第46课--圆的方程及对称问题

第46课--圆的方程及对称问题第46课圆的方程及对称问题基础知识1.圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程222()()xaybr(0)r圆心：(,)Cab半径：r一般方程220xyDxEyF22(40)DEF圆心：(,)22DE半径2242DEFr2.对称问题(1)点关于点对称：利用中点坐标公式解决.(2)点关于直线对称：点与对称点的连线垂直于直线，同时点与对称点的中点在直线上，列式求解.(3)直线关于点对称：直线与对称直线的斜率相等，再利用直线上任意一点关于已知点的对称点必在...

第46课圆的方程及对称问题基础知识1.圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程222()()xaybr(0)r圆心：(,)Cab半径：r一般方程220xyDxEyF22(40)DEF圆心：(,)22DE半径2242DEFr2.对称问题(1)点关于点对称：利用中点坐标公式解决.(2)点关于直线对称：点与对称点的连线垂直于直线，同时点与对称点的中点在直线上，列式求解.(3)直线关于点对称：直线与对称直线的斜率相等，再利用直线上任意一点关于已知点的对称点必在对称直线上求出对称直线上的一点，即可利用点斜式求出对称直线的方程.(4)直线关于直线对称：①两直线平行：斜率相等，再根据点关于直线对称的方法找到对称直线上的一点即可；②两直线相交：求出交点，然后再根据点关于直线对称的方法求出对称直线上的另一点，即可利用两点式求对称直线的方程.(5)有关圆的对称：圆的大小不变，即r不变，只改变圆的位置，只要利用有关点的对称问题的方法确定圆心的位置即可.一、典型例题1.当a为任意实数时，直线(1)10axya恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为（）.A.22240xyxyB.22240xyxyC.22240xyxyD.22240xyxy答案：C解析：由(1)10axya得(1)(1)0xaxy，10x且10xy，解得1,2xy，该直线恒过点(1,2)，所求圆的方程为22(1)(2)5xy，即22240xyxy，故选C.2.圆221:131Cxy，圆222:554Cxy，M，N分别是圆1C，2C上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值（）.A.6B.210C.7D.10答案：C解析：圆1C关于x轴的对称圆3C的圆心坐标3(13)C--,，半径为1.圆2C的圆心坐标(5,5)，半径为2，||||PMPN+的最小值为圆3C与圆2C的圆心距减去两个圆的半径和，即22153537，故选C.3.已知圆C：22341xy与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线2yx的距离最小时，Q的横坐标为（）.A.222B.222C.232D.232答案：C解析：圆M的方程为：22341xy，过(34)M-,且与直线2yx=+垂直的直线方程为1yx=--，代入22341xy，得232x，故当Q到直线2yx=+的距离最小时，Q的横坐标为232x，故选C.二、课堂练习1.已知圆22:684Cxy，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为（）.A.2234100xyB.2234100xyC.223425xyD.223425xy答案：C解析：由题意可知：0,0,6,8OC，则圆心坐标为3,4，圆的直径为226810，据此可得圆的方程为22210342xy，即223425xy.故选C.2.已知点2,0,0,2AB，若点M是圆22220xyxy上的动点，则ABM面积的最小值为_______.答案：2解析：将圆22:220Mxyxy化简成标准方程22112xy，圆心1,1,半径2r.因为2,0,0,2AB，所以22AB. 要求 ABM面积最小，即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小，而圆心1,1到直线AB的距离为22，M到直线AB距离的最小值为2222-=，所以ABMS的最小值为min11222222ABd.3.圆2215xy关于直线yx对称的圆的标准方程为__________.答案：2215xy解析：圆2215xy的圆心坐标为1,0，它关于直线yx的对称点坐标为0,1，即所求圆的圆心坐标为01，，所以所求圆的标准方程为2215xy.三、课后作业1.圆22112xy关于直线3ykx对称，则k的值是（）.A.2B.2C.1D.1答案：B解析：圆22112xy关于直线3ykx对称，所以圆心(1,1)在直线3ykx上，得132k.故选B.2.圆C与x轴相切于1,0T，与y轴正半轴交于两点,AB，且2AB，则圆C的标准方程为（）.A.22122xyB.22122xyC.22124xyD.22124xy答案：A解析：设圆心为,ab，半径为r，由已知条件得1a，且2112r，则圆心为1,2,2r，故选A.3.已知,xy满足22116xy，则22xy的最小值为（）.A.3B.5C.9D.25答案：C解析：22xy 表示圆上的点(,)Mxy到原点O的距离的平方；圆心为1,0A，半径4r，因为413OMrOA，所以29OM，故选C.4.圆221:(3)(1)4Cxy关于直线0xy对称的圆2C的方程为（）.A.22(3)(1)4xyB.22(1)(3)4xyC.22(1)(3)4xyD.22(3)(1)4xy答案：B解析：因为圆221:(3)(1)4Cxy和圆2C关于直线0xy对称，所以圆2C的半径等于圆1C的半径2，且点2C和1(3,1)C关于直线0xy即yx对称，所以点2C坐标为(1,3)，所以所求圆方程为22(1)(3)4xy.故选B.5.圆2244100xyxy上的点到直线80xy的最大距离与最小距离的差是（）.A.18B.62C.52D.42答案：C解析：由圆2244100xyxy可知其标准方程为22(2)(2)18xy，∴圆心为(2,2)，半径为32r，所以圆心到直线的距离|228|222d.则圆2244100xyxy上的点到直线80xy的最大距离与最小距离分别为52和0，所以距离差为52.故选C.6.已知直线12:0,:20lmxylxmym.当m在实数范围内变化时，1l与2l的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是______.答案：2220xyxy解析：由题意，联立两直线方程020mxyxmym，利用代入消元法，消去m得20yyxyxx，整理后可得，所求定圆方程是2220xyxy.

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