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第一讲、对集合的理解及集合思想应用的问题
一、1、集合语言是一种特殊的符号语言,是现代数学的基本语言,所以要学好高中的数学,首先必须深层次的理解集合的概念及其内涵,跟我们生活是一样的,如果连语言都不通的话,就跟谈不上很好的交流和表达了。
2、《集合》的学习,不仅仅局限与集合里面简单的计算,而需要更深层次的理解集合思想内涵,许多同学在学习集合,在学习高中数学的时候,有种“力不从心”的感觉,总是“一看就会,一听就懂,一做就错”,很大程度上是因为没有真正理解其中的思想内涵,仅仅是停留在表面的理解。
3、集合是个原始概念,只作描述性的解释:若干个确定对象的全体,可以看作一个集合,组成集合的对象称为集合的元素。从这个概念,至少可以看到三个研究方向:集合中元素的研究;单个集合本身的研究;若干个集合之间关系的研究(函数就是两个集合之间按照一定规则的对应关系)。
透过集合的描述法理解集合。对于用描述法给出的集合{x|x∈P}
翻译,高中数学的学习,要注意自然语言,符号语言,图像语言……之间的相互转化。代表元素x可以翻译成:是什么?它所具有的性质P可以翻译成:有多少?
研究两个集合之间的关系,也就可以通过研究集合里面元素之间的关系来解决。
形式:对于性质P,在数学语言中,代表着一种形式,也就是说,只要满足这样形式的个体x,则可以看着是集合的元素。在许多的数学题型中,需要对数学表达式进行变形,变成我们需要或者是熟悉的能够解决问题的形式。如:
,
的最小值,这里有两种方式:1、用消元法,2、讲
即:
=原式,这里显然
方法
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第二种形式要简洁一些。
如:
,
(1)判断集合
的关系
(2)证明
之间的关系
解析:(1)这作为一个判断题目,可以通过对集合的翻译研究他们之间的关系
对集合A:1、x:数——2、奇数——3、观察,x可以去到……-3,-2,1,3……——4、A集合为全体奇数,同理:B集合也是全体奇数,故:A=B
要证明A=B,即需要证明A,B互为彼此的子集,即
,这里也就需要证明A中的元素能够表示成B中元素具有的形式P的形式,反之亦然。
证明:一方面:任取:
(下面需要写成4的整数倍
的形式)
1、若
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
2、若
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
另一方面:任取:
1、若
2、若
综上:A=B
注:代表元:
1、在集合中,字母只是一个代号,不同集合中相同的字母不一定代表相同的含义或者相同的数字。
不同的字母可以表达相同的含义,如
是同一个方程。
这涉及到后面的换元法。
整体思想。从上面的例题,我们不难发现,在研究两个集合的关系的时候,事实上,我们需要将两个集合看成不同的整体,在换元法中,我们常常将一个表达式看成整体,这样可以使得运算和解答变得简洁。
透过文氏图看数形结合。数行结合许多时候能够将复杂的东西简单化。如,在命题中,命题P:我们都去看电影,那么非P是_________________
刚刚开始学习时候会觉得这个题目有点绕,因为在我们自然语言中,一般的理解方式是:非P为__我们都不去看电影,但是这答案是错误的。
通过图形理解:P应该是
,所以:非P应该是
,即,我不去看电影或者你不去看电影(或者写成我们之间至少有一个人不去看电影),事实上:
,这里其实蕴含着分类讨论的思想。
如:
用形式转化,设
转化为三角函数的最值(通过辅助角公式)
用数形结合,
注:翻译,包括:文字(自然语言),数学表达式,图形(包括示意图,或者自己便于理解构造的图形符号)之间的相互转化。
透过差集对看“拆分”。在数学的许多模型中,我们需要对原来的数学表达式,进行拆分,以便于计算或者与题目的已知条件联系起来。
如:
,证明
为增函数
解析:证明函数的单调性,我们一般用定义,按照格式:
(若题目告知
,可以拆分
,有时候需要利用商的形式进行拆分)……
如,研究
的性质,用到分子常数化
=
定义域:
值域:
渐近线:
单调区间:单调减区间:
(因为不连续,所以这里不能用并)
对称中心:
集合之间关系与命题的联系。
1、
2、
3、
例题讲解:
设集合
属于M的两个整数,其积是否仍属于M,为什么?
9,10是否属于M,为什么?
解析:(1)考察了对集合的翻译:M:所有能写成两个整数平方差的数,要证明一个数在M内,需要证明:1、是整数,2、能写成两个整数平方差的形式
任取
,则
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
(2)涉及到具体的数字,1、若能够找到集合要求的两个整数,即在M中,2、若找不到,可以用反证法。
假设
,
,显然两方程组无整数解,所以
,
若
,求
的取值
解析:对集合意义的理解,数形结合,分类讨论。
对A:直线
上去掉(1,2)剩下的点构成的点集。
对B:是一直线,或者是
(这里用到直线的表达式:
)
、
两直线平行
(斜率相同)
,写出两直线,说明不重合。满足题意
(1,2)
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
3、设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}
(1)求证
A
B;
(2)如果A={-1,3},求B
解析:(1)用定义证明即可:证明
任取x0∈A
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
x0=f(x0)
即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A
B
(2)证明
∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p-1)x+q=0有两根-1和3,应用韦达定理,得
∴f(x)=x2-x-3
于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x
x=1,3,
,-
HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/"
故B={-
,-1,
,3}
4、已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠
,求实数m的取值范围
解析:已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠
,求实数m的取值范围
解
翻译:∵A∩B≠
,∴
x2+(m-1)x+1=0[0,2]上至少有一个实数解
方法一,利用根与系数的关系:Δ=(m-1)2-4≥0,
m≥3或m≤-1,
(1)若m≥3,x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知,方程只有负根,不符合要求
(2)当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①只有正根,且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内
故所求m的取值范围是m≤-1
方法二,参变量分离
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT (这里考察了双钩函数的值域问题)
练习题:
,
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
已知集合
,求
设
已知
若
是否属于Z
当
可以表示成两个有理数的平方和
5、设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=
,证明此结论
八、参考答案:1,不存在;2,{(9,14)};3,
;4,略;5,
1
数学的学习,需要正确的方法和专注的精神
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