考研数学求极限方法小结

一．求极限方法小结 极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念. 有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型. 1.1.1.1. 知识要点 （1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限. （10） 利用罗必达法则求极限. （11）利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13） 利用Taylor 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求极限. 2222．典型例子 例 1111：设 ⋯⋯ ,12,,12,2 1 1 21 n n x x x xx +=+== + 求证： n n x ∞→ lim 存在，并求其值 . )21( + 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ： 例 2222：求 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ + + +∞→ nnnnn 222 1 2 1 1 1 lim ⋯ （答案：1111） 例 3333：求 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ + + +∞→ n n n nn n 1 2 1 2 )1( 1 )1( 1 1 1 lim ⋯ （答案：1111） 例 4444：求 n n n 2642 )12(531 lim ⋯ ⋯ ⋅⋅ −⋅⋅ ∞→ （答案：0000） 例 5555：求 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− ∞→ x xx x 1 1lnlim 2 （答案： 2 1 ） 例 6666： x x xcoslim 0+→ （答案： 2 1 − e ） 例 7777：求常数 c ，使 dtte cx cx c t x x ∫ ∞− ∞→ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 2lim （ 2 5 =c ） 例 8888：已知 ⋯⋯ , 1 1,, 1 1,1 1 1 1 1 21 + += + +== − − n n n x x x x x xx ,证明数列 }{ n x 收敛，并求出 此数列的极限. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 51 例 9999：设 )0( 3 )1(3 ,0 10 ≥+ + => + n x x xx n n n ，求 n n x ∞→ lim （答案： 3） 例 10101010：求 1 tan1tan1 lim 0 − −−+ → xx e xx （答案：1111） 例 11111111：求 xx xxxx x cossec )1ln()1ln( lim 22 0 − +−+++ → （答案：1111） 例 12121212:::: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + → x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 （答案：1111） 例 13131313：设 xxxgtdtxf x 67 0 2 sin)(,tan)( 2 +== ∫ ，证明：当 0→x 时， )(xf 与 )(xg 是 同阶无穷小量. 例 14141414： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x 2 20 cot 1 lim （答案： 3 2 ） 例 15151515：求 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + +∞→ n nn n n n n 1 sin 2 1 2 sin 1 sin lim π ππ ⋯ （答案： π 2 ） 例 16161616：求 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++ ++ ++ + ++∞→ nnn n n n nn n nn n n 222 sin 2 2 sin2 1 1 sin1 lim ⋯ （答案： 1cos1sin − ） 例 17171717：设 )(xf 在原点的邻域内二次可导，且 0 )(3sin lim 230 =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → x xf x x x ，求 )0("),0('),0( fff 及 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → 220 )(3 lim x xf x x （答案： 2 9 ,9,0,3− ） 例 11118888：设 )(xf 在 0=x 的某邻域内具有二阶导数，且 3 1 0 )( 1lim e x xf x x x =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ → ，求 )0(''),0('),0( fff 及 x x x xf 1 0 )( 1lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → . （ 答 案 ： 4)0('',0)0(',0)0( === fff ， 2 1 0 )( 1lim e x xf x x =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → ） 例 19191919：设 }{ n a ， }{ n b ， }{ n c 均为非负数列，且 0lim = ∞→ n n a ， 1lim = ∞→ n n b ， ∞= ∞→ n n clim ， 则必有 )(A nn ba < 对任意 n成立； )(B nn cb < 对任意 n成立； )(C 极限 nn n ca ∞→ lim 不存在； )(D 极限 nn n cb ∞→ lim 不存在. （2003年数学一） 例 20202020：已知 01 1 lnarctan2 lim 0 ≠=− + − → c x x x x p x ，求 cp, （答案： 3 4 ,3 −== cp ） 例 21212121：设函数 )(xf 在 0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且 0)0( ≠f ， 0)0(' ≠f ， 0)0('' ≠f . 证 明 ： 存 在 惟 一 的 一 组 实 数 321 ,, λλλ ， 使 得 当 0→λ 时 ， )0)3()2()( 321 fhfhfhf −++ λλλ 是比 2 h 高阶的无穷小. 例 22222222：求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ++→ )1ln( 1 )1ln( 1 lim 20 x xx x （答案： 2 1 − ） 例 23232323：已知当 0→x 时 ∫− 2 0 22 cos x dttx 与 k Ax 是等价无穷小，求常数 A和 k .（答案： 10, 10 1 == kA ） 例 24242424：设函数 )(xf 在 ),( +∞−∞ 内单调有界， }{ n x 为数列，下列命题正确的是 )(A 若 }{ n x 收敛，则 )}({ n xf 收敛. )(B 若 }{ n x 单调，则 )}({ n xf 收敛. )(C 若 )}({ n xf 收敛, 则 }{ n x 收敛. )(D )}({ n xf 若单调，则 }{ n x 收敛. ((((答案：B)B)B)B) （2008年数学一） 例 25252525：求极限 40 sin)]sin(sin[sin lim x xxx x − → （答案： 6 1 ）（2008年数学一） 例 26262626：(I)证明:对任意的正整数 n ,都有 nnn 1 ) 1 1ln( 1 1 <+< + (II)设 ),2,1( 1 2 1 1 ⋯⋯ =+++= n n a n ,证明数列 }{ n a 收敛. （2011年数学一、二） 翡翠棋牌 www.ddzfc.com 收集