计算题1、在整数环Z中，令I={5k|k€Z}确定商环Z/1中的元素。Z/I是不是一个整环？求Z/I的特征。2、确定3次对称群S的所有子群及所有正规子群3、求模6的剩余类环Zb的所有理想4、在10次对称群Sio中，(T(12345678910^J0342578691丿将c表成一些不相交轮换之积求|c|。f:2n7n|-7n是G5、设G={2n7n|mn€Q}是关于普通数的乘法构成的群,到G的一个同态映射，求f的同态核Kerf。&设(乙6,+,•是模16的剩余类环，求乙6的所有理想，求乙6的所有非零理想的交。7、在7次对称群S7中，将(12)(2347)-1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。8、在高斯整数环Z[i]={a+bi|a,bZ,i2=-1}中,(1)求主理想(1+i)，(2)求9、给出整数加群Z的所有自同构10、设R=Z是模4的剩余类环,确定乙的所有理想。11、设R=Z[i]={a+bi|a,bZ,i2=-1}是高斯整数环,试求Z[i]的所有单位。12、设G={2?|m,n•Q}是关于通常数的乘法作成的群,令f:2丁一2m(1)验证f是G到G的同态映射，(2)确定Kerf。13、找出三次对称群S3的所有子群；找出S3关于子群H={(1),(12)}的右陪集分解。14、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。15、求出模6的剩余类加群Zb的所有自同构。16、(10分)求模12的剩余类加群(乙2，+)的所有自同构映射17、设zijU:abi|a,^Z,\2=-1是高斯整数环，求z〔i1的商域。18、求数环Z[,5]={a+b-.5a,bZ}的全部自同构映射。19、求高斯整数环Z[i]={a+bia,bZ,i2=-1}的主理想(1-i)以及剩余类环Z[i](1-i)20、设Z8是模8的剩余类环,在Z8中求x3的根.21、在3次对称群S3中,令H={(1),(12)},试确定H在S3中的左陪集分解式。22、确定高斯整数环Z[i]的全部自同构映射.23、试写出模12的剩余类加群G=(Z12,+)的所有子群及G的所有生成元。24、设Z是整数环，求(4,6)=?25、找出模8的剩余类环Z(8)的一切非零理想，并求它们的交。26、设G={2m5n|m,n^Q}是关于普通的数的乘法作成的群,f:2m5^5n是G到G的一个同态映射,求f的核kerf。27、设(Z12,+,*)是模12的剩余类环,求乙2的一切理想,以及一切非零理想的交。28、试写出三次对称群的所有不变子群。29、已知I={6k|kZ}是偶数环R的理想，求商环竹的所有元素。30、求数环Z[J=7]=£+bl=7a,bwZ＞的所有单位。31、确定模10的剩余类加群的所有子群。32、设G是一个阶为15的交换群。证明G是循环群。求出G的所有子群。33、若S3是3次对称群，C(S3)「x|x・S3,-厂S3,xy=yx?求C(S)。当n》3时，C(Sn)呢？34、在3次对称群S3中，H={(1)，(23)。试给出H在S中的左陪集分解式H是不是S3的正规子群？35、设G是一个21阶交换群，H={x|x・G,x1^e}⑴证明：HmG。(2)确定出Ho36、设Z是整数加群，求Z的自同构群Aut(Z)o37、设Z是模6的剩余类加群，求Aut(Z6)o38、在整数加群Z中，S={2004,2：32}，求o39、设G=va>是一个20阶循环群，试求G的所有生成元。40、确定3次对称群S3的所有正规子群。41、设WG,|%1=12,g8,|g=14，在%中求o42、在5次对称群S5中，设置换二=(12345)(1)求置换：，使2二:二o求置换「•，使4「丁」o43、在S9中，b=(1965)(1487)(1923)，将表成一些不相交轮换之积，且求叫。44、在S8中，H=v^>,a=(1487)(1865)(134)，试求[G:H]o45、求Z到Zm的所有同态映射。46、求Zm到Z的所有同态映射。47、求Z4到Z6的所有同态映射。48、设HG,NG,H-N,令f:GH》GN,gH一gN,(-gG)。证明：f是群Gh到Gn的一个同态映射。计算Kerfo49、设G={3m5n|m,nQ}，G对通常数的乘法构成群。令f:G》G,3m5n—3m(m,nQ),求Kerf50、设G与H是两个群，|G=100，|H|=21，f是G到H的同态映射，求f。51、求模12的剩余类环乙2的全部子环。52、求模8的剩余类环Zs的全部理想。53、若Z[i]=abi|a,bZ,i=.一仁求Z[i]的所有单位。叫)是不是域？54、求模24的剩余类环乙4的所有单位。55、设R=£nm|m,n^Z｝。证明R是有理数域Q的子环。求R的所有单位。56、求环M(Z2)中的所有可逆元。57、求环M(乙)中的所有可逆元。58、试求模18的剩余类环Z18的可逆元与零因子。59、设Z[i]为高斯整数环，1=(1+2i),试写出I的元素的明显表达式，并求商环Z[i]I。60、试确定乙2的所有商环。61、设R=fab|a,b,cEZ；>,R对通常矩阵的加法与乘法构成环。令II。c丿JI=丿|^Z>乙00丿J证明I是R的一个理想。求I的所有理想。62、求出整数环Z的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。63、设R=3Z「3k|kZ?是环，I=(9)求R]，(2)R]是不是一个域？64、在整环Z[、2]=•b、2|a,b•Z■中，(1)求(2)(2)是不是Z[2]的一个极大理想？设Z[i]「a・bi|a,b・Z?是高斯整数环，试确定商环Z[l](2.)的元素。在3次对称群S3中，g=(23),g是由g诱导的S3的内自同构，求.g。设R是整环，I是R的理想，举例说明R|不一定是整环，给出R|是整环的充要条件。举例说明含2个元素的环不一定是域，给出一个2元素环为域的一个充要条件。求模3的剩余类加群Za的自同构群。设-：i.当7满足什么条件时，；二关于剩余类的乘法构成群？求剩余类加群门「十•■中每个元素的阶。找出「的所有子群.找出•丄的所有生成元.找出群一的全部自同构映射,即求出全部的■:Z,使得设(7=/123456\T=/123456>1214365/I.531624J计算乘积7-1,--.设^=/1234567\T=p234567\14617523/I3457126J试确定「和「的奇偶性；分别将一-和丁与表示为不相交轮换之积；计算一二■,并将之表为不相交轮换之积.设；—(1352)(1476),(2564)(37).⑴分别确定「和i的奇偶性；(2)将「和I■改写为一般置换的形式.写出匕与X的所有置换.在［中找出所有不与(123)可交换的元素.在丄中，找出所有与(1234)可交换的元素.设按顺序排列的13张红心纸牌A2345678910JQK经2次同样方式的洗牌后牌的顺序变为610AQ9KJ748325试求出第一次洗牌后牌的顺序.设二°,求宀厂设；丿，=求'J，-'(这里■「和二'分别表示全体非零复数及全体非零实数的集合).设■一是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群.对下列映射',哪些是'到•的同态映射？对于同态映射',找出：川闫以及「玄'-.(1)hi|h|；(2)HIM(口樂±1)；(3)工匕航(4)1工七.试决定三次对称群【；的所有同态象.(同构的同态象看作同一个同态象.)设"一"「Jul乩.■一是由六个置换(1),(123)(456),(132)(465)(78),(123)(456)(78),(132)(465)(78)所组成的群.写出上的各元素的稳定子和轨道;写出二的各元素的不动元素.计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各8块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？假定小正方形塑料板两面颜色相同•试求：「‘：中的所有零因子与可逆元，并求每个可逆元的逆元素•求线性方程-,在环J上的解.求线性方程丄；…在环d!上的解.求线性方程W一】=一~,在环「.上的解.求线性方程■/--:—〔一^,在环：―上的解.分别求线性方程组[5工+切=0|2工一旳=9在r,「，■：：,:=中的解.求二次方程厂二匚在环••:上的解.求二次方程二*在环：二上的解.求二次方程在环：〔上的解.求二次方程在环："上的解.计算多项式,',在环上的乘积.计算多项式h二-,工工—亡十」，在环二丄上的乘积.计算多项式「-十二心—n-】,在环上的乘积.计算多项式张)=加-3球十1+1,ff[x)=2x3+3x-2,在环ZB[x]上的乘积.在四元数体中，设⑴a=1—2j+3A;,0=l+d+右一2h.(2)a=2+k—3j+^,0=—3+2s—j.求二-',二-',r二-',I.设集合⑴求：1的所有理想.(2)求_」的极大理想与素理想.试求：「一的所有理想与极大理想.设」一〔)=(曲：)』&))・才仗)=口+工+1,g(x)=x2+x+1,兀瑰g(z)€Qk]⑵血)=工*十工2十1,g(H)=/+H+l,兀c),g(:c)£N[h]f⑵=h—h+1,g(H)=/+H—l,f[x)^[x)eZs[x]对°?b€Z[i],求〔為b),并求％t,使得(a』)=aj+6ifl=31-12i,Hi.o=9+12i,6=4-F8i.判别集合{岛川/⑴)}在「「上是否线性相关？构造模2的高斯整数环-^-I的乘法表.这个环是域吗？设丁是4阶有限域,厂确定下列系数在F上的多项式在域m中是否可约.(1)(2):.，十I匕匚一-T设m是九个元素的域.求「中的矩阵/I十i00A=02i\01l+2i的逆矩阵一丄〔构造含4个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表给出下列四个四元置换33二2(1二3234)(113J4]组成的群G,试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及二「,二2」,二3‘,二：和G的所有子群。120.设Z6—0丨1丨2丨3,4丨畀是模6的剩余类环，且f(x),g(x)Ze'-xl。如果f(x)=3X35k21、g(x)=4X25X31,计算f(x)g(x)、f(x)-g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。设M是一个非空集合，2M是M的幕集(M的子集的全体称为M的幕集)，问2M关于集合的并U是否构成群？为什么？找出模20的剩余类加群Z20的所有子群，并找出Z20的全部生成元.a,b二Z123.设关于矩阵的加法和乘法构成一个环，'a0]电0丿0I是R的理想，问商环R/I由哪些元素组成?假定R是模8的剩余类环，在R〔x1里计算f(x)g(x)与f(x)g(x)并求出它们的次数，其中f(x)-3x3■5x-4，g(x)-4x2-x3】对x=1-2ij-2k，y=2-i2j-k，求xy，yx和x设J=(6),*=(15)是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由1•I1亠I2；hT2;I1I2设有置换心=(1345)(1245),,(234)(456)S6。1.求;二和.七；2.确定置换；「.和.A\的奇偶性。求剩余类加群乙2中每个元素的阶。设A,B,C是G的子群，下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。A_.B=A_.C=B=C;A-B=A-C=B=C;AB=AC二B=C;A(BC)=ABAC写出元素形式，并找出Q(&，、-3)所有子域。设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？设Z是整数环，则⑵n⑶、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)U⑶是Z的理想吗？为什么？设I丄「「为整数加群，X=、'、二」,求[Z:H]=?找出S3的所有子群。求Z18的所有子群。/1234567A将■：；＜-：11'表为对换的乘积.设按顺序排列的13张红心纸牌A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K经一次洗牌后牌的顺序变为8,K,A,4,10,Q,J,5,7,6,2,9问：再经两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎样的？————~~——在Z6中，计算:(1)-';(2)--;⑶■''■;(4)-：-：.试求高斯整环-I:的单位。试求Z!2中的所有零因子与可逆元,并确定每个可逆元的逆元素.找出模6的剩余类环Z6的所有理想。在Z12中,解下列线性方程组：|3苫十=6[2x—y=1求Z18的所有子环.试求二的所有理想.数域F上的多项式环Flx啲理想(x21,x5x31)是怎样的一个主理想。在••上中,求二一一的全部根.试举例说明，环RX1中的m次与n次多项式的乘积可能不是一个m+n次多项式.求出域Z3上的所有2次不可约多项式.指出下列哪些元素是给定的环的零因子.(1)在M2(F)中.设A=]21[b=|0-11C=2\]00一[10一[42一在Z12中,它的全部零因子是哪些.Zn中有零因子吗？求二阶方阵环M2(R)的中心.举例说明，非零因子的象可能会是零因子.设R为偶数环.证明：N"4rrR「_R.问：N二[4；是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？举例说明，素理想不一定是极大理想。设H二{(1),(12)},求&关于H的所有左陪集以及右陪集.设H={(1),(12)}是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S的不变子群？为什么求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=(2004，17)
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