第7章阵列信号处理

第7章阵列信号处理null第7章阵列信号处理第7章阵列信号处理 7.1 阵列信号模型 7.2 空间匹配滤波 7.3 最优波束形成 7.4 自适应波束形成 7.5 MUSIC法测向 7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向 7.7 旋转不变子空间算法测向　　　　　　7.1 阵列信号模型　　在讨论阵列信号处理之前，首先对阵列信号处理的信号模型做一简单介绍。我们认为模型满足下列假设条件: 　　(1) 阵列的各个阵元均为各向同性的阵元，阵元位置坐标已知；各阵元及通道幅相特性一致。阵元间隔不大于最高频率...

null第7章阵列信号处理第7章阵列信号处理 7.1 阵列信号模型 7.2 空间匹配滤波 7.3 最优波束形成 7.4 自适应波束形成 7.5 MUSIC法测向 7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向 7.7 旋转不变子空间算法测向　　　　　　7.1 阵列信号模型　　在讨论阵列信号处理之前，首先对阵列信号处理的信号模型做一简单介绍。我们认为模型满足下列假设条件: 　　(1) 阵列的各个阵元均为各向同性的阵元，阵元位置坐标已知；各阵元及通道幅相特性一致。阵元间隔不大于最高频率信号半波长，即阵列要满足空间采样定理。　　(2) 信号满足远场条件，信源数小于阵元数。　　(3) 各阵元和通道噪声均为零均值高斯白噪声，互不相关，且与信号独立。　　　　　　7.1 阵列信号模型　　在讨论阵列信号处理之前，首先对阵列信号处理的信号模型做一简单介绍。我们认为模型满足下列假设条件: 　　(1) 阵列的各个阵元均为各向同性的阵元，阵元位置坐标已知；各阵元及通道幅相特性一致。阵元间隔不大于最高频率信号半波长，即阵列要满足空间采样定理。　　(2) 信号满足远场条件，信源数小于阵元数。　　(3) 各阵元和通道噪声均为零均值高斯白噪声，互不相关，且与信号独立。　　1. 阵列信号模型　　设在空间有M个阵元组成的阵列，阵元编号为1到M。不失一般性，以阵元1作为参考阵元，令各阵元相对参考阵元的位置向量为di(i=1，2，…，M)。阵元1接收到的信号为s(t)=u(t)exp[j2πf0t+j(t)]，其中u(t)是信号包络，j(t)是相位，f0为载波频率，则各阵元接收到的信号相对参考阵元有一个延迟。各阵元接收到的信号表示为　　1. 阵列信号模型　　设在空间有M个阵元组成的阵列，阵元编号为1到M。不失一般性，以阵元1作为参考阵元，令各阵元相对参考阵元的位置向量为di(i=1，2，…，M)。阵元1接收到的信号为s(t)=u(t)exp[j2πf0t+j(t)]，其中u(t)是信号包络，j(t)是相位，f0为载波频率，则各阵元接收到的信号相对参考阵元有一个延迟。各阵元接收到的信号表示为i=1, 2, …, M (7.1.1)　　一般阵列信号处理中使用的都是窄带信号，若信号带宽为B，中心频率为f0，则阵列处理中的窄带信号的定义如下:　　定义1: B< 题，即: 在波束指向方向上波束输出不变的情况下，使波束的输出功率达到最小，可表述为　　　　　　7.3 最优波束形成　　1. 最小方差准则(MV) 　　最小方差无畸变响应(Minimum Variance Distortionless Response，MVDR)波束形成就利用了最小方差准则。这种波束形成方法最早是由Capon于1969年提出的。现将它的原理介绍如下。　　基阵在波束指向方向上的输出功率含有该方向上激励的贡献，同时也含有其他方向上激励的贡献。为了减小基阵对非期望方向上激励的响应，可以构造一个约束的最优化问题，即: 在波束指向方向上波束输出不变的情况下，使波束的输出功率达到最小，可表述为　　 (7.3.1)　　求解上述问题等效于约束基阵的加权向量，使波束指向方向上形成一个单位幅度的输出，同时使基阵的均方输出达到最小。对于这样一种有约束条件下的最优化的问题，可根据拉格朗日乘数法来求解。我们构造目标函数: (7.3.2)其中，λ为拉格朗日常数。由拉格朗日乘数法求J(w)的极值: (7.3.3)所以 (7.3.4)根据约束条件wHa(θd)=λaH(θd)R－1a(θd)=1，则有(7.3.5)(7.3.6)　　2. 最大信噪比准则(MSNR) 　　最大信噪比准则基于期望信号的功率与噪声功率之比最大的原理。假设期望信号为S，噪声为N，且RS=E[SSH]， RN=E[NNH]。此时，输出的信号功率可以写为　　2. 最大信噪比准则(MSNR) 　　最大信噪比准则基于期望信号的功率与噪声功率之比最大的原理。假设期望信号为S，噪声为N，且RS=E[SSH]， RN=E[NNH]。此时，输出的信号功率可以写为(7.3.7)输出的噪声功率可以写为(7.3.8)这时输出的信噪比SNR为(7.3.9)可以证明，若λmax为R－1NRS的最大特征值，则最佳权向量满足可以证明，若λmax为R－1NRS的最大特征值，则最佳权向量满足(7.3.10)　　3. 最小均方误差准则(MMSE) 　　最小均方误差准则就是使估计误差的均方值最小化，具体地说，就是使阵列输出y(n)=wTX(n)与期望信号d(n)的均方误差最小，即　　　　　　　E[ε2(n)]=E[(d(n)－wTX(n))2]　　　 (7.3.11) 最小化。把上式展开得　　　　　　E[ε2(n)]=E[d2(n)]－2wTr+wHRw　　　(7.3.12) 其中，r=E[d*(n)X(n)]，R=E[X(n)XH(n)]。一般地，我们把r称为互相关矩阵。对权向量求梯度，得到梯度向量　　3. 最小均方误差准则(MMSE) 　　最小均方误差准则就是使估计误差的均方值最小化，具体地说，就是使阵列输出y(n)=wTX(n)与期望信号d(n)的均方误差最小，即　　　　　　　E[ε2(n)]=E[(d(n)－wTX(n))2]　　　 (7.3.11) 最小化。把上式展开得　　　　　　E[ε2(n)]=E[d2(n)]－2wTr+wHRw　　　(7.3.12) 其中，r=E[d*(n)X(n)]，R=E[X(n)XH(n)]。一般地，我们把r称为互相关矩阵。对权向量求梯度，得到梯度向量 (7.3.13)令梯度为零，得到最小均方误差准则下的最佳权向量: wopt=R－1r　　　　　　　　(7.3.14)　　例 7.2 阵列的结构同例7.1，如果在阵列的接收数据中没有干扰存在，那么由式(7.3.4)得到的权向量与式(7.2.6)得到的相同，因而波束图也相同。　　如果有一干扰从40°方位入射到该阵列，此时若用空间匹配滤波的方法，那么得到的加权向量仍然由式(7.2.6)给出，波束图如图7.3所示。因为这种波束形成器是数据独立的，所以其权值不会随着接收数据的改变而改变。显然这种波束图不是统计最优的，不能对干扰进行有效的抑制。但是如果用式(7.3.4)得到的加权向量形成波束，它会在干扰方向形成一个零陷，如图7.4所示。该图为信干比为－10 dB时的波束图，其中箭头所示为干扰的方向。这种波束形成器形成的波束会在每个干扰存在的方向上形成一个零陷，并且干扰强度越大，零陷越深，这就是所谓的“功率倒置”现象。　　例 7.2 阵列的结构同例7.1，如果在阵列的接收数据中没有干扰存在，那么由式(7.3.4)得到的权向量与式(7.2.6)得到的相同，因而波束图也相同。　　如果有一干扰从40°方位入射到该阵列，此时若用空间匹配滤波的方法，那么得到的加权向量仍然由式(7.2.6)给出，波束图如图7.3所示。因为这种波束形成器是数据独立的，所以其权值不会随着接收数据的改变而改变。显然这种波束图不是统计最优的，不能对干扰进行有效的抑制。但是如果用式(7.3.4)得到的加权向量形成波束，它会在干扰方向形成一个零陷，如图7.4所示。该图为信干比为－10 dB时的波束图，其中箭头所示为干扰的方向。这种波束形成器形成的波束会在每个干扰存在的方向上形成一个零陷，并且干扰强度越大，零陷越深，这就是所谓的“功率倒置”现象。null图 7.4 最小方差方法的波束图　　　　　　7.4 自适应波束形成　　经典的自适应波束形成器结构如图7.5所示，其算法大致可以分为闭环算法(或反馈控制方法)和开环算法(也称为直接求解方法)两大类。一般来说，闭环算法比开环算法要相对简单一些，且实现方便，但其收敛速度受到系统稳定性要求的限制；而直接求解方法不存在收敛问题，可提供更快的暂态响应性能，但也同时受到处理精度和阵列协方差阵求逆运算量的限制。自适应波束形成的几种典型算法有如下几种。　　　　　　7.4 自适应波束形成　　经典的自适应波束形成器结构如图7.5所示，其算法大致可以分为闭环算法(或反馈控制方法)和开环算法(也称为直接求解方法)两大类。一般来说，闭环算法比开环算法要相对简单一些，且实现方便，但其收敛速度受到系统稳定性要求的限制；而直接求解方法不存在收敛问题，可提供更快的暂态响应性能，但也同时受到处理精度和阵列协方差阵求逆运算量的限制。自适应波束形成的几种典型算法有如下几种。null图 7.5 自适应波束形成器原理图　　1. 最小均方(LMS)算法　　1) 最陡梯度法　　尽管可以用wopt=R－1r直接求解最优权向量，然而求矩阵的逆会导致计算复杂。避免矩阵求逆的一种方法是最陡梯度法，求解过程如下: 　　第1步, 初始化权向量w(0)，即第0步的最佳权向量；　　第2步, 用初始化得到的权向量计算n时刻的梯度向量　　　；　　第3步, 按梯度向量的反方向计算下一个权向量; 　　第4步, 从第2步开始重复此过程，直到收敛在均方误差最小点，这时的权向量即为最佳权向量。　　1. 最小均方(LMS)算法　　1) 最陡梯度法　　尽管可以用wopt=R－1r直接求解最优权向量，然而求矩阵的逆会导致计算复杂。避免矩阵求逆的一种方法是最陡梯度法，求解过程如下: 　　第1步, 初始化权向量w(0)，即第0步的最佳权向量；　　第2步, 用初始化得到的权向量计算n时刻的梯度向量　　　；　　第3步, 按梯度向量的反方向计算下一个权向量; 　　第4步, 从第2步开始重复此过程，直到收敛在均方误差最小点，这时的权向量即为最佳权向量。用w(n)表示时刻n的权向量，根据最陡梯度法，则n+1时刻的权向量可用下面简单的迭代关系式求得用w(n)表示时刻n的权向量，根据最陡梯度法，则n+1时刻的权向量可用下面简单的迭代关系式求得 (7.4.1)其中，μ为控制收敛速度和稳定性的常数因子，通常称为收敛步长。将式　　　　　　　　　　代入上式，有 w(n+1)=w(n)+μ[r－Rw]，n=0，1，…　 (7.4.2) 此外　　　　　　　　　　也可以用另一种形式表达(7.4.3)则式(7.4.2)也就可以表示成　　　　　　w(n+1)=w(n)+μE[X(n)e*(n)] 　　　　(7.4.4)则式(7.4.2)也就可以表示成　　　　　　w(n+1)=w(n)+μE[X(n)e*(n)] 　　　　(7.4.4)　　2) LMS算法的实现　　为了估计梯度向量　　　，我们可以用瞬时的估计来替代计算式(7.4.3)中的期望值，即　　2) LMS算法的实现　　为了估计梯度向量　　　，我们可以用瞬时的估计来替代计算式(7.4.3)中的期望值，即(7.4.5)将这个瞬时估计的梯度向量代入式(7.4.1)，可以得到 w(n+1)=w(n)+μX(n)e*(n)　　　　　　(7.4.6) 于是，就可以得到LMS算法的描述: y(n)=wH(n)X(n) e(n)=d(n)－y(n) w(n+1)=w(n)+μX(n)e*(n)　　2. 抽样矩阵求逆(SMI)算法　　SMI是一种数字开环计算方法，它通过直接求解阵列协方差矩阵R来估计权向量，从而避免收敛速度依赖于特征值散布。　　R的无偏估计由下式给出　　2. 抽样矩阵求逆(SMI)算法　　SMI是一种数字开环计算方法，它通过直接求解阵列协方差矩阵R来估计权向量，从而避免收敛速度依赖于特征值散布。　　R的无偏估计由下式给出(7.4.7)　　通过矩阵求逆计算可以进一步确定最佳权向量估计为(7.4.8)　　3. 递归最小二乘(RLS)算法　　RLS算法基于使每一快拍的阵列输出误差平方和最小的准则，即最小二乘(LS)准则。它的一个重要特点是利用了从算法初始化后得到的所有阵列数据信息。　　递归最小二乘法所遵循的准则是确定w(n)，使e(i|n)=d(i)－wH(n)X(i)的加权平方和　　3. 递归最小二乘(RLS)算法　　RLS算法基于使每一快拍的阵列输出误差平方和最小的准则，即最小二乘(LS)准则。它的一个重要特点是利用了从算法初始化后得到的所有阵列数据信息。　　递归最小二乘法所遵循的准则是确定w(n)，使e(i|n)=d(i)－wH(n)X(i)的加权平方和(7.4.9)为最小。其中，λ被称为遗忘因子，其值略小于1，通常取值在0.95~0.9995之间。满足　　　　的w(n)值为满足　　　　的w(n)值为　w(n)=R－1(n)p(n)　　　　　　　(7.4.10)式中我们想要导出的是一个由n－1时刻的各量以及现时刻n的输入数据X(n)表示的、便于求解的迭代式，这里给出其结果为 w(n+1)=w(n)+g(n)e(n)　　　　　　(7.4.11) 其中g(n)为增益向量:(7.4.12)而而(7.4.14)(7.4.13)　　　　　7.5 MUSIC法测向　　1. MUSIC算法的基本原理考虑只测方位角的一维情况。由7.1节给出的阵列模型可知，远场窄带信号的阵列接收数据为　　　　　　　　　　　　X=A(θ)S+N　　　　　　(7.5.1) 阵列数据的协方差矩阵为　　　 R=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]=ARSAH+RN　　(7.5.2) 由于信号与噪声独立，数据协方差矩阵可分解为两部分，分别对应信号子空间和噪声子空间。对数据协方差矩阵进行特征分解，则有　　　　　　　　　　R=USΣSUHS+UNΣNUHN 　(7.5.3)　　　　　7.5 MUSIC法测向　　1. MUSIC算法的基本原理考虑只测方位角的一维情况。由7.1节给出的阵列模型可知，远场窄带信号的阵列接收数据为　　　　　　　　　　　　X=A(θ)S+N　　　　　　(7.5.1) 阵列数据的协方差矩阵为　　　 R=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]=ARSAH+RN　　(7.5.2) 由于信号与噪声独立，数据协方差矩阵可分解为两部分，分别对应信号子空间和噪声子空间。对数据协方差矩阵进行特征分解，则有　　　　　　　　　　R=USΣSUHS+UNΣNUHN 　(7.5.3)将矩阵R的特征值进行从大到小的排序，即　　　　　　　　　λ1≥λ2≥…≥λM>0 　　设λi是矩阵R的第i个特征值，vi是与λi相对应的特征向量，则有　　　　　　　　　　Rvi=λivi　　　　　　　(7.5.4) 　　下面我们来讨论噪声子空间的性质。设λi(i=N+1，N+2，…，M)是R的M－N最小特征值，有　　　　　　Rvi=σ2vi，i=N+1，N+2，… M，　　　(7.5.5) 将R=ARSAH+σ2I代入上式得　　　　　　　　　σ2vi=(ARSAH+σ2I)vi　　　　　(7.5.6) 将上式右边展开与左边比较，可得: 将矩阵R的特征值进行从大到小的排序，即　　　　　　　　　λ1≥λ2≥…≥λM>0 　　设λi是矩阵R的第i个特征值，vi是与λi相对应的特征向量，则有　　　　　　　　　　Rvi=λivi　　　　　　　(7.5.4) 　　下面我们来讨论噪声子空间的性质。设λi(i=N+1，N+2，…，M)是R的M－N最小特征值，有　　　　　　Rvi=σ2vi，i=N+1，N+2，… M，　　　(7.5.5) 将R=ARSAH+σ2I代入上式得　　　　　　　　　σ2vi=(ARSAH+σ2I)vi　　　　　(7.5.6) 将上式右边展开与左边比较，可得: 　　　　ARSAHvi=0，i=N+1，N+2，…，M　　　(7.5.7) 因为AHA是N×N维的满秩矩阵，所以(AHA)－1存在，而 (RS)－1也存在，则上式两边同乘(RS)－1(AHA)－1AH以后变成 (RS)－1(AHA)－1AHARSAHvi=0，i=N+1，N+2，…，M (7.5.8) 于是有　　　　　　　　AHvi=0，i=N+1，N+2，…，M 　　 (7.5.9) 　　用各噪声特征向量构造一个噪声矩阵UN如下　　　　　　　　　UN=[vN+1，vN+2，…，vM] 　　　(7.5.10) 定义空间谱　　　　ARSAHvi=0，i=N+1，N+2，…，M　　　(7.5.7) 因为AHA是N×N维的满秩矩阵，所以(AHA)－1存在，而 (RS)－1也存在，则上式两边同乘(RS)－1(AHA)－1AH以后变成 (RS)－1(AHA)－1AHARSAHvi=0，i=N+1，N+2，…，M (7.5.8) 于是有　　　　　　　　AHvi=0，i=N+1，N+2，…，M 　　 (7.5.9) 　　用各噪声特征向量构造一个噪声矩阵UN如下　　　　　　　　　UN=[vN+1，vN+2，…，vM] 　　　(7.5.10) 定义空间谱(7.5.11)　　2. MUSIC算法的实现　　第1步，根据L个接收信号向量得到下面的协方差矩阵的估计值: 　　2. MUSIC算法的实现　　第1步，根据L个接收信号向量得到下面的协方差矩阵的估计值: (7.5.12)并对上面得到的协方差矩阵进行特征值分解R=ARSAH+σ2I。　　第2步，按特征值的大小顺序，把与信号个数N相等的特征值和对应的特征向量看做信号部分空间，把剩下的M－N个特征值和特征向量看做噪声部分空间，得到噪声矩阵UN: UN=[vN+1，vN+2，…，vM] 　　　(7.5.13)　　第3步，使θ变化，按照式　　　　　　　　　　　来计算谱函数，通过寻求峰值来得到波达方向的估计值。　　第3步，使θ变化，按照式　　　　　　　　　　　来计算谱函数，通过寻求峰值来得到波达方向的估计值。　　例 7.3 阵列的结构同例7.1，两个远场信号分别位于0°和10°处，信噪比为0 dB，快拍数为200。用MUSIC法构成的空间谱和常规波束形成器构成的空间谱如图 7.6所示，图中(a)为常规波束形成的空间谱，(b)为MUSIC法构成的空间谱。从图中可以看出，MUSIC法能够准确地分辨出两个信号，而常规波束形成器由于主瓣宽度的限制，即使信噪比较高，也无法分辨出两个距离较近的目标。null图 7.6 MUSIC法和常规波束形成法的空间谱　7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向　　这里所考虑的仍是如何从阵列的输出测量中提取有关目标信息的问题。将阵列的接收信号重写如下　　　　　　　　　x(n)=A(θ)s(n)+n(n)　　　　　　(7.6.1) 　在前面的讨论中我们知道，阵列接收信号的自相关矩阵经特征值分解后，可以得到信号子空间US，它和阵列流形A张成同一个子空间，所以必然存在一个非奇异矩阵T，使得　　　　　　　　　　　　US=AT　　　　　　　　(7.6.2) 　　当US已知时，求解上式的一种很自然的方法就是求信号子空间和模型子空间的最小平方拟合，即　7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向　　这里所考虑的仍是如何从阵列的输出测量中提取有关目标信息的问题。将阵列的接收信号重写如下　　　　　　　　　x(n)=A(θ)s(n)+n(n)　　　　　　(7.6.1) 　在前面的讨论中我们知道，阵列接收信号的自相关矩阵经特征值分解后，可以得到信号子空间US，它和阵列流形A张成同一个子空间，所以必然存在一个非奇异矩阵T，使得　　　　　　　　　　　　US=AT　　　　　　　　(7.6.2) 　　当US已知时，求解上式的一种很自然的方法就是求信号子空间和模型子空间的最小平方拟合，即　(7.6.3)在L个等间隔的时刻上对阵列的输出进行齐次采样，可以构成一个M×L维的数据矩阵XL。给定这L次测量输出XL，基本的子空间拟合问题可以定义为将A(θ)张成的子空间与测量输出XL拟合的确定性最大似然准则。这一问题可用数学方法表示为在L个等间隔的时刻上对阵列的输出进行齐次采样，可以构成一个M×L维的数据矩阵XL。给定这L次测量输出XL，基本的子空间拟合问题可以定义为将A(θ)张成的子空间与测量输出XL拟合的确定性最大似然准则。这一问题可用数学方法表示为(7.6.4)　　可以证明，式(7.6.4)中的求最小值问题可以对两个参变量A和T分开进行。首先固定A(θ)，只对T求最小值，可以得到伪逆解: T=A+P　　　　　　　　　(7.6.5)^式中，A+=(AHA)－1AH是A的伪逆矩阵。将式(7.6.5)代入到式(7.6.4)，可以得到式中，A+=(AHA)－1AH是A的伪逆矩阵。将式(7.6.5)代入到式(7.6.4)，可以得到(7.6.6)式中Q⊥A=I－AA+。利用求逆算子的性质，有(7.6.7)根据QA=AA+=I－Q⊥A，可以得到式(7.6.7)的等价表示式　　　　　　　 (7.6.8)利用式(7.6.6)~式(7.6.8)中任一式求出阵列流形的估计(目标方位向量的估计)，即可相应地估计得到目标的方位。　　在简单的一维算法中，对目标方位的估计是通过在观测空间做一维搜索实现的，也就是通过在一维空间谱上寻找峰值点来确定的。此时式(7.6.4)中的A(θ)对应一个扫描矢量a(θ)。若将与测量数据有关的矩阵P用信号子空间的估计值US来代替，则式(7.6.8)可以写成如下形式　　在简单的一维算法中，对目标方位的估计是通过在观测空间做一维搜索实现的，也就是通过在一维空间谱上寻找峰值点来确定的。此时式(7.6.4)中的A(θ)对应一个扫描矢量a(θ)。若将与测量数据有关的矩阵P用信号子空间的估计值US来代替，则式(7.6.8)可以写成如下形式^(7.6.9)当PPH=R，并且在一维空间做搜索，即QA=Qa时，式(7.6.8)可以写成当PPH=R，并且在一维空间做搜索，即QA=Qa时，式(7.6.8)可以写成(7.6.10)而此时的投影矩阵　　　　，所以有(7.6.11)当搜索从N个方位同时进行时，式(7.6.8)即为(7.6.12)　　　　7.7 旋转不变子空间算法测向　　1. ESPRIT算法原理　　ESPRIT算法要求有两个结构相同的子阵。为了讨论方便又不失一般性，假设阵列为均匀线阵，阵元标号从1到M。将阵列分为两个子阵，阵元1到M－1为子阵1，阵元2到M为子阵2，这是最简单的两个结构相同、平移不变的阵列。空间N个不相关信号入射，且N

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