7.函数与方程

函数与方程 1.1.1.1.函数零点的定义 (1)(1)(1)(1)对于函数yyyy＝f(x)(xf(x)(xf(x)(xf(x)(x∈D)D)D)D)，把使 成立的实数xxxx叫做 函数yyyy＝f(x)(xf(x)(xf(x)(xf(x)(x∈D)D)D)D)的零点.... (2)(2)(2)(2)方程f(xf(xf(xf(x))))＝0000有实根 函数yyyy＝f(xf(xf(xf(x))))的图象与 有交点  函数yyyy＝f(xf(xf(xf(x))))有 .... f(xf(xf(xf(x))))＝0000 xxxx轴 零点 基础知识 [思考探究1] 　　函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点 吗？ 提示：不是.函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x) 的图象与x轴交点的横坐标. 2.2.2.2.函数零点的判定 如果函数yyyy＝f(xf(xf(xf(x))))在区间[a[a[a[a，b]b]b]b]上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有 ，那么函数yyyy＝f(xf(xf(xf(x))))在区间 内有零点，即存在cccc∈(a(a(a(a，b)b)b)b)，使得 ，这个 也就是方 程f(xf(xf(xf(x))))＝0000的根. . . . f(a)f(a)f(a)f(a)····f(bf(bf(bf(b))))＜0000 (a(a(a(a， b)b)b)b) f(cf(cf(cf(c))))＝0 0 0 0 cccc [[[[思考探究2]2]2]2] (1)(1)(1)(1)在上面条件下，(a(a(a(a，b)b)b)b)内有几个零点？ 提示：不一定....如函数f(xf(xf(xf(x))))＝xxxx2222－1111在[[[[－2,2]2,2]2,2]2,2]内有两个零 点，但f(2)f(2)f(2)f(2)····f(f(f(f(－2)2)2)2)＞0.0.0.0. 提示：不一定，可能有一个，也可有多个.... (2)(2)(2)(2)若函数f(xf(xf(xf(x))))在[a[a[a[a，b]b]b]b]内有零点，一定有f(a)f(a)f(a)f(a)····f(bf(bf(bf(b))))＜0000吗？ 3.3.3.3.二次函数yyyy＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋c(ac(ac(ac(a＞0)0)0)0)的图象与零点的关系 Δ Δ Δ Δ ＞0000 ΔΔΔΔ＝0000 ΔΔΔΔ＜0000 二次函数 yyyy＝axaxaxax2222＋bxbxbxbx＋ cccc (a(a(a(a＞0)0)0)0)的图象 与xxxx轴的 交点 零点个数 (x(x(x(x1 1 1 1 ， 0)0)0)0)，(x(x(x(x2 2 2 2 ， 0)0)0)0) (x(x(x(x1111 ，0)0)0)0) 无交点 两个 一个 零个 4.4.4.4.用二分法求函数f(xf(xf(xf(x))))零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a[a[a[a，b]b]b]b]，验证 ，给定精确ε； 第二步，求区间(a(a(a(a，b)b)b)b)的中点xxxx1111； 第三步，计算 ： ①若 ，则xxxx1111就是函数的零点； ②若 ＜0000，则令bbbb＝xxxx1111((((此时零点xxxx0000∈(a(a(a(a，xxxx1111))))))))； ③若 ，则令aaaa＝xxxx1111((((此时零点xxxx0000∈(x(x(x(x1111，b))b))b))b))； 第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a|a|a|a－b|b|b|b|＜ε，则得到 零点近似值a(a(a(a(或b)b)b)b)；否则重复第二、三、四步.... f(a)f(a)f(a)f(a)····f(bf(bf(bf(b))))＜0000 f(xf(xf(xf(x1111)))) f(xf(xf(xf(x1111))))＝0000 f(a)f(a)f(a)f(a)····f(xf(xf(xf(x1111)))) f(b)f(b)f(b)f(b)····f(xf(xf(xf(x1111))))＜0000 1.1.1.1.下图的函数图象与xxxx轴均有交点，但不宜用二分法求交 点横坐标的是 ((((　　)))) 解析：因为BBBB选项中，xxxx0000两侧的符号相同，所以无法用 二分法求交点的横坐标.... 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：BBBB 实战练习 2.2.2.2.若函数f(xf(xf(xf(x))))唯一的零点同时在区间(0,16)(0,16)(0,16)(0,16)，(0,8)(0,8)(0,8)(0,8)，(0,4)(0,4)(0,4)(0,4)， (0,2)(0,2)(0,2)(0,2)内，那么下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 正确的是 ((((　　)))) A.A.A.A.函数f(xf(xf(xf(x))))在区间(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)内有零点 B.B.B.B.函数f(xf(xf(xf(x))))在区间(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)或(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)内有零点 C.C.C.C.函数f(xf(xf(xf(x))))在区间[2,16)[2,16)[2,16)[2,16)上无零点 D.D.D.D.函数f(xf(xf(xf(x))))在区间(1,16)(1,16)(1,16)(1,16)内无零点 解析：∵函数f(xf(xf(xf(x))))唯一零点同时在区间(0,16)(0,16)(0,16)(0,16)，(0,8)(0,8)(0,8)(0,8)， (0,4)(0,4)(0,4)(0,4)，(0,2)(0,2)(0,2)(0,2)内，∴函数f(xf(xf(xf(x))))唯一零点必在区间(0,2)(0,2)(0,2)(0,2)内.... 答案：CCCC 3.3.3.3.函数f(xf(xf(xf(x))))＝πxxxx＋loglogloglog2222xxxx的零点所在的区间为 ((((　　)))) A.[0 A.[0 A.[0 A.[0， ]]]]　　　　　　　 B.[ B.[ B.[ B.[ ， ]]]] C.[ ] D.[ ,1] C.[ ] D.[ ,1] C.[ ] D.[ ,1] C.[ ] D.[ ,1] 解析：因为选项中只有f( )f( )f( )f( )····f( )f( )f( )f( )＜0000，所以函数的零 点所在的区间为[ ].[ ].[ ].[ ]. 答案：CCCC 4.4.4.4.已知函数f(xf(xf(xf(x))))＝4444xxxx＋mmmm····2222xxxx＋1111有且只有一个零点，则实 数mmmm的值为　　　　.... 解析：由题知：方程4444xxxx＋mmmm····2222xxxx＋1111＝0000只有一个零点.... 令2222xxxx＝t(tt(tt(tt(t>0)>0)>0)>0)， ∴方程tttt2222＋mmmm····tttt＋1111＝0000只有一个正根， ∴由图象可知 ∴mmmm＝－2.2.2.2. 答案：－2222 函数零点的存在性问题常用的方法有： (1)(1)(1)(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断.... (2)(2)(2)(2)用定理：零点存在性定理.... [[[[特别警示]]]]　如果函数yyyy＝ffff((((xxxx))))在[[[[aaaa，bbbb]]]]上的图象是连续不 断的曲线，且xxxx0000是函数在这个区间上的一个零点，但 f f f f((((aaaa))))ffff((((bbbb))))＜0000不一定成立.... (3)(3)(3)(3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数yyyy＝ f f f f((((xxxx))))，yyyy＝gggg((((xxxx))))图象，其交点的横坐标是ffff((((xxxx))))－gggg((((xxxx))))的零点.... 判断下列函数在给定区间是否存在零点.... (1)(1)(1)(1)ffff((((xxxx))))＝xxxx2222－3333xxxx－18181818，xxxx∈[1,8][1,8][1,8][1,8]； (2)(2)(2)(2)ffff((((xxxx))))＝xxxx3333－xxxx－1111，xxxx∈[[[[－1,2]1,2]1,2]1,2]； (3)(3)(3)(3)ffff((((xxxx))))＝loglogloglog2222((((xxxx＋2)2)2)2)－xxxx，xxxx∈[1,3][1,3][1,3][1,3]； [[[[课堂笔记]]]]　(1)(1)(1)(1)∵ffff(1)(1)(1)(1)＝－20<020<020<020<0，ffff(8)(8)(8)(8)＝22>022>022>022>0， ∴ffff(1)(1)(1)(1)····ffff(8)<0(8)<0(8)<0(8)<0， 故ffff((((xxxx))))＝xxxx2222－3333xxxx－18181818，xxxx∈[1,8][1,8][1,8][1,8]存在零点.... (2)(2)(2)(2)∵ffff((((－1)1)1)1)＝－1<01<01<01<0，ffff(2)(2)(2)(2)＝5>05>05>05>0， ∴ffff((((－1)1)1)1)····ffff(2)<0(2)<0(2)<0(2)<0， 故ffff((((xxxx))))＝xxxx3333－xxxx－1111，xxxx∈[[[[－1,2]1,2]1,2]1,2]存在零点.... (3)(3)(3)(3)∵ffff(1)(1)(1)(1)＝loglogloglog2222(1(1(1(1＋2)2)2)2)－1>log1>log1>log1>log22222222－1111＝0000， f f f f(3)(3)(3)(3)＝loglogloglog2222(3(3(3(3＋2)2)2)2)－3 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 的常规考法.09.09.09.09年广东高考将函数的零 点与二次函数、导数等内容相结合考查了函数零点的 应用，是一个新的考查方向.... 1.1.1.1.函数ffff((((xxxx))))＝ 的零点有 ((((　　)))) A.0 A.0 A.0 A.0个　　　　　　　　 　　B.1B.1B.1B.1个 C.2 C.2 C.2 C.2个 D.3D.3D.3D.3个 解析：由ffff((((xxxx))))＝ ＝0000得：xxxx＝1111， ∴ffff((((xxxx))))＝ 只有一个零点.... 答案：BBBB 解析：ffff( )( )( )( )＝ ＋1>01>01>01>0，ffff(1)(1)(1)(1)＝ －0>00>00>00>0， f f f f(e(e(e(e))))＝ －1<01<01<01<0，∵ffff′′′′((((xxxx))))＝ － ＝ ， ∴当ffff((((xxxx))))在(0,3)(0,3)(0,3)(0,3)上是减函数....根据闭区间上根的存在性 定理与函数的单调性.... 答案：DDDD 2.2.2.2.若函数ffff((((xxxx))))＝axaxaxax2222－xxxx－1111仅有一个零点，求实数aaaa的取 值是　　.... 解析：若aaaa＝0000，则ffff((((xxxx))))＝－xxxx－1111为一次函数，易知函数 仅有一个零点；若aaaa≠0000，则函数ffff((((xxxx))))为二次函数，若其 中有一个零点，则方程axaxaxax2222－xxxx－1111＝0000仅有一个实数根， 故 判别式Δ＝1111＋4444aaaa＝0000，得aaaa＝－ ....综上可知aaaa＝0000 或aaaa＝ － .... 答案：0000或－ 3. 3. 3. 3. mmmm为何值时，函数ffff((((xxxx))))＝xxxx2222＋2222mxmxmxmx＋3333mmmm＋4444，有且仅有一 个零点？ 解：若函数ffff((((xxxx))))＝xxxx2222＋2222mxmxmxmx＋3333mmmm＋4444有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4444mmmm2222－4(34(34(34(3mmmm＋4)4)4)4)＝0000， 即4444mmmm2222－12121212mmmm－16161616＝0000，即mmmm2222－3333mmmm－4444＝0000， 解得mmmm＝4444或mmmm＝－1.1.1.1.