2013届高三数学一轮复习教案（圆锥曲线）

圆锥曲线综合复习 2012 圆锥曲线 一、轨迹方程 1、求轨迹方程的几个步骤：（建-设-列-化-证） a.建系（建立平面直角坐标系,多数情况此步省略） b.设点（求哪个点的轨迹，就设它（x,y）） c.列式（根据条件列等量关系） d.化简（化到可以看出轨迹的种类） e.证明（改成：修正）（特别是①三角形、②斜率、③弦的中点问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ） 2、求动点轨迹方程的几种方法 a.直接法：题目怎么说，列式怎么列。 b.定义法：先得到轨迹名称 c.代入法（相关点法）:设所求点（x，y）另外点（ ）找出已知点和所求点的关系 c.参数法：（x,y）中x,y都随另一个量变化而变化—消参 e.待定系数法：先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程 例题 一：定义法 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。 例1：已知 的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 求点C的轨迹。 【解析】由 可知 ，即 ，满足椭圆的定义。令椭圆方程为 ，则 ，则轨迹方程为 （ ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 圆：到定点的距离等于定长 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。 【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。 。 ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆O： 外切，而与圆C： 内切，那么动圆的圆心M的轨迹是： A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。 二：直接法 此类问题重在寻找数量关系。 例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？ 解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM= M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直接法有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即 ），求动点P的轨迹方程？ 【解答】∵|PA|= 代入得 化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 三：参数法 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。 例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解析】 分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。 解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０） ∵M为AB的中点， 消去k，得x＋2y－5＝0。 另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。 分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。 解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1， 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。 【点评】 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直接法，运用了kPA·kPB＝－1， 这些等量关系。。 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。 解法一：“几何法” 设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC, 所以|OM | ２＋|ＭＡ|２　＝|ＯＡ| ２　， 即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16 化简得：（x－2）2+ y2 =4................................① 由方程 ① 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。 解法二：“参数法” 设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*), 由点M为BC的中点，所以x= ...............(1) , 又OM⊥BC，所以k= .................(2) 由方程（1）（2） 消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤ ,所以x＜1. 所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。 四：代入法 例4. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x－2a，2y） 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【变式4】P是椭圆 =1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ） A、 B、 C、 D、 =1 【答案】：B 【解答】:令中点坐标为 ,则点P 的坐标为( 代入椭圆方程得 ,选B 五、待定系数法 1. 求圆心在直线 上，过点 且与直线 相切的圆的方程。 2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点 ， ，求椭圆的方程。 3. 已知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且过点 ，求双曲线的方程。 二、方程识别 1、当m,n满足什么条件时，方程 分别表示圆、椭圆、双曲线？ 2． 时，讨论方程 表示何种曲线。 解：（1）当 时，方程为 ，表示过原点的两条相交直线。 （2）当 时， ， ， ，方程为 ，表示焦点在 轴上的双曲线。 （3）当 时， ， ， ， 方程为 ，表示焦点在 轴上的双曲线。 （4）当 时，方程为 ，表示两条平行直线。 （5） 时，若 ，方程变为 表示圆，当 时，方程为 表示焦点在 轴上的椭圆。 （6） 时，无轨迹。 （7） 时，方程为 ，表示焦点在 轴上的双曲线。 三、性质 名 称 椭 圆 双 曲 线 图 象 定 义 平面内到两定点 的距离的和为常数2 （2 ）的动点的轨迹叫椭圆.即 当2 ﹥2 时，轨迹是椭圆， 当2 =2 时，轨迹是一条线段 当2 ﹤2 时，轨迹不存在 平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数2 （ ）的动点的轨迹叫双曲线.即 当2 ﹤2 时，轨迹是双曲线 当2 =2 时，轨迹是两条射线 当2 ﹥2 时，轨迹不存在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方 程 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 两轴 长轴长2a，短轴长2b （长半轴a ，短半轴b） 实轴长2a，虚轴长2b （实半轴a ，虚半轴b） 关 系 （1） （符合勾股定理的） （2） 最大（可以 ） （1） （符合勾股定理的） （2） 最大（可以 ） 范围 焦点在x轴：－a≤x≤a，－b≤y≤b 焦点在y轴：－b≤x≤b，－a≤y≤a 焦点在x轴： 或 焦点在y轴： 或 对称 关于x轴、y轴和原点对称 焦点在x轴 焦点在y轴 双曲线 渐近线 即 即 备注：与 共渐近线的双曲线方程 － （ ）; 标准方程 图形 对称轴 焦点F 准线 x轴 ( ,0) x轴 (-,0) y轴 (0, ) y轴 (0,-) 例题 1．椭圆 的一个焦点是（0， 2），那么k= 1 。 2．与椭圆 共焦点，且过点（3，-2）的椭圆标准方程是 。 3.已知F1、F2是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1|(|PF2|的 最大值为 25 . 4．椭圆 的焦点F1、F2 ，过左焦点F1的弦AB的长为8，则 |AF2|+|BF2|= 12 。 5．椭圆 与双曲线 的焦点相同，则k= 2 。 6．双曲线 的渐近线为 ; 两渐近线夹角为 。 7．过点（-6，3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为 8、若双曲线 的一个焦点是（0，3），则k的值是 -1 。 9. 双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 。 10.与曲线 共焦点，而与曲线 共渐近线的双曲线方程为 11．抛物线 的焦点为 ，准线方程为 。 12、（2012.奉贤.6.）设双曲线 的渐近线方程为 ，则正数 的值为_______________ 13、（2012.闵行.文理.15.）抛物线 的准线方程是 （ ） （A） ． (B) ． (C) ． （D） ． 14、（2012.闵行.理.5.）椭圆 上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则 ． 15、（2012.嘉定.文理.8.）若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数的值为___________ 16、（2012.杨浦.文理.18.）若 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线 上，点 的坐标为(2，0)， 为 的平分线．则 的值为 ( )． 3 . 6. 9. 27. 四、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数 方法一 是方程的观点，即把曲线方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。 1、首先注意讨论直线方程的斜率是否存在，不存在时验证一下。 2、直线斜率存在时，点斜式方程写出直线方程，与圆锥曲线联立，先讨论二次项系数能不能为0。可以为0时，验证一下是否有解，若有解，这时一个交点，相交（若是双曲线，这时的直线与一条渐近线平行，若是抛物线，这时的直线与对称轴平行）。无解的话就是没有交点。 3、二次项系数不为0时， (1)相交： 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； (2)相切： 直线与双曲线相切； (3)相离： 直线与双曲线相离； 方法二是几何的观点（以双曲线为例） 直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条； 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. 例题 1．过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的取值范围是 . 2. 已知直线y=kx-1与双曲线 ,试列出实数 k需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点， 。 3．若对任意k(R，直线与双曲线总有公共点，则b范围 。 4．若方程x+k- =0只有一个解，则实数k的取值范围是_[-1，1） __。 5．过点P(3,4)与双曲线 只有一个交点的直线的条数为 （ C ） A．4 B. 3 C.2 D. 1 6. 过点P（0，1）与抛物线 只有一个公共点的直线方程为 。 7、如果直线 与椭圆 恒有公共点，求实数m的取值范围。 解： [1,5)( (5,+( ) 8. 已知两点M（—5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|—|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线：① ；② ；③ ；④ 其中为“B型直线”的是 （1），（2） （填上所有正确的序号）。 9．已知直线 与双曲线 交于 、 点。 （1）求 的取值范围； （2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值； （3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线 对称？若存在， 请求出的值；若不存在，说明理由。 解：（1）由 消去 ，得 （1） 依题意 即 且 （2） （2）设 ， ，则 ∵ 以AB为直径的圆过原点 ∴ ∴ 但 由（3）（4）， ， ∴ 解得 且满足（2） （3）假设存在实数 ，使A、B关于 对称，则直线 与 垂直 ∴ ，即 直线 的方程为 将 代入（3）得 ∴ AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点 不在直线 上，即不存在实数 ，使A、B关于直线 对称。 10. 已知双曲线方程为 与点P(1,2), （1）求过点P（1，2）的直线 的斜率 的取值范围，使直线与双曲线 有一个交点，两个交点，没有交点。 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点， 求直线AB的方程； （3）是否存在直线 ，使Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点？若存在， 求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率 存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠± 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜ ,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点. 综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点； 当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点； 当k＞时，l与C没有交点. （2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= =1 但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为： . (3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB==2 但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 五、距离问题 1、点与圆锥曲线的距离：一般通过两点间距离公式，转化为二次函数问题来解决，注意变量范围。特殊的，当该点为焦点时，椭圆这侧的长轴顶点到该点的距离最小，双曲线这侧的实轴顶点到该点的距离最小。抛物线一般转化为到准线的距离解决。 2、到定直线的距离：一般是通过作定直线的平行线与圆锥曲线相切来解决。 另外，通过参数方程也可以解决。 3、到圆上点的距离：一般转化为到圆心的距离加减半径。 例题 1．已知点P（4，-1），F为抛物线 的焦点，在此抛物线上求一点Q，使 |QP|+|QF|的值最小，则点Q的坐标 （ D ） （A）（0，0）； （B）（4， ）； （C）（4，- ）； （D）（ ，-1） 。 2．给出问题：F1、F2是双曲线 =1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的 距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确， 将正确的结果填在下面空格内.　　|PF2|=17　 。 3、（1）椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(). 那么点P到直线l的距离为： 　　　 4、已知M是椭圆 上的动点，N是圆 的动点， 求|MN|的最小值 解：先求M点到圆心的距离(利用二次函数求最值注意x的取值范围。 5、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 [解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，，的最小值为10-1-2=7 6、（2012.杨浦.文.12.）若点 是椭圆 上的动点，定点 的坐标为 ，则 的取值范围是 7、（2012.奉贤.文理.21.）已知直角坐标平面内点 ，一曲线 经过点 ，且 （1）求曲线 的方程； （2）设 ，若 ，求点 的横坐标的取值范围． 六、弦长、面积问题 1、弦长 若直线 与二次曲线的交点为A( )和B ( ) 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点 两点间距离 方法二：利用弦长公式： = = 方法三：（半弦长）2=（半径）2-（圆心到直线距离）2（—只适用于圆） 2、面积 （1）、普通三角形： （2）、焦点三角形：椭圆： ，双曲线： 例题 1．点P是双曲线 上一点，F1、F2是双曲线焦点，若(F1PF2=120o，则(F1PF2的面积 。 2. 经过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线与 、 两点，若|AB|=4, 则这样的直线存在的条数为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　B ） （A）４； （B）3；　　　　 （C）2； 　　　（D）１ 3．如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点， 则 ___28_ __, 4. 已知椭圆在x轴两焦点为F1、F2，且|F1F2|=14,P为椭圆上一点，∠F1PF2= ,ΔF1PF2的面积为13 ，求：椭圆的标准方程。 解：由题意 当焦点在x轴上时， 设椭圆标准方程为椭圆 则 |PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=13 且|PF1|2+|PF2|2-2|PF2||PF1|cos∠F1PF2=|F1F2|2 ∴|PF1|•|PF2|=52 且|PF1|2+|PF2|2=144 |PF1|+|PF2|=2 即a= 又c=7 b= ∴椭圆标准方程为 5、（2012.虹口.9.）过抛物线 的焦点作弦AB，点 ； 6、（2012.虹口.10.）已知双曲线 的左、右焦点分别为 在双曲线上，且 ，则点P到x轴的距离等于 ； 七、角的大小、垂直问题 1、角：借助向量，转化为坐标运算。 2、垂直问题：（1）斜率乘积为-1 （2）向量数量积为0. 3、与向量有关问题：转化为坐标运算 例题： 1. 直线 的右支交于不同的两点A、B. (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解：(1)将直线 ……① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 (2)设A、B两点的坐标分别为 、 ，则由①式得 ……② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）. 则由FA⊥FB得： 整理得 ……③ 把②式及 代入③式化简得 解得 可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点. 2． 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围. 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以 ，设 ，则 因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值 当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 （Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ， 联立 ，消去 ，整理得： ∴ 由 得： 或 又 ∴ 又 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ∵ ，即 ∴ 故由①、②得 或 八、几何意义： 常涉及距离和斜率，另外方程解的问题也会涉及，但要注意变量的范围。 1. 如果实数 满足方程 ，那么 的最大值为 （ D ） (A) (B) (C) (D) 2．若方程x+k-=0只有一个解，则实数k的取值范围是_[-1，1） __。 九、存在性问题 1、存在个数问题注意分类讨论，与向量有关的存在问题常转化为坐标运算。 2、涉及中点弦问题，用点差法。注意解好后验证判别式。 例题 1. 已知双曲线方程为 与点P(1,2), （1）求过点P（1，2）的直线 的斜率 的取值范围，使直线与双曲线 有一个交点，两个交点，没有交点。 (2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点， 求直线AB的方程； （3）是否存在直线 ，使Q（1，1）为 被双曲线所截弦的中点？若存在， 求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。 解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率 存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠± 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k= 时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜ ,又k≠± ,故当k＜－ 或－ ＜k＜ 或 ＜k＜ 时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞ 时，方程(*)无解，l与C无交点. 综上知：当k=± ,或k= ，或k不存在时，l与C只有一个交点； 当 ＜k＜ ,或－ ＜k＜ ,或k＜－ 时，l与C有两个交点； 当k＞ 时，l与C没有交点. （2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=4 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= =1 但渐近线斜率为± ,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为： . (3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= =2 但渐近线斜率为± ,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 2、（2012.奉贤.理.18.）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点 ，这样的正三角形有（ ） A．0个 B．2个 C．4个 D．1个 （2012.奉贤.文.18.）两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，这样的正三角形有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3、（2012.宝山.22.）已知椭圆的焦点 ，过 作垂直于 轴的直线被椭圆所截线段长为 ，过 作直线l与椭圆交于A、B两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求 的面积； （3）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值和直线 的方程；若不存在，说明理由． 4、（2012.黄浦.文理.21.）已知两点 、 ，点 是直角坐标平面上的动点，若将点 的横坐标保持不变、纵坐标扩大到 倍后得到点 满足 ． (1) 求动点 所在曲线 的轨迹方程； (2)(理科)过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 两点，且满足 ，又点 关于原点O的对称点为点 ，试问四点 是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． (文科)过点 作斜率为 的直线 交曲线 于 两点，且满足 (O为坐标原点)，试判断点 是否在曲线 上，并说明理由． 5（2012.杨浦.理.23.）已知 的三个顶点在抛物线 : 上运动， 1. 求 的焦点坐标； 2. 若点 在坐标原点， 且 ，点 在 上，且 ， 求点 的轨迹方程； 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为 的正三角形 ，若存在，求出这个正三角形 的边长，若不存在，说明理由. 十、对称问题 对称问题：垂直、平分。常常用到点差法。 例题 1、 若抛物线 上总存在关于直线 对称的两点，求 的范围 对称问题 解法一 判别式法（通法） 设抛物线 上以 为端点的弦关于直线 对称，且中点 ，设过 的直线方程为y=x+m则： 由 得： xm1=0 1+4a(m+1) >0 (1) 又x0= ,y0= x0+m= ,代人x+y=0得：m= (2) (2)代人（1）得：1+4a( +1) >0 . 解法二 点差法（通法） 设抛物线 上以 为端点的弦关于直线 对称，且以 为中点是抛物线 （即 ）内的点 从而有　 由 (1)-(2)得 　 ∴　 由 从而有　 2、若直线过M(-2,1),交椭圆 于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程． [解析] M(-2,1)，设，则 又，，两式相减得：， 化简得， 把代入得 故所求的直线方程为，即 所以直线l的方程为 ：8x-9y+25=0. 3、在抛物线=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围. [解析] （1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点． （2）当k≠0时，设抛物线y2=4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线 ，可设 代入y2=4x得 ， 在直线y=kx+3上， ， 代入得即 又恒成立，所以． 综合（1）（2），k的取值范围是（-1，0） 十一、新题型 一、探索性问题 1、（2012.嘉定.理.13.）如图，在平面直角坐标系中，椭圆（）被围于由条直线，所围成的矩形内，任取椭圆上一点，若（、），则、满足的一个等式是_______________． 二、新定义问题 1、（2012.青浦.21.）我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点 的距离和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线． （1）试求平面内到两个定点 的距离之商为定值 的点的轨迹；提示：取线段 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，设 的坐标分别为 其中 （2）若 中，满足 ，求三角形 的面积的最大值. 2、（2012.奉贤.文理.23.）出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如 的有序实数对，直线还是满足 的所有 组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。直角坐标系内任意两点 定义它们之间的一种“距离”： ，请解决以下问题： 1、（理）求线段 EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 上一点 的距离到原点 的“距离”； （文）求点 、 的“距离” ； 2、（理）定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形， 求“圆周”上的所有点到点 的“距离”均为 的“圆”方程； （文）求线段 EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT 上一点 的距离到原点 的“距离”； 3、（理）点 、 ，写出线段 的垂直平分线的轨迹方程并画出大致图像． （文）定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点 、 ， ，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图像； （说明所给图形小正方形的单位是1） 三、分层答题 1（2012.普陀.理.23.）设点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的 个不同的点 当 时，试写出抛物线 上三点 、 、 的坐标，时期满足 ； 当 时，若 ，求证： ； 当 时，某同学对（2）的逆命题，即：“若 ，则 ”开展了研究并发现其为假命题. 请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究： 试构造一个说明该命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）； 对任意给定的大于3的正整数 ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）； 如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分） 【评分说明】本小题若选择不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为该小题的最终得分。 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� X O Y F1 F2 P A B C D O y x � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 5 _1234568145.unknown _1234568273.unknown _1234568337.unknown _1234568369.unknown _1234568401.unknown _1234568417.unknown _1234568433.unknown _1234568441.unknown _1234568449.unknown _1234568453.unknown _1234568457.unknown _1234568459.unknown _1234568460.unknown _1234568461.unknown _1234568458.unknown _1234568455.unknown _1234568456.unknown _1234568454.unknown _1234568451.unknown _1234568452.unknown _1234568450.unknown _1234568445.unknown _1234568447.unknown _1234568448.unknown _1234568446.unknown _1234568443.unknown _1234568444.unknown _1234568442.unknown _1234568437.unknown _1234568439.unknown _1234568440.unknown _1234568438.unknown _1234568435.unknown _1234568436.unknown _1234568434.unknown _1234568425.unknown _1234568429.unknown _1234568431.unknown _1234568432.unknown _1234568430.unknown _1234568427.unknown _1234568428.unknown _1234568426.unknown _1234568421.unknown _1234568423.unknown _1234568424.unknown _1234568422.unknown _1234568419.unknown _1234568420.unknown _1234568418.unknown _1234568409.unknown _1234568413.unknown _1234568415.unknown _1234568416.unknown _1234568414.unknown _1234568411.unknown _1234568412.unknown _1234568410.unknown _1234568405.unknown _1234568407.unknown _1234568408.unknown _1234568406.unknown _1234568403.unknown _1234568404.unknown _1234568402.unknown _1234568385.unknown _1234568393.unknown _1234568397.unknown _1234568399.unknown _1234568400.unknown _1234568398.unknown _1234568395.unknown _1234568396.unknown _1234568394.unknown _1234568389.unknown _1234568391.unknown _1234568392.unknown _1234568390.unknown _1234568387.unknown _1234568388.unknown _1234568386.unknown _1234568377.unknown _1234568381.unknown _1234568383.unknown _1234568384.unknown _1234568382.unknown _1234568379.unknown _1234568380.unknown _1234568378.unknown _1234568373.unknown _1234568375.unknown _1234568376.unknown _1234568374.unknown _1234568371.unknown _1234568372.unknown _1234568370.unknown _1234568353.unknown _1234568361.unknown _1234568365.unknown _1234568367.unknown _1234568368.unknown _1234568366.unknown _1234568363.unknown _1234568364.unknown _1234568362.unknown _1234568357.unknown _1234568359.unknown _1234568360.unknown _1234568358.unknown _1234568355.unknown _1234568356.unknown _1234568354.unknown _1234568345.unknown _1234568349.unknown _1234568351.unknown _1234568352.unknown _1234568350.unknown _1234568347.unknown _1234568348.unknown _1234568346.unknown _1234568341.unknown _1234568343.unknown _1234568344.unknown _1234568342.unknown _1234568339.unknown _1234568340.unknown _1234568338.unknown _1234568305.unknown _1234568321.unknown _1234568329.unknown _1234568333.unknown _1234568335.unknown _1234568336.unknown _1234568334.unknown _1234568331.unknown _1234568332.unknown _1234568330.unknown _1234568325.unknown _1234568327.unknown _1234568328.unknown _1234568326.unknown _1234568323.unknown _1234568324.unknown _1234568322.unknown _1234568313.unknown _1234568317.unknown _1234568319.unknown _1234568320.unknown _1234568318.unknown _1234568315.unknown _1234568316.unknown _1234568314.unknown _1234568309.unknown _1234568311.unknown _1234568312.unknown _1234568310.unknown _1234568307.unknown _1234568308.unknown _1234568306.unknown _1234568289.unknown _1234568297.unknown _1234568301.unknown _1234568303.unknown _1234568304.unknown _1234568302.unknown _1234568299.unknown _1234568300.unknown _1234568298.unknown _1234568293.unknown _1234568295.unknown _1234568296.unknown _1234568294.unknown _1234568291.unknown _1234568292.unknown _1234568290.unknown _1234568281.unknown _1234568285.unknown _1234568287.unknown _1234568288.unknown _1234568286.unknown _1234568283.unknown _1234568284.unknown _1234568282.unknown _1234568277.unknown _1234568279.unknown _1234568280.unknown _1234568278.unknown _1234568275.unknown _1234568276.unknown _1234568274.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568257.unknown _1234568265.unknown _1234568269.unknown _1234568271.unknown _1234568272.unknown _1234568270.unknown _1234568267.unknown _1234568268.unknown _1234568266.unknown _1234568261.unknown _1234568263.unknown _1234568264.unknown _1234568262.unknown _1234568259.unknown _1234568260.unknown _1234568258.unknown _1234568249.unknown _1234568253.unknown _1234568255.unknown _1234568256.unknown _1234568254.unknown _1234568251.unknown _1234568252.unknown _1234568250.unknown _1234568245.unknown _1234568247.unknown _1234568248.unknown _1234568246.unknown _1234568243.unknown _1234568244.unknown _1234568242.unknown _1234568225.unknown _1234568233.unknown _1234568237.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568238.unknown _1234568235.unknown _1234568236.unknown _1234568234.unknown _1234568229.unknown _1234568231.unknown _1234568232.unknown _1234568230.unknown _1234568227.unknown _1234568228.unknown _1234568226.unknown _1234568217.unknown _1234568221.unknown _1234568223.unknown _1234568224.unknown _1234568222.unknown _1234568219.unknown _1234568220.unknown _1234568218.unknown _1234568213.unknown _1234568215.unknown _1234568216.unknown _123456821