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通讯—2009年第1期(下半月)23数列的单调性与对应
函数
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的单调性之间的关系袁建甫(浙江省余姚市第二中学东南校区,315400) 一日,一学生问了一个题目,即下面的:以函数y=f(x)在[1,+∞)上单调递增,则数列单调递增;函数=()在[,+∞)上例1 已知f(x)=2-1,数列{a}满yfx1xn单调递减,则数列单调递减.足,1
an.111(1≤x≤2),则f′(x)=>0,显然在区间证明 设f(x)=x2+,f′(x)=2x-xx2x12x3-1[1,2]上单调递增,但是要证明的数列却是单=>0(x≥1),所以y=f(x)在[1,x2x2调递减的,不是说数列是定义在正整数集上的+∞)上递增,1≤n
方法
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,所以一般我们先退而求其次,先解决数[1,+∞)上单调递增,则当an增大时,an+1增列对应的函数的单调性,再利用函数的单调性大,但此时数列{an}不一定是单调递增数列,去解决数列的单调性.但由于对数列的单调性那么这样的数列的单调性和函数的单调性究和对应函数的单调性的关系不是很明确,就会竟存在着什么样的联系呢?出现上述矛盾了.(1)若函数y=f(x)在R上单调递增.要研究数列的单调性和对应函数的单调如例1,可用数学归纳法证明1
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还是数列的递推关系,因为到最后的结函数f(x)=2-(1≤x≤2),则f′(x)x果是不一样的.1=>0,所以y=f(x)在[1,2]单调递增.类型一 给出数列的通项公式:an=f(n)x2因为an=f(n),所以对应的点(n,an)在1)当n=1时,由12时,数列{n}是单调递减数列. ∵12,aaa1a11(2)若函数y=f(x)在R上单调递减.1∴a2-a1=2--a1<0;因为若an+1a1所以数列不具备单调性是一所以1f(a3)=a4,可以证明:此时{a2n-1}立即n+1n,1a3时,a2=于是可以得到以下结论:f(a1)
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