《向量的线性运算》示范公开课教学设计

《向量的线性运算》教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 教学目标1．掌握向量的加法与数乘向量的混合运算，提升学生的直观想象和数学运算核心素养．2．了解向量线性运算的性质及其几何意义，借助向量线性运算及其应用，提升直观想象和逻辑推理素养．教学重难点教学重点：掌握向量的加法与数乘向量的混合运算．教学难点：向量线性运算的性质及其几何意义．课前准备 ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt 课件．教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 章引言的内容．预设的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：（1）本节主要研究向量的加法与数乘向量的混合运算及向量的线性运算．（2）本节教材设置了两个内容，先给出了向量加法与数乘向量的混合运算，然后给出了向量加法、减法与数乘向量的混合运算．之所以安排第一个内容，一方面是为了使知识学习简单、直观，从而有利于问题的研究解决，另一方面也是因为向量的减法可以转化为向量的加法理清楚本节和上节的关系，为后面后续学习打好基础，做好铺垫．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1、形成定义问题2：之前我们学习了向量的数乘运算及加减法运算，其结果都是向量，那么是否可以进行混合运算，如果可以的话，其结果如何呢？又是遵循什么运算法则呢？试举例说明？师生活动：学生回顾之前学习的向量加减法运算及数乘运算，回答问题，并举例．预设的答案：向量的加法运算、数乘向量运算，它们的结果都是向量，这就是说，这两者可以进行混合运算．例如，对于任意向量，式子是有意义的．一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，总是规定要先算数乘向量，再算向量加法．因此，可以简写成．另外，不难看出．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．引语：而本节要讲的内容即为向量的线性运算．（板书：向量的线性运算）教师讲解：一般地，对于实数λ与μ，以及向量，有．问题3：与是否相等？如何理解两者之间的这种关系？师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论，教师总结发言．预设的答案：注意到，所以，因此，，从而有即．设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：一般地，对于任意实数λ，以及向量与，有．三、初步应用例1化简：．师生活动：学生通过学习上述运算法则，自己尝试解答问题．预设的答案：原式=．设计意图：通过实际例子加强对公式的理解和巩固．问题4：尝试解决如下运算：、？师生活动：学生自己做出向量，并进行运算，得出结论．预设的答案：设计意图：通过学生自己挖掘数乘运算及加减法运算的混合运算，发现运算规律，提高学习兴趣，引出混合运算法则．教师讲解：向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算，总规定要先计算数乘向量，再按从左往右的顺序进行计算，若有括号，要先算括号内各项．由于向量的加法满足交换律与结合律，减去个向量可以看成加上这个向量的相反向量．事实上，当一个向量的线性运算中含有括号时，我们可以用类似多项式运算中拆括号的方式来去掉其中的括号．初步应用例2化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）师生活动：学生根据学习的公式自己进行运算．预设的答案：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；原式=　　　　=设计意图：与向量有关的运算化简，教师可带领学生分别作图作出各向量，验证所得结果是否相等．培养学生利用几何求解相关向量的问题，进一步渗透数形结合的数学思想．例3如图所示，已知求证：．师生活动：先让学生利用初中的平面几何知识进行解决(要用到相似三角形的知识，学生对此应该是比较熟悉的)，然后再呈现教材中的向量证明方法，最后再让学生把两种方法进行对比，让学生发现利用向量解决问题的优势．预设的答案：由已知得：设计意图：引导学生注意到向量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式所蕴含的内容有时更丰富一些，比如中，既体现了线段AD和AB的位置关系，又体现了它们的长度之间的关系实际教学时，即要求学生证明初中学过的中位线定理，然后再与初中的证明方法进行类比．例4已知M为线段AB的中点，且O为任意一点，求证：．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由M为线段AB的中点可知因此从而有，即．设计意图：利用向量的混合运算进行命题的证明．例5已知，求证：M为线段AB的中点．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由可知，因此，从而有，即M为线段AB的中点．设计意图：引导学生运用例4的方法解决问题，最后得到M为线段中点的充要条件，这样的处理也能培养学生的数学素养．这一充要条件是高中阶段平面向量中最重要的内容之一，教师一定要让学生高度重视．教师讲解：重要结论：M为线段AB的中点的充要条件是．例6已知A，B，C是三个不同的点，，求证：A，B，C三点共线．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为所以因此A，B，C三点共线．设计意图：引导学生运用本节知识证明三点共线的方法，但是注意选择的向量不同，给出来的答案可能会不同．巩固练习（1）化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________．（2）已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________．师生活动：（1）可类比实数运算中的合并同类项方法化简；（2）可类比解方程方法求解．预设的答案：（1）－a＋5b－2c　（2）0[（1）(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c．（2）因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0．]设计意图：通过巩固训练的设置，加深概念的理解和应用．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）向量的加法与数乘向量的混合运算是什么？（2）什么是向量的线性运算？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．预设的答案：（1）一般地，对于实数λ与μ，以及向量，有．（2）向量的减法也能与向量的加法、数乘向量进行混合运算．向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确向量加减法和数乘向量的混合运算以及向量的线性运算．五、目标检测设计1．若已知向量a，b满足eq\f(1,3)(3a－2c)＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c－b))＋(a＋6b)＝0，则c＝________．设计意图：考查学生对向量的运算的混合运算能力．2．已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))．设计意图：考查学生对向量线性运算的简单应用．3．化简下列各式：（1）2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；（2）eq\f(1,6)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．设计意图：考查学生对混合运算的应用．参考答案：1．－6a－6b[eq\f(1,3)(3a－2c)＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c－b))＋(a＋6b)＝a－eq\f(2,3)c＋c－4b＋a＋6b＝2a＋2b＋eq\f(1,3)c＝0，所以eq\f(1,3)c＝－2a－2b，c＝－6a－6b．]2．取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E为AD的中点，∴eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))．∵F是BC的中点，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))．又∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))，∴eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))．3．解：（1）原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b．（2）原式＝eq\f(1,6)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f(1,6)(－12a＋24b)＝－2a＋4b．