窄带实平稳高斯随机过程

29 窄带实平稳高斯随机过程 概述 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度： 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： 窄带实平稳随机过程的二维（两个时刻）包络和相位分布 两个时刻信号的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式： 两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵： 两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ： 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 两个时刻包络的联合边缘分布： 两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 一个时刻包络的边缘分布： 两个时刻相位的联合边缘分布： 两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的： 29.1 窄带实平稳随机过程的一维包络分布和一维相位分布 29.1.1 窄带实平稳随机过程，它的同相分量和正交分量 tfttfttx tfttfttx ccs ccc πξπξ πξπξ 2cos)(ˆ2sin)()( 2sin)(ˆ2cos)()( −= += 以及 tfstxtftxt tftxtftxt cscc cscc ππξ ππξ 2cos)(2sin)()(ˆ 2sin)(2cos)()( −= += 因为窄带实平稳高斯随机过程的 Hilbert 变换是一个高斯随机过程，它的同相分量 与正交分量是它和它的 Hilbert 变换的线性变换，同相分量和正交分量也是高斯过 程。上述高斯随机过程是联合高斯的。 29.1.2 一个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 同相分量和正交分量的一维相关矩阵， )(),( txtx sc 的相关矩阵， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= )0(0 0)0( ξξ ξξ R R R 同相分量和正交分量的联合概率密度是， ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= ⋅= 2 22 2 2 exp 2 1 )()(),( ξξ σσπ yx yfxfyxf scsc xxxx 29.1.3 一个时刻包络和相位分量的联合概率密度： 同相分量、正交分量与包洛和相位分量的关系是， )(sin)()( )(cos)()( ttVtx ttVtx s c φ φ ⋅= ⋅= 以及， )( )( tan)( ))(())(()( 1 22 tx txt txtxtV c s sc −= += φ 同相分量、正交分量到包洛和相位分量的变换行列式是， )( )(cos)()(sin)( )(sin)(cos ),( ),( tV ttVttV tt V xx sc =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=∂ ∂ φφ φφ φ 一个时刻包洛和相位分量的联合概率密度是 πφ σσ σσπ φ φ ξξ ξξ φ 2 1)( 2 exp1)( 2 exp 2 1 ),(),( 2 2 2 2 2 2 ＝f rrrf rr yxfrrf V xxV sc ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⋅= 29.1.4 一个时刻包络和相位是相互统计独立的随机变量： )()(),( φφ φφ frfrf VV ⋅= 一维包洛分量的数字特征是： { } { } { } 2 22 2/1 2 2 2 2 ξ ξ ξ σπ σ σπ ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= VD VE VE 29.2 窄带实平稳随机过程的二维包络和相位分布 29.2.1 两个时刻信号的表达式： 两个时刻信号的同相分量和正交分量表达式 11111 11111 2cos)(2sin)()(ˆ 2sin)(2cos)()( tfstxtftxt tftxtftxt cscc cscc ππξ ππξ −= += 22222 22222 2cos)(2sin)()(ˆ 2sin)(2cos)()( tfstxtftxt tftxtftxt cscc cscc ππξ ππξ −= += 两个时刻信号的包络和相位表达式 )](2cos[)()( 1111 ttftVt c φπξ += )](2cos[)()( 2222 ttftVt c φπξ += 两个时刻同相分量和正交分量是联合高斯的： 由于ξ(t)是高斯分布的随机过程，而 xc(t1),xc(t2),xs(t1),xs(t2)都是由ξ(t)经过线性变 换得到的，它们是联合高斯分布的随机变量。 两个时刻同相分量和正交分量的协方差矩阵： 从上一讲可以得到，两个时刻同相分量和正交分量 1 1 2 2( ), ( ), ( ), ( )c s c sx t x t x t x t 的协 方差矩阵， (0) 0 ( ) ( ) 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 ( ) ( ) 0 (0) c c c s c s c c c c c s c s c c x x x x x x x x x x x x x x x x R R R R R R R R R R R R ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ τ τ τ τ τ τ τ τ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ B 其中τ＝t2-t1， 计算上述协方差矩阵的行列式， 2 2 2 2 (0) 0 ( ) ( ) 0 (0) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0 ( ) ( ) 0 (0) [ (0) ( ) ( )] c c c s c s c c c c c s c s c c c c c s x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R R R R R R R R R R R R R R R ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − = − = − − B 计算协方差矩阵的代数子行列式 2/1 222 44332211 )0( )]()()0()[0( B BBBB ξξ ξξξξ ττ R RRRR sccc xxxx = −−= === 0 43342112 = === BBBB 2/1 222 42243113 )( )]()()0()[( B BBBB τ τττ ξξ sc scccsc xx xxxxxx R RRRR −= −−−= === 2/12 222 32234114 )( )]()()0()[( B BBBB τ τττ ξξ cc sccccc xx xxxxxx R RRRR = −−= === 计算协方差矩阵的逆矩阵 11 12 13 14 21 22 23 241 31 32 33 34 41 42 43 44 1− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ B B B B B B B B B B B B BB B B B B 29.2.2 两个时刻同相分量和正交分量的联合概率密度函数： 考虑到两个时刻同相分量和正交分量的均值都是零，并利用前面得到的同相分量和 正交分量的协方差矩阵、它的逆矩阵、它的行列式，可以得到两个时刻同相分量和 正交分量的概率密度函数。 ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎥⎥⎦ ⎤++ +− +++ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= )()()()()(2 2 1 )()()()()(2 2 1 )()()()()0( 2 1exp )2( 1 )](),(),(),([ 21212/1 21212/1 2 2 2 2 1 2 1 2 2/12/12 2211 txtxtxtxR txtxtxtxR txtxtxtxR txtxtxtxf csscxx ssccxx scsc scsc sc cc τ τ π ξξ B B BB 29.2.3 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数： 考虑到两个时刻同相分量和正交分量，到包络分量和相位分量的变换， )(sin)()( )(cos)()( 111 111 ttVtx ttVtx s c φ φ ⋅= ⋅= )(sin)()( )(cos)()( 222 222 ttVtx ttVtx s c φ φ ⋅= ⋅= 上述变换的雅可比行列式， ( ) ( ) )()( )(cos)()(sin00 )(sin)()(cos00 00)(cos)()(sin 00)(sin)()(cos )(),(),(),( )(),(),(),( 21 222 222 111 111 2211 2211 tVtV ttVt ttVt ttVt ttVt ttVttV txtxtxtxJ scsc ⋅= −− − −− − = ∂ ∂= φφ φφ φφ φφ φφ 两个时刻包络和相位的联合概率密度函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎥⎥⎦ ⎤−+ −− + ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎥⎥⎦ ⎤++ +− +++ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−⋅= )()(sin)()()(1 )()(cos)()()(1 )()()0( 2 1exp)()( )2( 1 )()()()()(2 2 1 )()()()()(2 2 1 )()()()()0( 2 1exp )2( 1 )](),(),(),([ 21212/1 21212/1 2 2 1 2 2/1212/12 21212/1 21212/1 2 2 2 2 1 2 1 2 2/12/12 2121 tttVtVR tttVtVR tVtVRtVtV txtxtxtxR txtxtxtxR txtxtxtxRJ tttVtVf sc cc sc cc xx xx csscxx ssccxx scsc φφτ φφτ π τ τ π φφ ξξ ξξ B B BB B B BB 29.2.4 两个时刻包络的联合边缘分布： 两个时刻包络的联合边缘分布是对两个时刻包络和相位联合概率密度函数的相位 积分，有 ( ) ( ) ( ) )()()()(sin)()()(1 )()(cos)()()(1exp )()()0( 2 1exp )2( )()( )()()](),(),(),([ )](),([ 2121212/1 2 0 2 0 21212/1 2 2 1 2 2/12/12 21 21 2 0 2 0 2121 21 tdtdttRtVtV ttRtVtV tVtVRtVtV tdtdtttVtVf tVtVf sc cc xx xx φφφφτ φφτ π φφφφ π π ξξ π π ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫−− −⎪⎩ ⎪⎨ ⎧− ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= = ∫ ∫ ∫ ∫ B B BB 为了进行积分作变量代换， )()( 21 tt φφα −= ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] θτττ θτττ θαττ ατατ φφτφφτ sin)()()( cos)()()( )cos()()( sin)(cos)( )()(sin)()()(cos)( 2/122 2/122 2/122 2121 scccsc sccccc sccc sccc sccc xxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xxxx RRR RRR RR RR ttRttR += += −+= += −+− 对于下述积分，有 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += ⋅ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −+−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫−− − ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧− ∫ ∫ ∫ ∫ + 2/1 2/122 21 0 1 2 0 2)( )( 2/1 2/122 21 2 2121212/1 2 0 2 0 21212/12 )()()()( )(cos )()()()( exp 4 1 )()()()(sin)()()(1 )()(cos)()()(1exp 4 1 1 1 B B B B ττ φαθαττπ φφφφτ φφτπ π πφ φ π π sccc sccc sc cc xxxx t t xxxx xx xx RRtVtV I tdd RRtVtV tdtdttRtVtV ttRtVtV 两个时刻包络的联合边缘分布概率密度函数， ( ) [ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= = ∫ ∫ 2/1 2/122 21 0 2 2 1 2 2/12/1 21 21 2 0 2 0 2121 21 )()()()( )()()0( 2 1exp)()( )()()](),(),(),([ )](),([ B BB ττ φφφφ ξξ π π sccc xxxx RRtVtV I tVtVRtVtV tdtdtttVtVf tVtVf 其中 0)(,0)( 21 ≥≥ tVtV 。 29.2.5两个相距无穷远时刻的包络联合边缘分布： 如果两个时刻相距无穷远，不同时刻同相分量和正交分量的相关函数趋于零，有 )0( )0(000 0)0(00 00)0(0 000)0( 4 ξξ ξξ ξξ ξξ ξξ R R R R R = =B [ ] { } 10)()()()( 02/1 2/122 21 0 ==⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + I RRtVtV I sccc xxxx B ττ 相应的概率密度函数是 ( ) ( ) )]([)]([ 2 )(exp)( 2 )(exp)( )()( 2 1exp )()( )()()0( )0(2 1exp )0( )()( )](),([ 21 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 24 21 2 2 1 2 22 21 21 tVftVf tVtVtVtV tVtVtVtV tVtVR RR tVtV tVtVf ⋅= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−⋅⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +−= ξξξξ ξξ ξξ ξξξξ σσσσ σσ 两个相距无穷远时刻的包络分布是统计独立的。 29.2.6一个时刻包络的边缘分布： 利用两个时刻的包络联合边缘分布，有 [ ] )( )()()()( 2 )()0( exp)( 2 )()0( exp)( )()](),([)]([ 22/1 2/122 21 0 0 2/1 2 2 22/1 1 2 2/1 1 0 2211 tdV RRtVtV I tVR tV tVRtV tdVtVtVftVf sccc xxxx ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ⋅ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−⋅ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⋅= ∫ ∫ ∞ ∞ B BBB ττ ξξξξ 利用积分公式 ) 4 exp( 2 1)exp()( 2 0 2 0 h a h dthtattJ =−∫∞ 考虑积分 [ ] [ ] [ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +⋅ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−∫∞ )0(2 )()()( exp )0( 2 )0( 4 )()()( exp 2 )0( 2 1 )( )()()()( 2 )()0( exp)( 2/1 22 1 22/1 2/1 2 2/1 2/122 1 2/1 22/1 2/122 21 0 0 2/1 2 2 2 ξξξξ ξξξξ ξξ ττ ττ ττ R RRtV R R RRtV j R tdV RRtVtV I tVR tV sccc sccc sccc xxxx xxxx xxxx B B B B B BB 一个时刻包络的边缘分布，是 [ ] [ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−−= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +⋅ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧−= ⋅= ∫ ∞ 2 1 2 2 1 1 2 1 2/1 22 1 2 1 2/1 22 1 22/1 2/1 1 2 2/1 1 0 2211 )( exp )( )0( )(exp )0( )( )0(2 )()()0()( exp )0( )( )0(2 )()()( exp )0(2 )()0( exp)( )()](),([)]([ ξξ ξξξξ ξξ ξξ ξξ ξξξξ ξξ σσ ττ ττ tVtV R tV R tV R RRRtV R tV R RRtV R tVRtV tdVtVtVftVf sccc sccc xxxx xxxx B B B BB 29.2.7两个时刻相位的联合边缘分布： 两个时刻的相位联合边缘分布是对两个时刻包络和相位联合概率密度函数的包络 积分，有 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 21/ 22 0 0 2 2 1 2 1 2 1 21/ 2 [ ( ), ( )] [ ( ), ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (2 ) 1exp (0) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f t t f V t V t t t dV t dV t V t dV t R V t V t V t V t dV t dV tξξ φ φ φ φ π β ∞ ∞ ∞ ∞ = ⋅ = ⋅ ⎧ ⎫⎪ ⎪− + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫ ∫B B 其中 ( ) ( )[ ] )0( 1)()(sin)()()(cos)( 2121 ξξ φφτφφτβ R ttRttR sccc xxxx −+−= 考虑积分 ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −+−⋅= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −+−= 0 0 22 0 0 22 2 2exp 2 2exp dudvxuvvuuvJ dx d dudvxuvvuJ 计算 J作变量代换 α θαθαα α θαθα α α θα α θα 2 2 2 2222 22 sin 2 cos 2 coscos2 sin 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 cos , sin 2 cos ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = −+ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + = rrr xuvvu x r v r u 变量代换的雅可比行列式 α θαθα θαθα αθ sin 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos sin 1 ),( ),( 2 r r r r vu = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + =∂ ∂ 计算 J的积分 { } 2 1 0 2 2 2 1 sin2/ sin sin 2/exp x x drdrrJ − −= −= −= − ∞ − −− ∫ ∫ π α απ θα απ απ 计算 J dx d ( ) ( ) 2/32 12 2 1 1 sin2/1 1 sin2/ x xxx x x dx dJ dx d − ++−= − −= − − π π 利用上述结果有 ( ) ( ) ( ) πφφ β βπββ σπ φφ ξ 2)(),(0 1 sin2/1 )2( )](),([ 21 2/32 12/12 42 2/1 21 ≤≤ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − ++−= − tt ttf B 其中， ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1/ 22 2 1 2 1( )cos ( ) ( ) ( )sin ( ) ( ) (0) 1 ( ) ( ) cos ( ) ( ) (0) ( ) ( ) c c c s c c c s c s c c x x x x x x x x x x x x R t t R t t R R R t t R tg R R ξξ ξξ β τ φ φ τ φ φ τ τ φ φ φ φ τ τ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ = 两个时刻相位和两个时刻包络的分布不是统计独立的： 比较两个时刻包络和相位的联合概率密度、一个时刻包络和相位的联合概率密度、 两个时刻包络的概率密度、两个时刻相位的概率密度，可以确认两个时刻相位分布 是不独立的，两个时刻包络的分布是不独立的。