2015年考研数学二真题

2015一、选择题（1）D。【解答】因为11lim21=⋅+∞→xxx且121<，所以∫+∞2xdx发散，不选)(A；因为xxx2lnln≥且+∞=∫+∞22lndxx，所以+∞=∫+∞2lndxxx，即∫+∞2lndxxx发散，不选)(B；因为∞++∞=∫22|lnlnln1xdxxx，所以∫+∞2ln1dxxx发散，不选)(C，应选)(D。（2）B。【解答】xtxxttxtextxf=+=⋅→2sinsin0])sin1[(lim)(（0≠x），显然)(xf在0=x处没有定义，因为1)(lim0=→xfx，所以0=x为可去间断点，应选)(B。（3）A。【解答】βαxxxfxfxx1coslim)0()(lim100−→→=−，当1>α时，)0(f′存在，且0)0(=′f；0≠x时，ββαβαβαxxxxxf1sin1cos)(11⋅+=′−−−，若)(xf′在0=x处连续，则01,1>−−>βαα，即1>−βα，应选)(A（4）C。【解答】0)(=′′xf左边的零点为ax=，右边的零点为bx=，又0=x处)(xf′′不存在。因为ax=得左右两侧)(xf′′都大于零，所以))(,(afa不是拐点；因为0=x左右两侧)(xf′′异号，所以))0(,0(f为拐点；因为bx=左右两侧)(xf′′异号，所以))(,(bfb为拐点，故)(xfy=有两个拐点，应选)(C。考研数学二真题解析新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 ：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476（5）D。【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧==+vxyuyx，解得1,1+=+=vuvyvux，则vvuvvuvuvuf+−=+−+=1)1()1()1(),(222222，vvuuf+−=∂∂1)1(2，22)1(2vuvf+−⋅=∂∂，故0|11=∂∂==vuuf，21|11−=∂∂==vuvf，应选)(D。（6）B。【解答】令⎩⎨⎧==θθsincosryrx，（34πθπ≤≤，θθ2sin12sin21≤≤r），则∫∫∫∫=θθππθθθ2sin12sin2134)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD，应选)(B。（7）D。【解答】因为bAX=有无数个解，所以3)()(<=ArAr，由0)12)(2)(1(||=−−−=aaA得2,1==aa，当1=a时，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222dddddddA，因为方程组有无数个解，所以1=d或2=d；当2=a时，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222dddddddA，因为方程组有无数个解，所以1=d或2=d，应选)(D。（8）A。新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476【解答】因为),,(321xxxf经过正交变换PYX=化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型2322212yyy−+，所以A的特征值为1,1,2321−===λλλ，其对应的特征向量为321,,eee，因为231,,eee−为特征值1,1,2321=−==λλλ对应的特征向量，所以QYX=下二次型的标准型为2322212yyy+−，应选)(A。二、填空题（9）48。【解答】2222)1(31133//tttdtdxdtdydxdy+=++==，222222)1(1211)1(12)(tttttdtdxdxdydtddxyd+=++==，故48|122==tdxyd。（10）)1()2(ln2−−nnn。【解答】221120)()2(ln22)2(ln22)2(ln2)(−−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=nxnnxnnxnnCxCxCxf，则)1()2(ln)2(ln22)1()0(22)(−=⋅⋅−=−−nnnnfnnn。（11）2。【解答】由∫=20)()(xdttfxxϕ得)(2)()(2202xfxdttfxx+=′∫ϕ，再由5)1(,1)1(=′=ϕϕ得1)(10=∫dttf，于是)1(215f+=，解得2)1(=f。（12）xxee22+−。新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476【解答】特征方程为022=−+λλ，特征值为1,221=−=λλ，原方程通解为xxeCeCy221+=−，由0)0(,3)0(=′=yy得⎩⎨⎧=+−=+0232121CCCC，解得2,121==CC，故xxeey22+=−。（13）dydx3231−−。【解答】0,0==yx代入132=+++xyzezy得0=z。132=+++xyzezy两边132=+++xyzezy分别对yx,求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++∂∂+⋅=∂∂++∂∂+⋅++++0)32(0)31(3232xzyxzxzexzxyyzxzezyxzyx，将0,0,0===zyx代入上式得31|)0,0(−=∂∂xz，32|)0,0(−=∂∂yz，故dydxdz3231|)0,0(−−=。（14）24。【解答】B的特征值为：31222=+−，71)2()2(2=+−−−，11112=+−，故21||=B。三、解答题（15）【解】由)(32)1ln(332xoxxxx++−=+，新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476)(6sin33xoxxx+−=得)(3)2()1()(32)(3323232xoxaxabxaxobxaxaxaxxxf++−++=+++−+=，因为)(~)(xgxf，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==−=+kaaba30201，解得31,21,1−=−=−=kba。（16）【解】由题意，D由曲线)20(sinπ<<=xxAy及直线0=y、2π=x所围成的区域，区域D绕x轴旋转所成的旋转体的体积为xV，则2220222024sin)(AxdxAdxxfVxπππππ===∫∫；D绕y轴旋转所成的旋转体的体积为yV，则AxdxxAdxxxfVyπππππ2sin2)(22020===∫∫，由yxVV=得π8=A。（17）【解】由xxyeyyxf)1(2),(+=′′得)()1(),(2xeyyxfxxϕ++=′，Cdxxeyyxfxx+++=∫02)()1(),(ϕ，由yyyf2),0(2+=得yyCy2)1(22+=++，解得1−=C，即1)()1(),(02−++=∫xxdxxeyyxfϕ，又由xxexxf)1()0,(+=′得xxexxe)1()(+=+ϕ，解得xxex=)(ϕ，新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476故1)1(),(02−++=∫xxxdxxeeyyxfxxexey)1()1(2−++=。由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=∂∂=++=∂∂0)1(20)1(2xxxeyyfxeeyxf得⎩⎨⎧−==10yx。由xxexeyxf)1()1(222+++=∂∂，xeyyxf)1(22+=∂∂∂，xeyf222=∂∂得2,0,1===CBA，因为022>=−BAC且0>A，所以⎩⎨⎧−==10yx为极小点，极小值为1)1,0(−=−f。（18）【解】由⎪⎩⎪⎨⎧==+2222xyyx得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=11,11yxyx，令}2,10|),{(221xyxxyxD−≤≤≤≤=，因为区域D关于x对称，所以∫∫∫∫=+DDdxdyxdxdyyxx2)(，故∫∫∫∫=+=122)(DDdxdyxdxdyyxxI∫∫∫∫−−==−10410222102222222dxxdxxxdydxxxx52cos2cos2sin22402sin2−⋅⋅=∫=πtdttttx522sin252cossin84024022−=−⋅=∫∫ππtdttdtt52sin52)2(2sin202402−=−=∫∫ππtdtttd52452221−=−×=ππ。（19）【解】新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476由01)12(121)(222=+−=+++−=′xxxxxxf得21=x，当21<x时，0)(<′xf；当21>x时，0)(>′xf，则1=x为最小点，最小值为0)1(==fm，因为011)21(1411212<+−+=∫∫dttdttf，0)(lim>−∞→xfx，所以)(xf有两个零点，一个在)21,(−∞之间，另一个为1=x。（20）【解】设t时刻物体的温度为)(tT，由题意得]20)([−−=tTkdtdT（0>k），整理得kkTdtdT20=+，解得∫∫+∫=−kdtkdteCdtketT)20()(20+=−ktCe。由30)30(,120)0(==TT得⎩⎨⎧=+=+−30201202030tCeC，解得3010ln,100==kC，即20100)(3010ln+=−tetT，当21=t时，由20100213010ln+=−te得60=t，故还需要冷却30分钟，物体的温度才可降到021C。（21）【解】切线方程为)())((bfbxbfy+−′=，切线与x轴的交点为)0,)()((bfbfb′−，即)()(0bfbfbx′−=。因为0)(>′xf，所以0)()(=>afbf，新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476故bbfbfb<′−)()(。现证明abfbfb>′−)()(，abfbfb>′−)()(等价于)()()(bfabfbfb′>−′，令)()()()()()()(xfxfaxxfaxfxfxx−′−=′−−′=ϕ，因为0)(=af，所以)]()([)()()(afxfxfaxx−−′−=ϕ)]()()[()()()()(ξξfxfaxfaxxfax′−′−=′−−′−=（xa<<ξ），因为0)(>′′xf，所以)(xf′单调增加，从而)()(ξfxf′>′，于是)(0)(bxax<<>ϕ，取bx=，则)()()(bfabfbfb′>−′，即abfbfb>′−)()(，故bbfbfba<′−<)()(。（22）【解】（I）由OA=3得0||=A，由0||3==aA得0=a，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=010101010A。（II）由EAXAAXXAX=+−−22得EXAAEXAE=−−−2)()(，进一步整理得EAEXAE=−−)()(2，则121)()(−−−−=AEAEX。新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1010001012A，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−110111011AE，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−2010101002AE，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−100110011100001011100110010111001011)(EAE#⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−→011100111010112001011100100110001011得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−−011111112)(1AE；再由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−001100010010100201100201010010001100)(2EAE#⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−→001100010010102001得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−001010102)(12AE，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=112111213001010102011111112X。（23）【解】（I）因为BA~，所以⎩⎨⎧==||||)()(BABtrAtr，从而⎩⎨⎧=−+=+baba3223，解得5,4==ba。（II）因为BA~，所以BA,的特征值相同，由0)5()1(130050021||2=−−=−−−−=−λλλλλλBE得BA,的特征值为5,1321===λλλ。将1=λ代入OXAE=−)(λ，即OXAE=−)(，新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−000000321321321321AE得A的属于特征值1=λ的线性无关的特征向量为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=103,01221αα；将5=λ代入OXAE=−)(λ，即OXAE=−)5(，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−→⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−8804401213253211211213213255AE⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛→000110101得A的属于特征值5=λ的线性无关的特征向量为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1113α，令⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=110101132P，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−5000100011APP。新浪微博：考研猎人微信公众号：kylierenQQ212400799三方同步更新最新免费考研资料2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群：533901476