五下第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题

第二单元因数与倍数提高题和奥数题板块一因数和倍数例题1.一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少?练习1.一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少?例题2.有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少?练习2.既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些?例题3.妈妈买来30个苹果，让小明把苹果放入篮子里。不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。小明共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练习3.五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人可以分成几个小组呢？板块二2、5、3的倍数的特征例题1.一个五位数29ABC(A、B、C是0〜9中不同的数字)同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练习1.在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5。这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2.5□□0是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练习2.4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少?板块三奇数和偶数例题1.一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。已知小船最初在南岸。摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？小明说摆渡2016次后，小船在北岸。他说得对吗？为什么？练习1•傍晚小亮开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2.有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗?练习2.(1)1X2+3X4+5X6+,+199X200的和是奇数还是偶数?(2)有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么?例题3.桌子上放着5个杯子，全部是杯底朝上，如果每次翻动2个杯子，称为一次翻动，经过多次翻动能使5个杯子的杯口全部朝上吗？如果每次翻动3个杯子呢？练习3.如家宾馆现在有10间客房的灯开着，每次同时拨动4个房间的开关，能不能把这10个房间的灯全部关闭？如果能，至少需要几次？板块四质数和合数例题1.三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大是多少?练习1.(1)两个质数的和是小于100的奇数，并且是11的倍数，这两个质数可能是什么数?(2)两个质数的和是2001，这两个质数的积是多少?—个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少？例题2.用0、1、4、5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数练习2.用0、1、&5这四个数字组成两个质数，每个数字只能用一次，求这两个质数例题3.把20以内的质数分别填在下图的。内，每个质数只能用一次，使前后连接的四个数练习3.(1)从50以内的15个质数中选出10个不同的质数，填在如图的10个()中,使每一组两个质数的和都等于合数48。之和都相等。()+()()+()()+()48()+()()+()(2)&=(□+□+□+□+□+□+□)-□，在□里填20以内各不相同的质数，使&是整数，并且尽可能最大。板块五分解质因数例题1.有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生的年龄和是多少？练习1.明明、亮亮、丽丽三人是好朋友，他们的年龄依次相差1岁，且乘积是504,已知明明最小，丽丽最大，他们各是多少岁？板块六公因数与最大公因数例题1.张老师给全班同学带来一些糖果。如果把110块糖果平均分给同学们，则多5块；如果把210块糖果平均分给同学们，则正好分完；如果把240块糖果平均分给同学们，则还少5块。张老师的班级最多有多少名同学？练习1.(1)把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分得苹果的个数相同，梨的个数也相同。结果苹果多2个，梨多3个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个人？每人分得几个苹果和几个梨？（2）赵老师将一条50分米长的红彩带和一条43分米长的绿彩带裁成同样长的小段，结果红彩带余2分米，绿彩带余3分米，所裁的小段最长是多少分米？各能裁成多少段长度相等的小段？例题2.求9021和9991的最大公因数。练习2.求8251和6105的最大公因数。例题3.有一块木料长3.2米，宽1.44米，高0.96米，现在将这块木料锯成体积相同而且最大的正方体，总共可锯成多少块？（木料不浪费）练习3.将一块长120米、宽80米的长方形土地划分成面积相等的小正方形。小正方形的面积最大是多少？例题4.一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米。要把它截成若干个同样大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？练习4.从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？例题5.如图所示，街道ABC在B处拐弯，在街道一侧等距装路灯，要求ABC处各装一盏路灯，这条街道至少要装多少盏路灯？A315mB385m练习5.浦东实验学校食堂和宿舍楼四周组成一个长50米、宽40米的长方形，现计划在这个长方形边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相同，你认为可以有几种不同的植法？每种植法各需要多少棵杉树？板块七公倍数与最小公倍数例题1.一些小朋友分组做游戏，每组4人余2人，每组5人余2人。你知道最少有多少个小朋友做游戏吗？练习1.有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给6个小朋友也余1支。这盒铅笔最少有多少支?例题2.一排电线杆，原来每相邻两根之间的距离是30米，现在距离要改为45米。如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？如果这排电线杆共30根,那么有几根不需要移动？练习2.园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树（两端都栽），一共栽了74棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么，不用移栽的树有多少棵？例题3.两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90，求这两个数分别是多少?练习3.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720,求这两个数分别是多少?例题4.两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少?练习4.两个数的最大公因数是21,最小公倍数是126,其中一个数是42,另一个数是多少?例题5.两个数的最大公因数是6,最小公倍数是108,两个数的和是66,这两个数各是多少?练习5.两个数的最大公因数是18,最小公倍数是180,两个数的差是54,这两个数的和是多少？例题6.一盒围棋子，4颗4颗地数多3颗，6颗6颗地数多5颗，15颗15颗地数多14颗,这盒棋子的数量在150〜200颗之间，问这盒棋子共有多少颗？练习6.(1)有一车饮料，3箱3箱地数剩1箱，5箱5箱地数剩1箱，7箱7箱地数剩1箱.这车饮料至少有多少箱?(2)五(1)班体育小组的学生站队，站成5列少2人，站成3列多1人。这些学生最少有多少人？例题7.加工某种机器零件要经过三道工序。第一道工序每人每小时可完成6个，第二道工序每人每小时可完成5个，第三道工序每人每小时可完成15个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几人？练习7.包装一件商品需要三道工序。第一道工序每人每小时可完成20件，第二道工序每人每小时可完成15件，第三道工序每人每小时可完成30件。要使包装过程均衡，三道工序至少各分配几人？例题8.一次会餐共用了75个碗，每人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，四人一碗水果，参加会餐的有多少人？练习8.一次会餐准备了三种饮料，餐后统计三种饮料共用65瓶，平均每2人饮用1瓶甲饮料，每3人饮用1瓶乙饮料，每4人饮用1瓶丙饮料。参加会餐的人数是多少？例题9.某市公共汽车站有三条公交路线，第一条每8分钟发一辆车，第二条每12分钟发一辆车，第三条每15分钟发一辆车，5:30三条线路同时发出第一辆车，该站发出最后一辆车是19:30。请问该站最后一次三辆车同时发出是什么时刻？练习9.某车站是三条线路公共汽车的起始站，1路车每6分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，3路车每8分钟发一辆，早晨6时三条线路公共汽车同时发第一辆车，问最早在什么时间三条线路公共汽车再次同时发车。（5分）例题10.恰好能同时被6、7、&9整除的四位数有多少个?练习10.恰好能同时被4、5、6整除的三位数有多少个?板块八约数个数约数的个数公式：分解质因数，指数加1再相乘。平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数。例题1.正整数378000共有多少个正约数？练习1.求500的约数的个数例题2.一个数有15个约数，这个数最小是多少？次小是多少?练习2.有10个约数的自然数最小是多少？例题3.在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？练习3.42的倍数中，恰好有42个约数的最小数是多少？例题4.三个自然数乘积为86400,且这三个数的约数个数分别为8、9、10.那么这三个自然数分别是多少？练习4.三个自然数乘积为5184,且这三个数的约数个数分别为A个、A+1个，A+2个。那么这三个自然数分别是多少？板块九约数和约数和公式：如果一个数的质因数分解式为a2xb3,则约数和为(1+a+a2)x(1+b+b2+b3)；如果一个数的质因数分解式为axbxc2,则约数和为(1+a)x(1+b)x(1+c+c2).例题1.求720所有因数的和。练习1.求240所有因数的和。板块十7、9、11、13的倍数的特征9的倍数的特征：一个数各位上的数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。11的倍数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0）,那么，原来这个数就一定能被11整除7或13的倍数的特征：若一个数的末三位数字与末三位前的数字所组成的数之差（大减小）是7或13的倍数，则这个数就是7或13的倍数。例题1.用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？练习1.用1、2、3、4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法?竞赛、小升初真题将1〜2011的奇数排成一列，然后按每组1个、2个、3个、2个、1个、2个、3个、2个、1个、2个、3个、2个,,的规律分组如下（每个括号为一组）：（1），（3,5），（7,9,11），（13，15），（17），（19，21），（23，25,27），（29，31），（33），（35，37），（39，41，43），（45,47）,,那么最后一个括号里的各数的和是多少？（2011年全国“希望杯”数学邀请赛）在10个盒子里放乒乓球，每个盒子里球的个数不能少于11个，不能是13个，也不能是5的倍数个，且彼此不同，那么至少需要个乒乓球。（2010华罗庚金杯）3.45X28X250X（）,要使这个连乘算式的积的最后五个数字都是0,括号里最小应填什么？（2015年江苏省《小学生数学报》“读报知识通讯赛”）若ABC三种文具分别有38个、78个和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A,6个B和20个C,则学生最多有多少人？（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30。若A=90,则B三（2009年“希望杯”）已知自然数a和b的最小公倍数是140,最大公因数是5,求a+b的最大值是多少。（2015年全国“希望杯”数学邀请赛）7.6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果分别用1分、2分、5分硬币叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有枚。（上海市第五届小学数学竞赛试题）8.用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有种不同的拼法。（上海市第五届小学数学竞赛）9.说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题。）挑战极限1.已知两个自然数的和为54,它们的最小公倍数与最大公因数的差为114,求这两个自然数2.大小两寺敲晨钟，报时警世时光匆，约定晨时同起声，大寺三分敲一下，小寺四分应一声,大小各敲十二通，一人居在两寺中，可闻多少晨钟声。［注释］有大小两座寺院敲晨钟用来报时，大寺院每3分钟敲一下，小寺院每4分钟敲一下,两寺各敲12下，居住在两寺中间的人能听到多少声钟声？我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的“几何”是指多少的意思。其译成现代议语言就是有一个数，除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。两个整数的差为7,他们的最小公倍数和最大公约数的差是689,则这两个数分别是多少?本讲作业1.体育课上，40各学生面向老师站成一排，按老师口令，从左到右报数：1,2,3,,老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有多少人？2.欢欢电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。一个人拿了三张相邻单号的电影票，这三个号码相加的和等于9,问这三个座位分别是几号？若三个号码相加的和等于21，则这三个座位分别是几号？小天使幼儿园把49块水果糖和29块奶糖分别平均分给小班的小朋友，结果水果糖多出4块，奶糖少了1块，小班最多有多少名小朋友？用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。小明有一些课外读物，3本3本地数剩2本，5本5本地数剩3本，7本7本地数剩2本,小明至少有多少本课外读物？建安小学校舞蹈队的人数在90〜110人之间，集体舞表演排队时，如果排成3列，人数不多也不少；如果排成5列，其中一列少2人；如果排列7列，其中一列少4人。你能推算出正确的人数吗？80厘米，儿子在后，每步60厘米，在120米内一父子两人在雪地散步，父亲在前，每步共留下多少个脚印？有8个约数的最小的奇数是多少?求2520所有因数的和。板块一因数和倍数例题1.150-18=8,,6,250-18=13,,16.18X9=162,18X10=180,18X11=198,18X12=216,18X13=234.答：这个数可能是162,180,198,216或234,最大是234.练习1.110-25=4,,10,160-25=6,,10.25X5=125,25X6=150.答：这个数是125或150.例题2.40的因数有：1,2,4,5,8,10,20,40.40以内（包括40）5的倍数有：5,10,15,20,25,30,35,40.所以既是40的因数，又是5的倍数的数有5,10,20,40.答：这个数可能是5,10,20,40.练习2.42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42,其中7的倍数有7,14,21,42.答：这样的数有7,14,21,42.例题3.30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30共8个。8-2=6种答：小明共有6种拿法，每种拿法每次分别拿2个、3个、5个、6个、10个或15个。练习3.42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42。42-3=14（个）42-6=7（个）42-7=6（个）答：可以分成14个、7个或6个小组。板块二2、5、3的倍数的特征例题1.根据这个数同时是2和5的倍数，可知C=0.再根据2+9+A+B+（的和是3的倍数，可知：2+9+A+B+0=15;2+9+A+B+0=18,,2+9+A+B+0=27可确定AB的值。这个数可能是29130,29310,29160,29610,,,29790,29970.练习1.这个五位数最大是17970,最小是17010。解析：这个数是偶数，也就是2的倍数，同时这个数是5的倍数，所以这个数的个位数字为0;又因为这个五位数是3的倍数，所以这个五位数各位上的数字和是3的倍数，即1+7+（）+（）+0的和应是3的倍数，1+7=8,8+9+7=24,8+0+仁9;所以这个五位数最大是17970,最小是17010。例题2.这个四位数最小5010,最大是5880.练习2.这个四位数最小4020,最大是4800.第17页共17页板块三奇数和偶数例题1.（1）因为摆渡奇数次后，小船在北岸。15是奇数，所以摆渡15次后，小船在北岸。（2）小明说得不对，因为2016是偶数，而摆渡偶数次后，小船在南岸。练习1.灯就该亮着。例题2.9个奇数相加结果一定是奇数。所以不能做到。练习2.（1）偶数。每个乘法算式都是一个奇数和一个偶数相乘，积都是偶数。而题中一共有（200-2）个乘法算式，偶数个偶数相加的和仍是偶数.（2）不能做到。因为奇数个奇数的和是奇数，分9次燃放，每次燃放奇数个，一共燃放的烟花一定是奇数个，而2016是偶数，所以做不到。例题3.:如果每次翻动2个杯子，无法做到使5个杯子的杯口全部朝上。如果每次翻动3个杯子，可以使5个杯子的杯口全部朝上。具体翻动方法：将5个杯子按1、2、3、4、5编号。第一次翻动：1、2、3第二次翻动：1、2、4第三次翻动：1、2、5所以翻动三次能使5个杯子的杯口全部朝上。解析：先拿一个杯子做实验：看看有什么发现：次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次J杯口朝上朝下朝上朝下朝上朝下J可以看出：要使一个杯子的杯口朝上，必须将杯子翻动奇数次。那么要使5个杯子的杯口全部朝上，翻动的总次数应该是5个奇数次的和，5个奇数的和仍是奇数，也就是说，只有经过奇数次翻动才能使5个杯子的杯口全部朝上。而第一种翻法是每次翻动2个杯子，无论是奇数个2,还是偶数个2,结果都是偶数，这与前面的分析有矛盾。所以如果每次翻动2个杯子，那么无论怎样翻动，都不能使5个杯子的杯口全部朝上。而第二种翻法是每次翻动3个杯子，当翻动的次数是奇数次时，其结果是奇数，符合使杯口全部朝上的要求，所以能够翻动成功。练习3.把每间客房的灯分别编号为1、2、3、，，10。第一次：关闭1、2、3、4;第二次：关闭5、&7,开4;第三次：关闭4、8、9、10。答：能全部关闭，至少需要3次。板块四质数和合数例题1.2X37X43=3182答：这三个质数的积最大是3182。解析：除2外所有的质数都是奇数，三个质数相加的和是偶数，所以必定有一个质数是2。82-2=80，剩下的两个质数的和是80,可能的情况是7和73,13和67,19和61,37和43这四种情况。因为两个数的差越小，积就越大，所以当这两个质数是43和37时，才能使这三个质数的积最大。练习1.(1)这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。解析：两个质数的和是奇数，这两个质数中一定有一个质数是偶数，而偶数中的质数只有2一个。所以这两个质数中一个是2。根据两个质数的和又是11的倍数，可知它的和可能为11，33，55,77，99。11-2=9，33-2=31，55-2=53,77-2=75，99-2=97。而9和75合数，所以这两个质数可能是2和31或2和53或2和97。(2)根据整数的奇偶性可知，这两个质数分别是2和1999.2X1999=3998.答：这两个质数的积是3998.36-2=18,18=13+5=11+7.面积最大为》11X7=77(平方厘米).例题2.这两个质数分别是5和401.解析：以0和4结尾的数一定不是质数，所以这两个质数的个位上分别是0和5,又因为以5结尾的数只有5是质数，所以另外一个质数是401.练习2.这两个质数分别是5和601.例题3.2解析：20以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19。根据图示得知：要求3组数的和相等，在这3组的四个加数中，第1个和第4个加数是公共的，所以要从20以内的8个质数中找出3组两个数相加和相等的6个数；通过观察发现：5+19=7+17=11+13所以第一个加数和第四个加数为2和3。练习3.(1)43+5,41+7,37+11,31+17,19+29.(2)(2+3+5+11+13+17+19十7板块五分解质因数例题1.1620=2X2X3X3X3X3X5=9X12X159+12+15=36(岁)答：这三个学生年龄的和是36岁。解析：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。所以可先把1620分解质因数，即1620=2X2X3X3X3X3X5。因为三个学生的年龄相差3岁，所以可把这7个质因数重新组合为：3X3=9,2X2X3=12,3X5=15。所以三个学生的年龄依次为9岁、12岁、15岁。最后再求三个年龄数的乘积。练习1.504=2X2X2X3X3X7,7X8X9答：明明7岁，亮亮8岁，丽丽9岁。板块六公因数与最大公因数例题1.110-5=105（块）240+5=245（块）（105，210，245）=35答：105、210和245的最大公因数是35,所以张老师的班级最多有35名同学。练习1.（1）38-2=36（个）31-3=28（个）（36，28）=4苹果：（38-2）-4=9（个）梨：（31-3）-4=7（个）（2）50-2=48（分米）43-3=40（分米）（48,40）=848-6=6（段）40-8=5（段）答：所裁的小段最长是8分米。红彩带能裁成6段，绿彩带能裁成5段。例题2.用辗转相除法求它们的最大公因数。TOC\o"1-5"\h\z第一步：用较大数除以较小数：9991-9021=1,,970;第二步：用上一步的除数除以余数：9021-970=9,,291;第三步：同上一步：970-29仁3,,97;第四步：同上一步：291-97=3.直到整除为止，最后一个除数97就是9021和9991的最大公因数。练习2.8251-6105=1,,2146;6105-2146=2,1813;2146-1813=1,,333;1813-333=5,,148;333-148=2,37;148-37=4.（8251,6105）=37.例题3.3.2米=320厘米1.44米=144厘米0.96米=96厘米（320,144,96）=16.（320X144X96）-（16X16X16）=1080（块）答：总共可锯成1080块。练习3.（120,80）=4040X40=1600（平方米）答：小正方形的面积最大是1600平方米。例题4.2703-1113=2,4771113-477=2,,159477-159=3第20页共20页2703和1113的最大公因数为159。答：这样的正方形的边长是159厘米。解析：2703和1113这两个数比较大，它们的公因数很难找，可以用辗转相除法求它们的最大公因数。第一步：用较大数除以较小数，即2703-1113=2,477;第二步：用上一步中的除数除以余数，即1113-477=2,,159;第三步：同上一步，即477十159=3。直到整除为止，最后一个除数159就是2703和1113的最大公因数。练习4.2002-847=2,308，847-308=2,,231，308-23仁1,,77，231-77=3答：最后剪得的正方形的边长是77毫米.例题5.（315,385）=35（315-35）+（385-35）+1=21（盏）答：这条街道至少要装21盏路灯.练习5.①间隔1米：（50+40）X2-仁180（棵）间隔2米：（50+40）X2-2=90（棵）间隔5米：（50+40）X2-5=36（棵）间隔10米：（50+40）X2-10=18（棵）板块七公倍数与最小公倍数例题1.[4，5]=2020+2=22（人）答：最少有22个小朋友做游戏。练习1.[4，6]=1212+1=13（支）答：这盒铅笔最少有13支.例题2.30和45的最小公倍数是90,至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。30X（30-1）=870（米）870-90=9（根）,,60（米）9+1=10（根）答：有10根不需要移动。练习2.（74-2-1）X4=144（米）[4，6]=12144-12=1212+1=13（棵）13X2=26（棵）答：不用移栽的树有26棵.例题3.90-15=6（1）因为6=1X6,所以1X15=15,6X15=90;（2）因为6=2X3,所以2X15=30,3X15=45。答：这两个数分别是15和90或30和45。解析：可以先假设这两个数是已知的，然后根据这两个数的最大公因数是15用短除法分解这两个数，最后根据这两个数的最小公倍数是90分别求出这两个数。第21页共21页设这两个数分别为a和b。15abaibi15aibi=90所以aibi=90*15=6,6=1x6=2x3。当a1,b分别是1和6时，a,b分别为1x15=15,6x15=90;当a1,b1分别是2和3时，a,b分别为2x15=30,3x15=45。练习3.720-60=12,（1）因为12=1x12,所以1x60=60,12x60=720;（2）因为12=2x6,所以2X60=120,6X60=360;（3）因为12=3x4,所以3X60=180,4X60=240.答：这两个数分别是60和720、120和360、180和240.例题4.252-4=6328-4=763-7=99X4=36答：另一个数是36.练习4.126-21=642-21=26-2X21=63答：另一个数是63.例题5.108-6=1818=1X18=2X9=3X666-6=111仁2+96X2=126X9=54答，这两个数分别是12和54.练习5.180-18=1010=1X10=2X554-18=33=5-218X5=9018X2=3690+36=126答：这两个数的和是126.例题6.[4,6,15]=6060X3-仁179（颗）答：这盒棋子共有179颗.练习6.（1）[3,5,7]=105105+仁106（箱）答：这车饮料至少有106箱.（2）[5,3]=3515-2=13（人）答：这些学生最少有13人.例题7.[6,5,15]=3030-6=5（人）30-5=6（人）30-15=2（人）答：要使加工生产均衡，第一道工序至少分配5人，第三道工序至少分配6人，第道工序至少分配2人。练习7.[20,15,30]=6060-20=3（人）60-15=4（人）60-30=2（人）答：要使包装过程均衡，第一道工序至少分配3人，第三道工序至少分配4人，第三道工序至少分配2人。例题8.[1,2,3,4]=1212-1+12-2+12-3+12-4=25（碗）75-25=3（组）12X3=36（人）答：参加会餐的有36人。练习8.[2,3,4]=1212-2=6（瓶）12-3=4（瓶）12-4=3（瓶）6+4+3=13（瓶）65-13=5（组）12X5=60（人）答：参加会餐的人数是60人。例题9.2811215TOC\o"1-5"\h\z46'152315215[8,12,15]=2X2X3X2X5=12019:30-5:30=14（小时）120分=2小时14-2=7（次）5时30分+2时X7=19时30分答：该站最后一次三辆车同时发出是19:30。解析：三辆车从5:30同时发出后，到下一次再同时发出的间隔时间是8,12,15的最小公倍数，那么以后每次同时发车时所间隔的时间都是8,12,15的公倍数，也是这个最小公倍数的倍数，[8,12,15]=2X2X3X2X5=120（分钟）,也就是2小时；而从5:30到19:30之间相隔14小时，14个小时里包含7个2小时，所以最后一次正好是19:30，练习9.5、&8的最小公倍数是120。最少要经过120分钟，也就是经过2小时三条线路公共汽车才能再次同时发车。早晨6时经过2时就是上午8时。例题10.[6,7,8,9]=5049999-504=19,,423999-504=1,,49519-仁18练习10.[4,5,6]=60999-60=16,,3999-60=1,,3616-仁15板块八约数个数例题1.378000=24x33X53X7,由约数个数定理可知378000共有约数：（4+1）x（3+1）x（3+1）x（1+1）=160（个）。2练习1.500=5X2,(2+1)X(3+1)=12(个)答：500的约数共有12个。例题2.144324解析：15=1X15=3X5,所以有15个约数的数，质因数分解式为口14或口*□4。前者最小是214，次小是34，都很大；后者最小的是2x3，次小是3x2，即最小是144,次小是324.练习2.10=1X10=2X5,所以有10个约数的数，质因数分解式为口9或口乂口4。前者最小是29，很大；后者最小的是2X34,次小是3X24,即最小是48.例题3.35=5X7,所以有10个约数的数，质因数分解式为口4X^6。因为35含有质因数5、7,35的倍数中恰有35个约数的数只能含有这两个质因数，所以这个数最小是74X56.练习3.42=2X3X7,所以有42个约数的数质因数分解式为口乂口冬口6。因为42含有质因数2、3、7,42的倍数中恰有42个约数的数只能含有这三个质因数，所这这个数最小是：7X32X26=4032。例题4.86400=27x33X52,8=2X2X2,9=3X3,10=2X5.2X3X5=30,22X32=36,24X5=80.答：这三个自然数分别是30,36,80.练习4.12、16、27.解析：5184=26X34,可凑出三个数是12、16、27,约数个数分别是6个、5个、4个。板块九约数和22342例题1.720=2X3X5,(1+2+2+2+2)X(1+3+3)X(1+5)=2418练习1.240=24X3X5,(1+2+22+23+24)X(1+3)X(1+5)=744.板块十7、9、11、13的倍数的特征例题1.1+2+3+4+5+7=22,22-2=11,1+3+7=11,2+4+5=11,AXAX2=72(种)练习1.1+2+3+4=10,10十2=5,1+4=5,2+3=5,A；XA；X2=8(种)竞赛、小升初真题1.1+2+3+2=82010-2+1=1006(个)1006-8=125,,6最后的6个数：2001,2003,2005,2007,2009,2011。最后三个括号里的数：(2001),(2003,2005),(2007,2009,2011)2007+2009+201仁6027答：最后一个括号里的各数的和是6027。173提示：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173第24页共24页20.解析：45=3X3X5,28=2X2X7,250=2X5X5X5.出现了3个2和4个5,要使乘积最后的五个数字都是0,那么这四个乘数分解质因数后，质因数2和5的个数到少都要有5个，所以还需要2个2和1个5,所以括号里填的数最小是2X2X5=20.4.38-2=36(个)78-6=72(个)128-20=108(个)(36,72,108)=36答：学生最多有36人。5.90-30=3180-3=60所以B=60b6.140-5=2828=1X28=2X14=4X7,a+b的最大值：5X(1+28)=1457.182.解析：设1分硬币厚度为x,2分硬币厚度为y,5分硬币厚度为乙则有6x=5y,6y=5z.所以x:y=5:6=25:30,y:z=5:6=30:36.x:y:z=25:30:36.所以枚数的比为:253036=36:30:25.1X36+2X30+5X25=221(分)442-22仁2(36+30+25X2=182(枚)。8.8.解析：1155=5X3X7X11,1155的约数的个数为：(1+1)X(1+1)X(1+1)X(1+1)=16.16-2=8(对)，所以有8种不同的拼法。9.24;1170.解析:360=23X32X5,约数个数：(1+3)X(1+2)X(1+1)=24(个)；约数和：(1+2+2"+23)X(1+3+3")X(1+5)=1170.挑战极限设这两个自然数为ac和be。ac|+bc=54(a+b)e=54=2X3X9_abc-c=114(ab-1)c=114=2X3X19因为a,b,c都是正整数，所以c可能是2或3或2X3=6."a+b=27当c=2时，丿解得a,b不为整数。qb-1=57当c=3时，戶+b=18解得a,b不为整数。、ab—1=38「a+b=9当c=6时，丿解得a=5，=4。、ab-1=196X5=306X4=24答：这两个自然数分别是30和24.12X2-3=21（声）答：可听到的钟声为21声。解析：因为两寺同时敲钟，所以第一声是合声，只能听到一个钟声，下次及以后听到合声的时间，一定既是3的倍数，又是4的倍数。即3和4是合声时时间的因数，是第3X4=12分钟时，第24分钟时，第36分钟时,，但大寺自第一声敲击后，敲12下经3X（12-1）=33分就敲完了，所以合声只有第一声，第12分钟，第24分钟时的合声，共3声，可听到的钟声为12X2-3=21（声）。3.2X70+3X21+2X15-105=128128-105=23答，这个数是23.（注：这种算法，被人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称韩信点兵，外国人称它为“中国剩余定理”）4.23和30.解析：两数之差为7,则它们的最大公约数可能为7或1,而689也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1,即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690,易知相差7且乘积为690的两个数为23和30.本讲作业这40个数中，4的倍数有10个，即报4的倍数的同学向后转的有10人。同理报5的倍数的同学向后转的有8人，而这8人中有2人既是4的倍数，又是5的倍数，即第20名同学和第40名同学，在报4的倍数时，两人向后转背对老师，在报5的倍数时，两人再向后转，这时面向老师。因此，面向老师的学生有40-10-6+2=26人。解：设这三个座位号分别是a,a+2,a+4。TOC\o"1-5"\h\za+a+2+a+4=9a=11+2=3（号）1+4=5（号）答：这三个座位号分别是1号、3号、5号。解：设这三个座位号分别是n,n+2,n+4。n+n+2+n+4=21n=55+2=7（号）5+4=9（号）第26页共26页答：这三个座位号分别是5号、7号、9号。3.49-4=45（块）29+仁30（块）（45,30）=15答：小班最多有15名小朋友。4.4811-1981=2,849,1981-849=2,,283,849-283=3,（4811,1981）=2835.3和7的最小公倍数是21,21+2=23本，符合条件。答：小明至少有23本课外读物。6.[5,7]=3535X3+3=108（人）答：一共有108人。7.120米=12000厘米[80,60]=24012000-240=50（个）50+仁51（个）12000-80=150（个）150+1=151（个）12000-60=200（个）200+1=201（个）201+151-5仁301（个）答：在120米内一共留下301个脚印。解析：父亲的脚印数加上儿子的脚印数减去重合的脚印数即为留下的脚印数。父亲的脚印数=总距离十步长+1,即12000-80=150（个），150+1=151（个）；儿子的脚印数=总距离十步长+1,即卩12000-60=200（个）,200+1=201（个）；重合的脚印数12000-240=50（个）,50+仁51（个）;所以一共留下的脚印数为：201+151-5仁301（个）。8.8=1X8=2X4=2X2X2,所以有8个约数的数，质因数分解式为口7或口乂口3或口乂口乂口。77333□最小是3,是2187;口乂口最小的是3X5=375,次小是5X3=135;^X^X^是3X5X7=105;即最小的奇数是105.9.2520=23X32X5X7,（1+2+22+23）X（1+3+3"）X（1+5）X（1+7）=9360.