； 由 知存在 使 ba | Rc ∈′ cab ′= ． 所以 cacbca ′== ． 由整环的消去律得 ．得证． 1=′cc 充分性：若存在可逆元c使 １８０ bca = ， 则 1−= acb ． 从而 ，b相互整除．得证． a 在整数环中，我们知道如果两个整数相互整除，则这两个数仅相差 1± ． 恰为整数环 的所有逆元．这就提示我们，对于整环的整除而言，如果两个因子仅相差一个逆元，我们认为 这两个因子是相同的．在这种意义下，整环的素分解才可能具有唯一性．为了进一步定义素元、 既约元的概念，首先定义与逆元有关的几个概念． 1± 定义 2 如果ε 是整环R的一个可逆元，则称ε 是整环R的一个单位． R中所有单位组成R的子集U 构成一个R的乘法子群． 定义 3 给定整环 R，对 ，如果存在一个单位Rba ∈, ε 使 εab = ．则称 与b相伴，b为a a的相伴元, 记为 ～b． a 例 1 在高斯整数环中，即一切形如 bia + ( 是任意整数)的复数（叫做高斯整数）作 成的整环中，有逆元的元的模等于 1，故高斯整数环的单位为 ba, )0,1(1 = ， )0,1(1 −=− ， 和 ． )1,0(=i )1,0( −=− i 显然，整环中两个元素相伴即意味着相互整除，并且两个元素互为相伴元．在整数环中， 的所有相伴元既为 ． a a± 定义 4 给定整环 R，对 ，若 ，且 不为Rba ∈, ab | b R的单位或者 的相伴元，则称 为 的真因子．否则， 为 的平凡因子． a b a b a 显然，对任意的 ， 的所有的平凡因子即为Ra∈ a R的单位与 a的相伴元． 定理 2 整环中一个不等于零的元 a有真因子的充分而且必要条件是存在b和 都不是单 位满足 c bca = ． 证明 若 有真因子b，那么 a bca = ， 由真因子的定义这里的b不是单位， 也不是单位．不然的话 c 1−= acb ， b是 的相伴元，与b是 的真因子矛盾．充分性显然．得证． a a 推论 假定 ，并且 有真因子 如果 0≠a a ,b .bca = 那么c也是 的真因子． a 如同整数环一样，有了真因子与平凡因子的概念，就可以给出既约元与素元的概念． １８１ 定义 5 给定整环R， ，且 ，必有 或 ，则 为Rp∈ abp | ap | bp | p R的一个素元． 易证，若 p 为素元， p⋅ε 也是一个素元，其中ε 为单位． 定义 6 给定整环R， ，如果 Rp∈ abp = ， 那么 或 至少有一个为单位，则 为a b p R的一个既约元． 显然，在整数环中，既约元即为素元，所以我们在数论中并未区分两个概念的区别．在一 般整环中，既约元与素元未必是两个等价的概念．二者的关系通过以下定理与例子便可知晓． 定理 3 在整环 R中，每个素元都是既约元． 证明 设 是p R的素元，且 abp = ， 则 ，由素元的定义知， 或 ．不妨设 ，但 abp | ap | bp | ap | paabp |⇒= ， 即 与a p 相伴，从而b是单位．同样可知 a是单位，即由 abp = 可知 Ua∈ 或 ，依定 义， Ub∈ p 是既约元． 反过来，既约元不一定是素元．我们看下列例子： 例 2 设 [ ]5−= ZR 即一切形如 5−+ ba 的所有复数关于数的 ×+, 作成的环，这是一 个有单位元1的整环．R的一切单位满足以下性质． 取 ，设 Urr ∈≠ ,0 ,5−+= bar 于是存在 ,Us∈ ,1,5 =−+= rsyxs 即 )5)(5( −+−+= yxbars ,15)()5( =−++−= aybxbyax １８２ ⎩⎨ ⎧ =+ =− .0 ,15 aybx byax 因 ，故 0≠r ,05 22 ≠+ ba yx, 满足下面等式 , 55 0 51 22 ba a ab ba a b x +=− − = . 55 0 1 22 ba b ab ba b a y + −=−= 但 yx, 是整数，故有 ，从而 ，即0=b 1±=a R中的单位只有 1± ， { }1,1−=U ． 下面我们证明3是R的一个既约元，但不是R的素元． 设 )5)(5(3 −+−+= dcba ， 希望证明， ,15 ±=−+ ba 或 15 ±=−+ dc ．用上面同样 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，有 2222 5 3, 5 3 ba bd ba ac + −=+= ． dc, 是整数 ,3,0 ±==⇒ ab 或 但由3的分解式可知若,1±=a 1±≠a ，则 5−+ ba 与 相 伴， 3 5−+ dc 是单位．从而3是既约元． 3不是素元，因 )52)(52(|3 −−−+ ， 下证 3 |/ 52 −+ ，3 |/ 52 −− ． 若 )5(352 −+=−+ yx ， 则 应有整数解13,23 == yx ,, yx 这是不可能的．同样可得3 |/ 52 −− ． 有了因子的概念，我们可以定义公因子、最大公因子的概念． 定义 8 设R为整环，对 ，存在Rba ∈, Rd ∈ 满足 １８３ （1） ； bdad |,| （2）对任意 ，若 则， ． Sc∈ bcac |,| dc | 则 是 的一个最大公约元，记为 ． d ba, ),( bad = 由定义可知若 是 的一个最大公约元，对任意d ba, ,U∈ε 则 εd 也是 的最大公约元． ba, 'd 是 的一个最大公约元，则存在ba, ,U∈ε 使得 Udd ∈= εε ,' ． 整环中的两个元不一定有最大公约元．如果有也一般不唯一，容易证明任两个最大公因子 互为相伴元．由于 的最大公约元一般不是唯一确定的，ba, ( )ba, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 的任意一个最大公 约元．跟整数的最大公因子表示有所区别，在整数环中，我们约定用符号 ba, ( )ba, 表示正的最大 公约元，这是唯一确定的． 例 3 设 是有理数域，求 上的两个多项式 Q ][xQ 34 234 −−+− xxxx 和 31011108 234 ++++ xxxx 的最大公因子． 解 易知题设中的两个多项式公共的整系数因子是 )1)(34( 2 ++ xx ， 对任意的常数 ， 是 中的单位，则这两个多项式的最大公因子是 Qa∈ a Q )1)(34( 2 ++ xxa ． 例 4 举例 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 整环 [ ]5−= ZR 中，任给两个元 ，未必存在最大公约元． ba, 解 令 ( ) ( )( ) 95252,523 =−−−+=−+= ba ； 则 的最大公约元不能是单位，因 ba, .|52,|52 ba −+−+ １８４ 又 不是 的因子，故 的最大公约元不能是 ．另一方面， a b ba, a ( )523 −+=a ， 而 和3 52 −+ 都是既约元，从而 的最大公约元如果存在的话，只能是3或ba, 52 −+ ．亦 见 或3 52 −+ 都不是 的最大公约元，即对于ba, R中这两个元 来说，ba, ( )ba, 不存在． 整环中的最大公因子具有以下特性： 性质 1 ( )( ) ( )( )cbacba ,,~,, ； ( )( ) ( )( )cbacba ,,~,, ． 性质 2 ． ( ) ( cbcabac ,~, ) 性质 3 若 ， ，则( ) 1~, ba ( ) 1~, ca ( ) 1~, bca ． 上述三个性质与整数的最大公因子的性质证明类似．所不同的是，等号“=”变成“～＂．此 处仅给出性质 2 的证明． 性质 2 的证明 命 ( ) ( )cbcacbad ,,, == ， 则 ecdcbcdcacd ||,| ⇒ ． 另一方面， ,, eycbexca == 命 则 ,cdue = ., cduycbcduxca == 由消去律知 ,||,|, ddubduaduduybduxa ⇒⇒== 即 是单位．所以 ． u ( ) ( cbcabac ,~, ) §2 唯一分解整环 １８５ 这一节的主要目的是讨论几个关于整环的唯一分解的概念以及整环为唯一分解环的充要 条件． 首先我们给出唯一分解整环的概念． 定义 1 给定整环 R ， ， 不是单位，若任何两个 的既约元的分解满足 （ 是素数 ）和 （ 是素数），则 0, ≠∈∀ aRa a a spppa "21= ip tqqqa "21= iq sr = ，并且通过调整 的 次序，使得 iq iii pq ε= （ iε 是R的单位），则称环R为唯一分解环． 根据定义 1，一个整环的零元和单位一定不能唯一的分解．因为既约元的乘积不可能是 0， 所以 0 不能分解．而 1 的任何因子只能是单位，而既约元不可能为单位，所以 1 也不能进行既 约分解． 整环为唯一分解整环需要满足一定的条件．这个条件跟素元与既约元密切相关．首先我们 考察以下既约元为素元的一个前提条件． 定理 1 如果对于任意 ba, R∈ ， ( 存在，那么)ba, R中任意既约元皆为素元． 证明 设 是p R的既约元，并设 ．若 都不能被 整除，则由 的既约性，可知 与 abp | ba, p p a p 的公约元只有单位，即 ( ) ．同样，由 ，知1~,ap bp |/ ( ) 1~,bp ．由上一节的性质 3 知， ( ． ) 1~,abp 另一方面， ( ) 1~~,| ppabpabp ⇒⇒ ， 与 不是单位矛盾，此矛盾表明 或 ． p ap | bp | 现在我们就问，一个整环的不等于零也不是单位的元是不是都有唯一分解呢．下例告诉我 们不是的． 例 1 令R ={ 3−+ ba ， }． Zba ∈, R关于数的加、乘显然是一个整环．容易证明下列结论： （1）R只有两个单位，就是 ．（留作习题） 1± （2）适合条件 的4|| 2=α R的元α 一定是既约元． 首先，既然 ；并且由（1），0,4|| 2 ≠= αα α 也不是单位，假设 β 是α 的因子 βγαβ =−+= ,3ba ． 那么 １８６ 22 ||||4 γβ= 但不管 是什么整数， ba, 23|| 222 ≠+= baβ ， 因此 或 ．若是 容易证明1|| 2=β 4 ,1|| 2=β β 是单位．若 那么 ，,4|| 2=β 1|| 2=γ γ 是单 位，所以α 为既约元． 4 有以下两种分解 )31)(31(224 −−−+=•= ， 因为 4|31|,4|31|,4|2| 222 =−−=−+= ． 由（2）知以上两种分解均为既约分解，由 ( ) 31,31,1 −−−+ 都不是 2 的相伴元．因而， 按照定义，以上是两种不同的既约分解． 定理 2 一个整环R为唯一分解整环的充要条件是 （i）R的每一个既不是零又不是单位的元 的真因子序列 只有有限项． a "" ,,, 21 naaa （ii）R的每个既约元 为素元． p 证明 必要性：若整环R为唯一分解整环．对于任意的 1,0, ≠≠∈ aaRa ，a有既约分解 npppa "21= ， 显然 的任意真因子序列最多有 项． a n 设 ， 均非单位， 是出现在 的某个既约因子分解中所有互不 相伴的既约元，则 有如下形式的分解 Rba ∈, ba, tppp ",, 21 ba, ba, tk t kk pppa "21 21ε= ， ， tltll pppb "21 21ε ′= 这里 εε ′, 是R的单位， 是非负整数．令 ji lk , ts t s ppd "11= ， },min{ iii lks = ， 则 ， ．并且若有 ， ，则 ，其中ad | bd | ac | bc | tmtm ppc "11ε ′′= ε ′′ 也是 R 的单位，且由 １８７ ii km ≤ ， 得 ．于是 ，即ii lm ≤ },min{ iii lkm ≤ dc | ),( bad = ，由定理 1 知，R中每一既 约元均为素元，即（ii）成立． 充分性： 任给 ． 1,0, ≠≠∈ aaRa 1 若 为既约元，则 为一个既约分解． a aa = 2 若 不为既约元，则 有真因子 ． a a 1a （1）若 为既约元，令 ，则1a 11 pa = 11bpa = ． （2）若 不为既约元，则对 进行真因子分解，依次类推，得到a的一个真因子序列： 1a 1a "" ,,, 21 naaa ii aa |1+ 由（i）知，该真因子序列只包含有限项，则最后一项为既约元．将该既约元记为 ，则 ． 1p 11bpa = 3 若 为既约元，记 为 ，得到 的素分解．若 不为既约元，进行（2）（3）的分 解，得到 ，依次类推得到 的一个下列形势的真因子序列 1b 1b 2p a 1b 322 bpb = a 1110 ,,....,, =+== iiin bpbbbab （ 是既约元） 1+ip 最后一项一定为既约元．所以 有既约分解a spppa "21= ． 现在证明唯一性：假定 有另一既约分解a tqqqa "21= ． 下证 sr = ，并且我们可以把这些 的次序调换一下，使得 是 的相伴元． q iq ip 我们用归纳法．先证当 1=r 的时候， 有唯一分解．这时 a sqqqpa "211 == 若是 ，那么 ，其中 不是单位，而 作为素元的乘积也不是单 位．这就是说，素元 1≠s )( 211 sqqqp "= 1q sqq "2 p 可以写成两个非单位的乘积，这不可能．所以 11,1 qprs === ． 现在假定，能写成 1−≤ r 个素元的乘积的元都有唯一分解．在这个假定之下，我们看一个 像上面的两种分解的元 ： a １８８ sr qqqpppa "" 2121 == 由性质（iii）， 能够整除某一个 ；把 的次序换一换，我们可以假定 ．但 是素元， 不是单位，所以 1p iq iq 11 | qp 1q 1p 1 1 111 , pqqp −== εε （ε 是单位）． 这样 sr qqqppq "" 2121 =ε ， sr qqqppb "" 322 )( == ε ， 这里b是 1−r 个素元的乘积，所以依照归纳法的假定 11 −=− sr ．而且，我们可以把 的次 序交换一下，使得 iq rrr pqpqpq ',,'),(' 333222 εεεε === " （ i'ε 是单位） 这样我们得到 rs = rrr pqpqpqpq '.,',)'(, 3332221 1 1 εεεεε ==== − " ． 由定理 2 的证明，我们得到下列一个等价的定理． 定理 3 设 是有单位元1且满足消去律的可换整环， 是唯一分解整环的充要条件是 S S I) 中任意真因子序列 只能含有有限项； S "" ,,, 21 naaa II） 中任意二元的最大公约元均存在． S 定理 4 在唯一分解整环R中，任意的元素a可以写成下列 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式的既约分解 ,110 110 −−= nnpppa ααα " 10 ,... −npp 为互不相伴的既约元． 由于在唯一分解整环中，既约元与素元等价，所以上述分解通常也称为素分解． 在唯一分解整环中，通常可以通过两个元素的标准分解式得到两个元素的最大公因子． 定理 5 在唯一分解整环R中，对于 Rba ∈, ，若 nh n hh a pppa "21 21ε= ， （ aε 是单位， ） 0≥ih nk n kk b pppb "21 21ε= ， （ bε 是单位， ） 0≥ik １８９ 用 来表示 与 中较小的一个， il ih ik nl n ll pppd "21 21= ， 那么 为 的一个最大公因子． 的其他最大公因子d ba, ba, d ′写作 dd ε=′ 的形式． §3 主理想整环 前面已经介绍了一个整环为唯一分解整环的充要条件．这一节的主要目的是讨论一些具 体的唯一分解整环．我们已经知道整数环是唯一分解整环．关于整数环的唯一分解及其它一些 特性我们已经在初等数论的第 1 章给除了较详细的讨论，在这里我们不再重复描述．我们感兴 趣的是其它的一些具有代表性的唯一分解整环．本节将给出三类唯一分解整环，它们分别是： 主理想整环、多项式环、欧氏环，其中欧氏环为一种特殊的主理想整环． 首先我们介绍主理想环。 定义 1 —个整环R叫做一个主理想环，假如R的每一个理想都是—个主理想． 下面定理说明了主理想环是唯一分解整环． 定理 1 每一个主理想整环R为唯一分解整环． 证明 只要证明R满足第 2节定理 3 中的两个条件即可． 首先证明R中任意真因子序列仅含有限项． 假设 为",,, 321 aaa )( Rai ∈ R的一个真因子序列，其中 的因子．根据该序列， 我们可以得到一个主理想序列 ．显然 ． 1ia a+ 是 i 1 2 3( ), ( ), ( )a a a ", 1 2 3( ) ( ) ( )a a a⊂ ⊂ " ∪∞ = = 1 )( i iaA 是一个主理想，记为 ( )dA = ．由 知，存在 ，Ad ∈ n )( nad ∈ ．下证 一定是真因子序列的 最后一个元素． na 反 证 法 ： 由 于 )(),( 1 daad nn ∈∈ + ， 可 以 得 到 ． 从 而 ．由真因子序列知 ，因而 1|,| +nn adda nn caa =+1 1+′= nn aca nn acca ′=+1 ．由整数环的消去律知 ．从而知 是 的相伴元，与1=′cc 1na + na 1na + 是 的真因子的假定矛盾．所以主理想整环的任 意真因子序列仅含有限项． na 下证任两个元素的最大公因子存在． １９０ 设 ，命 Rba ∈, },|{ RsrbsarB ∈+= ， 则B是R的一个理想，但R是主理想整环，故存在 )(, dBRd =∈ ．由于 10,01 ⋅+⋅=⋅+⋅= babbaa ， 故 ．即)()(),()( bdad ⊇⊇ bdad , ． 假定 bcac , ，则 )()()(),()( cbcac ⇒⊇⊇ 含有所有 形如 的元素 从而bsar + ),()( dc ⊇⇒ dc ，即 ),( bad = ．得证． 例 1 整数环是—个主理想环，因而是一个唯一分解环． 证明 设 A是整数环 Z 中任一理想，若 A中所有元素的最大公因子为 1，1 可以表示成有 A中一些元素的线性组合，则由理想的定义， A∈1 ，从而 )1(== ZA ． 若 A中所有元有最大公因子 ，于是1>d A中所有元都可写成 rd )( Zr ∈ 的形式，于是 ．所以)(dA = Z 是主理想环．进而由定理 1知， Z 是唯一分解环． 例 1 的讨论很容易扩展到一元多项式环 上．设][xF A是 的任一理想， ， 是 ][xF )(xf )(xg A中任两个多项式，它们互素则有 1)()()()( =+ xgxbxfxa ， 从而 ，否则 ， 是)1(=A ))(( xrA = )(xr A中所有元的最大公因式．从而 也是主理想环．当 然也是唯一分解环． ][xF 下面我们要介绍第二种唯一分解环--欧氏环． 定义 2 给定一个整环 R，如果 (1) 存在一个映射 φ： ， NR →* N 为所有的非负整数集合； (2) 任意 ，对任何的 ，存在*Ra∈ Rb∈ Rrq ∈, 满足： rqab += ， 其中 或是0=r )()( ar φφ < ． １９１ 关于欧氏环，由以下结论： 定理 2 如果整环 R为欧氏环，则R一定是一个主理想整环，从而是一个唯一分解整环． 证明 设 A是R的一个理想，现在证明 A为主理想． 若是 A只包含零元，那么 A是一个主理想． 假定 A包含不等干零的元．由欧氏环的定义， 存在一个映射φ，在这个映射之下 A的每一个不等于零的元 x有一个象 )(xφ ．则集合 },0)(|)({ Axxx ∈>φφ 存在最小元，记为 )( 0xφ ， ．下证Ax ∈0 )( 0xA = ．显然 ，只要证明 即 可．由于 Ax ⊆)( 0 )( 0xA ⊆ R为欧氏环，任给 ，存在Aa∈ Rrq ∈, 满足 rqxa += 0 ， 其中 或是0=r )()( 0xr φφ < ．由于 Ar ∈ 及 )( 0xφ 的最小性知 0=r ，所以 ，从而 ．得证． )( 0xa∈ )( 0xA ⊆ 例 2 域 上的一元多项式环 是—个欧氏环． F ][xF 证明 利用多项式的次数我们显然可以规定一个合于条件(1)的映射，就是 φ： 的次数 )()( xfxf → 假定 ，][)( xFxg ∈ 0)( ≠xg ，那么 的最高系数( )xg 0≠na ．但 属于域 ，域的每一个不 na F 等于零的元都是一个单位，容易证明：任意的 ][)( xFxf ∈ ，存在 ][)( xFxr ∈ 使得 )()()()( xrxgxqxf += ， 其中 或是 的次数 的次数．所以 是—个欧氏环是一个欧氏环． 0)( =xr )(xr ( )xg< ][xF 例 3 高斯整数环 R是欧氏环． 证明 任取 ，∗∈ Rα bia +=α ．令 22: ba +6αφ ， 则 是v ∗R 到非负整数集 的映射，下面证明N φ适合条件（2）． 对任意的 bia +=α ， dic +=β ， ，∗∈ Rα R∈β ；由于 １９２ 22)( ba +=αφ ． 实际上就是α 的模，所以对任意 0≠α ， )(αφ 恒为正实数，并且满足 )()()( βφαφαβφ = ． 其次，令 ， 是有理数，取lik +=− βα 1 lk , lk ′′, 分别为与 最接近的整数，于是有 lk , 2 1≤′− kk ， 2 1≤′− ll ． 令 ilk ′+′=γ ，则 2 1 4 1 4 1)()()( 221 =+≤′−+′−=−− llkkγβαφ ． 再令 αγβδ −= ，则 R∈δγ , ，且 δαγβ += ，这里若有 0≠δ ，则 )()())(()()( 11 γβαφαφγβααφαγβφδφ −=−=−= −− )()( 2 1 αφαφ <≤ ． 满足欧氏环定义的第 2个条件．得证． §4 唯一分解整环上的多项式环 从上一节的内容，我们已经知道域上的一元多项式环为唯一分解整环．下面我们考虑更一 般形势的多项式环：唯一分解整环R上的多项式环 ．本节的主要目的是要证明 多项式环 是唯一分解整环．我们只要证明主理想环 ],....,[ 21 nxxxR ],....,[ 21 nxxxR R 上的一元多项式环 为唯一分解整环．那么可以很容易地推广到多元多项式环． ][xR 按多项式因子分解中的习惯称呼，我们将素元称为素多项式，既约元称为不可约多项式或 既约多项式，有真因子的多项式叫做可约多项式． 现在我们讨论唯一分解整环R上的一元多项式环 的唯一分解性． ][xR 首先给出一个相关的定义： 定义 1 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的系数的最大公因子是单位． ][xR )(xf )(xf 首先我们有以下简单结论： 性质 1 任给 ，][)( xRxf ∈ R的单位是 的仅有的单位． ][xR 性质 2 与本原多项式相伴的多项式为本原多项式． １９３ 性质 3 —个本原多项式不会等于零． 性质 4 任给 ， ，其中][)( xRxf ∈ )()( 1 xdfxf = Rd ∈ ， 为本原多项式．在相伴的 意义下，表示唯一． )(1 xf 性质 1-4 的证明留作习题． 引理 1 假定 ，那么 是本原多项式，当而且只当 和 都是 本原多项式． )()()( xhxgxf = )(xf )(xg )(xh 证明 若 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项式 )(xf )(xg )(xh 现在假定 "++= xaaxg 10)( ， "++= xbbxh 10)( 是两个本原多项式．如果 "++== xccxhxgxf 10)()()( 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子 , 不是",, 10 cc d d R 的单位．由于 ， ，因而 ， ．这样由于 0)( ≠xg 0)( ≠xh 0)( ≠xf 0≠d R是唯一分解环，有一个 R的素元 p 可以整除 ， 因而可以整除每一个 ．由 和 是本原多项式知 不能整除所有的 ，也不能整除 所有的 ．假定 分别是 和 的第一个不能被 整除的系数． 的系数 可以写成以下形式 d kc )(xg )(xh p ia jb ra b和 s )(xg )(xh p )(xf src + "+++= −+−++ 2211 srsrsrsr bababac 显然 ，从而有srbap | rap | 或 ，与这两个元的取法矛盾． 得证． sbp | 令 表示][xQ R的商域 上的一元多项式环， 是唯一分解整环． 为 的一个 子环． Q ][xQ ][xR ][xQ 引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 ][xQ )(xf )()( 0 xfb axf = ， 其中 ， 是 的本原多项式．若 也有Rba ∈, )(0 xf ][xR 0 ( )g x 0 ( )f x 的性质，那么 )()( 00 xfxg ε= （ε 是R的单位）． １９４ 证明 的元都可以写成Q )0,,( ≠∈ aRba a b 的样子, 因此 n n n x a bx a b a bxf +++= " 1 1 0 0)( ， （ Rba ii ∈, ）． 令 , 那么 naaaa "10= )(1)( 10 n n xccca xf +++= " ， （ Rci ∈ ）． 令 是 的一个最大公因子，那么 b nccc ,,, 10 " )()( 0 xfa bxf = ， 0 ( )f x 是本原多项式． 另一方面，若 )()( 0 xgc dxf = ， )(,, 0 xgIdc ∈ 是 的本原多项式．那么 )(xR )()()( 00 xadgxbcfxh == 是 的一个多项式．由于 和 都是本原多项式，bc和 都是 的系数的最 大公因子，因而 )(xR )(0 xf )(0 xg ad )(xh adbc ε= (ε 是R的单位)．所以 )()( 00 xgxf =ε ． 引理 3 的一个本原多项式 在 里可约的充分而且必要条件是 在 里可约． )(xR )(0 xf )(xR )(0 xf ][xQ 证明 必要性显然成立． 充分性：假定 在 里可约．所以存在次数 的多项式 )(0 xf ][xQ 1≥ ][)(),( xQxhxg ∈ )()()(0 xhxgxf = )()()()()( 00000 xhxga b a bxh a bxg a bxf ′ ′=′ ′= Rbaba ∈′′,,, ， 和 都是 的本原多项式．由引理１ 还是本原多 项式．由引理 )(0 xg )(0 xh )(xR )()( 00 xhxg １９５ 2 )()()( 000 xhxgxf ε= (ε 是 I 的单位)． 因此 ][)(),( 00 xRxhxg ∈ε ．所以 在 里可约．证完． )(0 xf ][xR 引理 的一个次数大于零的本原多项式 在 里有唯一分解． 4 )(xR )(0 xf )(xR 证明 首先证明既约分解存在． 若是 本身不可约，显然成立．假定 可约，且 的次数为 ，下用归纳法 证明． )(0 xf )(0 xf )(0 xf n 1=n 时，结论显然成立； 假设 ，结论也成立； mn ≤ 当 时 ， 由 可 约 及 引 理 1 知 ， 存 在 次 数1+= mn )(0 xf m≤ 的 本 原 多 项 式 ，满足 ][)(),( 00 xRxhxg ∈ )()()( 000 xhxgxf = ． 由归纳假设知 、 可以分解成既约多项式的乘积．所以 的既约分解存在． )(0 xg )(0 xh )(0 xf 唯一性：假定 有两种既约分解 )(0 xf （1） )()()()()()()( 21210 xpxpxpxqxqxqxf ts "" == 其中 ．由引理 1 及引理 知， 在 里 既约．由 唯一分解性知， 且通过调整顺序， tjsixRxpxq ji ≤≤≤≤∈ 1,1],[)(),( 3 )(),( xpxq ji ][xQ ][xQ ts = )()( )(0 )( 0 xpa bxq i i ii = ，（ Rba ii ∈, ）． 由引理 2 知 )()( )(0 )( 0 xpxq i i i ε= （ε 是 R的单位）． 得证． 现在我们可以证明 定理 1 若R是唯一分解环，那么 也是唯一分解整环． )(xR 证明（1） 为次数为 0，则)(xf Rxf ∈)( ，由R是唯一分解环知 有唯一分解． )(xf １９６ （2）若 为次数为 ，则 )(xf 1≥ )()( 0 xdfxf = ， Rd ∈ ， )(0 xf 是本原多项式．由R的唯一分解性，知 有唯一分解 d 120 −= mpppd " （ 是ip R的素元）． 由引理 4 知 有唯一分解 )(0 xf )()()()( 1100 xpxpxpxf r−= " ． 所以 在 里有既约分解 )(xf )(xR )()()()( 110110 xpxpxppppxf rm −−= "" ． 假定 在 里有另一种既约分解 )(xf )(xR )()()()( 110110 xqxqxqqqqxf tn −−= "" ． 则由引理 1知， )()()( 110 xqxqxq t−" 、 )()()( 110 xpxpxp r−" 为在 相伴的本原多项式，且由引理 3 知 、 在 中既约，由 的单一 分解性，通过调整顺序， )(xR )(xqi )(xpi )(xQ )(xQ rt = ， 在 中相伴，从而在 中相伴。同样 )(),( xpxq ii )(xQ )(xR 110 −mppp " 、 110 −nqqq " 相伴，由R的唯一分解性，通过调整顺序 mn = ，且 相伴．所以 在 里的既约 分解在相伴的意义下是唯一的． ii pq , )(xf )(xR 由定理 l，应用归纳法立刻可以得到 定理 2 若R是唯一分解整环，那么 也是唯一分解整环, 是],,,[ 21 nxxxR " nxxx ,,, 21 " R上的无关未定元． 应注意的是， 由第 4 节的内容知一个欧氏环一定是一个主理想环，一个主理想环一定是 一个唯一分解环．但是反过来一个唯一分解环未必是—个主理想环，一个主理想环也未必是一 个欧氏环．下面我们就给出一个唯一分解环不是一个主理想环的例子． １９７ 例 域 上不定元F yx, 的多项式环 是唯一分解环，但却不是主理想环． ],[ yxF 证明 由定理 2 知， 是唯一分解环． ],[ yxF 考虑 中一切常数项为零的所有多项式作成的集合],[ yxF A，易证， A是 的一个 理想．假定 ],[ yxF A是主理想，则必存在 ，],[ yxFf ∈ )( fA = ．但 )(xA ⊇ ， )(yA ⊇ ，故 ， ，而 xf | yf | yx, 的公因子只有 中的单位，所以有 是 的单位．由此推出 ，矛盾．这表明 ],[ yxF f ],[ yxF ],[ yxFA = A不是主理想． 习题 １．我们看以下的整环R，R刚好包含所有可以写成 n m 2 （ 是任意整数， 的整数） m 0≥n 形式的有理数．R的哪些个元是单位，哪些个元是素元？ 2．R是刚好包含所有复数 bia + （ 是整数） ba, 的整环．证明： 不是5 R的素元． 有没有唯一分解？ 5 3．设 是高斯整数环的既约元，证明： 能且仅能除尽一个素（自然）数z z p ． 4．找出高斯整数环的所有既约元． 5．假定在一个唯一分解环里 nn dbadbadba === ,,, 2211 " 证明：当而且只当 是 的最大公因子的时候 互素． d naaa ,,, 21 " nbbb ,,, 21 " 6．假定 R是一个整环， 和 是)(a )(b R的两个主理想．证明： )()( ba = 当而且只当b是 的相伴元的时候． a 7．证明：主理想的定义中，R有单位元的条件是多余的．即整环 R的每一理想都是主理 想，则 R有单位元． （考虑R本身，也是一个主理想，设 )(aR = 则 aea = ．由此证明，ε 是R的单位元）． 8．证明：一个域一定是一个欧氏环． １９８ 9．我们看有理数域 上的一元多项式环 ．理想 F ][xF )1,1( 352 +++ xxx 等于怎样的一个主理想？ 10．证明：由所有复数 （ 是整数）所作成的环是一个欧氏环（取bia + ba, 2)( aa −φ ）． 11．设R是一切形如 ∑ = = n i i ik il a 1 22α 的实数所成集合，此处 是任意整数， 是非负整数，ia ii lk , ni ,,2,1 "= ．证明： 是一 个有单位元1的整域． ),,( ⋅+R 12．证明：(1) R的单位是 的仅有的单位； ][xR (2)与本原多项式相伴的多项式为本原多项式； (3)—个本原多项式不会等于零； (4)任给 ， ，其中][)( xRxf ∈ )()( 1 xdfxf = Rd ∈ ， 为本原多项式．在相伴的意 义下，表示唯一． )(1 xf 13．设 R 是单一分解整环，若 ][)(),( 21 xRxfxf ∈ ， 是本原多项式，则 都是本原多项式． )()( 21 xfxf )(),( 21 xfxf 14．设 是 中首项系数为1的多项式，若 有有理根)(xf ][xZ )(xf α ，则α 是整数． 15．设R是一个有单位元1的整环，证明： 中首项系数为1的多项式能分解成 中 既约多项式的乘积． ][xR ][xR １９９