PAGE\*MERGEFORMAT8第2课时 等式性质与不等式性质学习目标核心素养1.掌握不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.1．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．1．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－cD．a－c＜a－dB [根据不等式的性质．]2．与a>b等价的不等式是( )A．|a|>|b|B．a2>b2C.eq\f(a,b)>1D．a3>b3D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]3．设x
ax>a2C．x2a2>axB [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]利用不等式性质判断命题真假【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特殊值排除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．]运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1．下列命题正确的是( )A．若a2＞b2，则a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＜bD [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.]利用不等式性质证明简单不等式【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).本例条件不变的情况下，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性质证明不等式注意事项1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－acb，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－acb，则ac>bc一定成立．( )(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )[提示] (1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.[答案] (1)× (2)×2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋cD．ac＞bdC [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)即B正确；显然D正确，因此不正确的选项是C.]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )A．－2＜α－β＜0B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0D．－1＜α－β＜1A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β.故知－2＜α－β＜0.]4．若bc－ad≥0，bd>0.求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，所以eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，所以eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).
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