中考总复习平面直角坐标系与一次函数反比例函数知识讲解基础

让的孩子得到更教育中考总复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解（基础）撰稿：新审稿：【考纲要求】⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点地址：市西城区新德街20号4层：传真：第1页共14页让的孩子得到更教育点P(x,y)在第一象限yx0,0；点P(x,y)在第二象限yx0,0；点P(x,y)在第三象限yx0,0；点P(x,y)在第四象限yx0,0；点P(x,y)在x轴上y=0，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上x=0，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x；（3）点P(x,y)到原点的距离等于+yx22.要点诠释：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点二、函数1.函数的概念设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示⑴法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）地址：市西城区新德街20号4层：传真：第2页共14页让的孩子得到更教育1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质b一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和(−,0)点的一条直线．k①当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．地址：市西城区新德街20号4层：传真：第3页共14页让的孩子得到更教育要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k0）中的k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykx+=b（k0）中的k和b.解这类问题的是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质k（1）定义：地，形如y=（k为，ok）的函数称为反比例函数.xk三种形式：y=(k≠0)或y=kx−1(k≠0)或xy=k(k≠0).x（2）反比例函数式的特征：①等号左边是函数y，等号右边是一个分式.分子是不为零的k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1；②比例系数k0；③自变量x的取值为一切非零实数；④函数y的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.k②反比例函数的图象是双曲线，y=（k为，k0）中自变量x0，函数值y0，所x以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是=xy和−=xy）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.kk④反比例函数y=（k0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y=（k0）上任意xx点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为k.（4）反比例函数性质：反比例ky=(k0)函数xk的符号k>0k<0地址：市西城区新德街20号4层：传真：第4页共14页让的孩子得到更教育图像①x的取值范围是x0，①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别②当k<0时，函数图像的两个分支分别性质在第一、三象限.在每个象限内，y在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.随x的增大而增大.（5）反比例函数式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出k）（6）“反比例”与“反比例函数”：k成反比例的式不一定是反比例函数,但是反比例函数y=中的两个变量必成反比例.x要点诠释：（1）用待定系数法求式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的.【典型例题】类型一、坐标平面有关的计算1．已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.(1)A，B两点关于y轴对称；(2)A，B两点关于原点对称；(3)AB∥x轴；(4)A，B两点、三象限的角平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数；（2）关于原点对称，x变为相反数，y变为相反数；（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可；（4）在一、三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标相等，即可得出a，b．【与】(1)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于y轴对称，则a＝-8且b＝-5．(2)点A(a，-5)，B(8，b)两点关于原点对称，则a＝-8且b＝5．(3)AB∥x轴，则a≠8且b＝-5．(4)A，B两点、三象限的角平分线上，则a＝-5且b＝8．【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华】运用对称点的坐标之间的是解答本题的关键．在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．举一反三：地址：市西城区新德街20号4层：传真：第5页共14页让的孩子得到更教育【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．(1)如果B为x轴上一点，且AB=10，求B点的坐标；(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，AD=5，求D点的坐标．【】22(1)设B(x，0)，由勾股定理得AB=(x+2)+(0+1)=10．x1＝-5，x2＝1．经检验x1＝-5，x2＝1均为原方程的解．∴B点的坐标为(-5，0)或(1，0)．(2)设C(0，y)，∵OC＝3，∴C点的坐标为(0，3)或(0，-3)．∴由勾股定理得AC=(−2)22+(3+1)=25；或AC=22．1(3)设D(x，2x-1)，AD＝5，由勾股定理得(2)(211)5xx++−+=22x=，x=−1．1521经检验，x=，x=−1均为原方程的解．15213∴D点的坐标为(，−)或(-1，-3)．552．已知某一函数图象．(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；(2)求当x＝0时，y的对应值；(3)求当y＝0时，x的对应值；(4)当x为，函数值最大；(5)当x为，函数值最小；(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．【思路点拨】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.【与】(1)x的取值范围是-4≤x≤4，y的取值范围是-2≤y≤4；(2)当x＝0时，y＝3；(3)当y＝0时，x＝-3或-1或4；地址：市西城区新德街20号4层：传真：第6页共14页让的孩子得到更教育(4)当x＝1时，y的最大值为4；(5)当x＝-2时，y的最小值为-2；(6)当-2≤x≤1时，y随x的增大而增大；(7)当-4≤x≤-2或1≤x≤4时，y随x的增大而减小．【总结升华】本题主要是培养学生的识图能力．举一反三：【变式1】下图是韩早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩家的位置，则韩散步行走的路线可能是()【】理解题意，读图获取是关键，由图可知某段时间内韩离家距离是，联想到韩是在家为圆心的弧上散步，分析四个选项知D项符合题意．：D【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（点名称）：例1】【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是()．【】C.类型二、一次函数3．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．地址：市西城区新德街20号4层：传真：第7页共14页让的孩子得到更教育（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．【思路点拨】观察图形理解每一段图象的内涵.【与】解：（1）由图象，得：小明骑车速度：10÷0.5=20（km/h）.在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）.（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）如图，设直线BC式为y=20x+b1，把点B（1，10）代入得b1=﹣10.∴直线BC式为y=20x﹣10①.设直线DE式为y=60x+b2，4把点D（，0）代入得b2=﹣80.3∴直线DE式为y=60x﹣80②.联立①②，得x=1.75，y=25.∴交点F（1.75，25）.答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km.地址：市西城区新德街20号4层：传真：第8页共14页让的孩子得到更教育（3）一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10得：，∵∴∴m=30．二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n=5∴从家到乙地的路程为5+25=30（km）．【总结升华】考查一次函数图象和应用，直线上点的坐标与方程的.举一反三：【高清课程名称：平面直角坐标系与一次函数高清ID号：406069关联的位置名称（点名称）：例6】【变式1】(1)直线y＝2x+1向下平移2个，再向右平移2个后的直线的式是________.(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的式是________；直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的式是_________；直线y＝2x+1关于原点对称的直线的式是_________．(3)，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的式是________．【】(1)y＝2x-5；(2)y＝-2x-1，y＝-2x+1，y＝2x-1；(3)y＝2x-2．【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，将向当地居民送水．那么应开始送水的号数为()A．23B．24C．25D．26地址：市西城区新德街20号4层：传真：第9页共14页让的孩子得到更教育【】：设图中直线式为y＝kx+b，101kb8+=,将(10，18)，(15，15)代入式得15kb15+=,3k=−,35∴yx=−+24．5b=24,31由题意知，−+x2410，x23，∴送水号数应为24．53：B类型三、反比例函数24．已知函数y=和y＝kx+1(k≠0)．x(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】2y=（1）因为这两个函数的图象都经过点（1，a），所以x=1，y=a是方程组xykx=+1的解，代入可得a和k的值；2（2）要使这两个函数的图象总有公共点，须方程组有解，即=+kx1有解，x根据判别式△即可求出K的取值范围．【与】(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，地址：市西城区新德街20号4层：传真：第10页共14页让的孩子得到更教育2a=,a=2,∴1∴k=1.ak=+1,2(2)将y=代入yk=+x1，消去y，得xkxx2+−=20，∵k≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．1∴1+8k≥0，k−．81∴k−且k≠0．8【总结升华】反比例函数与一次函数交点问题，要把反比例函数与一次函数联立转化成一元二次方程，再通过根的判别式来．举一反三：5−k【变式】已知正比例函数yk=x（k为，k0）的图象与反比例函数y=（为，）x的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求两个函数图象的交点坐标；5−k（2）若点Axy()，，Bxy()，是反比例函数y=图象上的两点，且xx，试比较yy，的1122x1212大小．【】5−k（1）由题意，得2k=，2k=1．4所以正比例函数的表为yx=，反比例函数的表为y=．x4解x=，得x=2．由yx=，得y=2．x所以两函数图象交点的坐标为（2，2），(2−−2，)．4（2）因为反比例函数y=的图象分别在第一、三象限内，xy的值随x值的增大而减小，所以当xx120时，yy12．当0xx12时，yy12．44当xx120时，因为y1=0，y2=0，所以yy12．x1x2地址：市西城区新德街20号4层：传真：第11页共14页让的孩子得到更教育类型四、函数综合应用k5．如图，直线+−=bxy（b＞0）与双曲线y=（k＞0）在第一象限的一支相交于A、Bx两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且=PDPO.（1）试用、表示C、P两点的坐标；（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数式；（3）若△OAB的面积等于34，试求△COA与△BOD的面积之和.【思路点拨】（1）根据直线的式求得点D的坐标，再根据等腰三角形的性质即可求得点P的横坐标，进而根据双曲线的式求得点P的纵坐标；（2）①要求双曲线的式，只需求得xy值，显然根据△POD的面积等于1，即可求解；②由①中的式可以进一步求得点B的纵坐标，从而求得直线的式，然后求得点B的坐标，即可计算△COA与△BOD的面积之和．【与】（1）C（0，），D（，0）∵PO＝PDb2k∴=，y=2Pbb2k∴P（，）2b12k（2）∵S=1，有b=1，化简得：＝1POD2b1∴y=（x＞0）x（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），由SSSSCOA+BOD=COD−AOB得：111bybxb2−=+34，又y=−x+b得bxbbxb2−=+−+38)(，212222212y=−x+b2即b(x2−x1)=83得，再由1得x−bx+1=0，y=x地址：市西城区新德街20号4层：传真：第12页共14页让的孩子得到更教育2从而x1+x2=b，x1x2=1，从而推出4()(4)(bbb12=++−0)，所以b=4.故COASSBOD−=+348【总结升华】利用面积建立方程求式中的字母参数是常用.求两函数图像的交点坐标，即它们的式组成的方程组.举一反三：m【变式1】是一次函数y1＝kx+b和反比例函数y=的图象，观察图象写出y1＞y2时x的取2x值范围________．【】利用图象比较函数值大小时，要看对于同一个自变量的取值，哪个函数图象在上面，哪个函数的函数值就大，当y1＞y2时，-2＜x＜0或x＞3．：-2＜x＜0或x＞32【变式2】已知函数ymx=−(21)32m−，m为，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?【】(1)要符合题意，m需满足1210,m−m,22321.m−=m=1.∴m＝1．(2)欲符合题意，m需满足1m,2m−10,23m2−2=−1.3m=.33∴m=−．3n+116．已知直线l:y=−x+(n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线l:y=−2x+1与x轴nnn1地址：市西城区新德街20号4层：传真：第13页共14页让的孩子得到更教育和y轴分别交A1和B1，设△A1OB1(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S1；当n＝2时，直线31lyx:=−+与x轴和y轴分别交A2和B2，设△A2OB2的面积为S2，…，依此类推，直线l与x222n轴和y轴分别交An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn．(1)求△AOB11的面积S1；(2)求S1+S2+S3+…+S6的面积．【思路点拨】此题是一道规律探索性题目，先根据函数式的通项公式得出每一个函数式，画出图象，总结出规律，便可解答．【与】1解：直线l:y=−2x+1，∴OB=1，OA=．11121111（1）SOBOA===1．1211224n+11（2）由yx=−+得，nn11A(0),，(0,B).nnn+1n11OAOB==,,nnn+1n1111S△==,AnnOB2nn+12nn(+1)11SS12==,,2122231111S+S+SS++=++++123621222323426711111=+++()+21223346711=−(1)273=.7【总结升华】借助直觉思维或对问题的整体把握运用归纳、概括、推理等思想获得合理的猜测．地址：市西城区新德街20号4层：传真：第14页共14页