2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第1章《1.2 第1课时 空间向量基本定理》(含解析)

§1.2　空间向量基本定理第1课时　空间向量基本定理学习目标　1.掌握空间向量基本定理.2.会用空间向量基本定理对向量进行分解. 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一　空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考　零向量能否作为基向量？ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　不能.零向量与任意两个向量a，b都共面．知识点二　空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(　×　)2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　√　)3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　√　)4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　×　)一、空间的基底例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．解　假设eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面．则存在实数λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．反思感悟　基底的判断思路(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．跟踪训练1　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)A．1个B．2个C．3个D．0个答案　B解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如图，令a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.答案　0解析因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空间向量基本定理例2　如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up6(——→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).解　连接A′N(图略)．eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(——→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(——→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(——→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\o(A′N,\s\up6(———→))＝eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(———→))＋eq\o(A′C′,\s\up6(———→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.延伸探究若把本例中“eq\o(AA′,\s\up6(——→))＝a”改为“eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝a”，其他条件不变，则结果是什么？解　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB′,\s\up6(——→))＋eq\o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(——→))＋eq\o(AC′,\s\up6(——→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(——→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(——→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(——→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a－eq\f(1,2)c.反思感悟　用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟踪训练2　如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解　连接BO，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.1．下列结论错误的是(　　)A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底D．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面答案　C解析　由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)A．3a，a－b，a＋2bB．2b，b－2a，b＋2aC．a，2b，b－cD．c，a＋c，a－c答案　C解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(　　)A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(—→))，eq\o(AB1,\s\up6(—→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(—→))，eq\o(D1C1,\s\up6(—→))，eq\o(D1D,\s\up6(—→))D.eq\o(AC1,\s\up6(—→))，eq\o(A1C,\s\up6(—→))，eq\o(CC1,\s\up6(—→))答案　C解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq\o(D1A1,\s\up6(—→))，eq\o(D1C1,\s\up6(—→))，eq\o(D1D,\s\up6(—→))不共面，可以作为空间的一个基底．4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq\o(AO1,\s\up6(—→))，eq\o(AO2,\s\up6(—→))，eq\o(AO3,\s\up6(—→))}为基底，eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(—→))，则(　　)A．x＝y＝z＝eq\f(1,2)B．x＝y＝z＝1C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2)D．x＝y＝z＝2答案　B解析　eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(——→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(——→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(——→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(——→))＝eq\o(AO1,\s\up6(—→))＋eq\o(AO2,\s\up6(—→))＋eq\o(AO3,\s\up6(—→))，对比eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(—→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(—→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(—→))，得x＝y＝z＝1.5．在四面体O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案　eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析　eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)×(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.1．知识清单：(1)空间的基底．(2)空间向量基本定理．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案　B解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))成为空间的一个基底的是(　　)A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))答案　C解析　对于选项A，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面；对于选项B，D，易知eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，故选C.3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为(　　)A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案　D解析　eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则(　　)A．a，p，q是空间的一组基底B．b，p，q是空间的一组基底C．c，p，q是空间的一组基底D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底答案　C解析　假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AA1,\s\up6(—→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则下列向量与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的是(　　)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案　A解析　eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(—→))＋eq\o(B1M,\s\up6(—→))＝eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\f(1,2)(eq\o(B1A1,\s\up6(—→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(—→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＋c＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________.答案　－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))解析　设AC的中点为F，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→)).7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq\o(AC1,\s\up6(—→))＝____________.答案　eq\f(1,2)(eq\o(AD1,\s\up6(—→))＋eq\o(AB1,\s\up6(—→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))解析　∵2eq\o(AC1,\s\up6(—→))＝2eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD1,\s\up6(—→))＋eq\o(AB1,\s\up6(—→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up6(—→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD1,\s\up6(—→))＋eq\o(AB1,\s\up6(—→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________.答案　eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))解析　eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→)).9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up6(——→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(AC′,\s\up6(——→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up6(→)).解　(1)eq\o(AC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(——→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OO′,\s\up6(——→))＝b＋c－a.(2)eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))＝－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OH,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC′,\s\up6(——→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up6(——→))＋eq\o(OO′,\s\up6(——→)))＝－eq\f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq\f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq\f(1,2)(c－b)．10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(—→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．(1)用基底{a，b，c}表示向量eq\o(DB1,\s\up6(—→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))；(2)化简eq\o(DD1,\s\up6(—→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．解　(1)eq\o(DB1,\s\up6(—→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB1,\s\up6(—→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(—→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\o(A1E,\s\up6(—→))＝－a＋eq\f(1,2)b＋c.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b＋c)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(2)eq\o(DD1,\s\up6(—→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(—→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(DD1,\s\up6(—→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DD1,\s\up6(—→))＋eq\o(D1A1,\s\up6(—→))＝eq\o(DA1,\s\up6(—→)).如图，连接DA1，则eq\o(DA1,\s\up6(—→))即为所求．11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，则满足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为(　　)A．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，eq\f(1,6)B.eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)C．－eq\f(2,3)，eq\f(1,6)，－eq\f(1,6)D．－eq\f(2,3)，－eq\f(1,6)，eq\f(1,6)答案　D解析　取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(EN,\s\up6(→))－eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)(－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，比较知x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6)，故选D.12.如图，点M为OA的中点，{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq\o(DM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))＋zeq\o(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.答案　eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1))解析　eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，－1)).13．已知四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案　3a＋3b－5c解析　如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(GF,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq\f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)答案　eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c解析　eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))－\o(OB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为(　　)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))答案　A解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(AG1,\s\up6(—→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∵eq\o(OG,\s\up6(→))＝3eq\o(GG1,\s\up6(—→))＝3(eq\o(OG1,\s\up6(—→))－eq\o(OG,\s\up6(→)))，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(—→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(—→)))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))，故选A.16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq\o(GH,\s\up6(→)).解　因为eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，又eq\o(OH,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(b＋c)，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq\f(1,3)a.