《函数的零点与方程的解》教案

《第四章指数函数与对数函数》《4.5.1函数的零点与方程的解》 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 【教材分析】本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。【教学目标与核心素养】课程目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．数学学科素养1.数学抽象：函数零点的概念；2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.【教学重难点】【教学反思】重点：零点的概念，及零点与方程根的联系；难点：零点的概念的形成．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景引入《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．’太祖大悦，即施行焉．”这就是千古传诵、妇孺皆知的曹冲称象的故事．抛除物理中的浮力原理，这其中就应用了转化化归的思想．那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？二、新知导学1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数__2____1____0__方程的根的个数__2____1__02.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__横坐标__就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有__实数根__⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有__交点__⇔函数y＝f(x)有__零点__.3．函数零点的判定定理条件结论函数y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)内有零点(1)图象是连续不断的曲线(2)f(a)f(b)__＜__0[ 知识点 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拨]　判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．三、课前自测1．函数f(x)＝4x－6的零点是(　C　)A．eq\f(2,3)　　B．(eq\f(3,2)，0)　C．eq\f(3,2)　D．－eq\f(3,2)[解析]　令4x－6＝0，得x＝eq\f(3,2)，∴函数f(x)＝4x－6的零点是eq\f(3,2).2．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为(　B　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]　f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(　B　)A．a＜1B．a＞1C．a≤1D．a≥1[解析]　函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有__2__个零点．[解析]　令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．5．求下列函数的零点．(1)f(x)＝x2－5x－6；(2)f(x)＝x3－7x＋6；(3)f(x)＝(eq\f(1,2))x－4；(4)f(x)＝lnx－1.[解析]　(1)令x2－5x－6＝0，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝6，∴函数f(x)的零点为－1,6.(2)令x3－7x＋6＝0，得x3－x－6x＋6＝0，∴x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝0，∴(x－1)(x2＋x－6)＝0，∴(x－1)(x＋3)(x－2)＝0，∴x1＝－3，x2＝1，x3＝2.∴函数f(x)的零点为－3,1,2.(3)令(eq\f(1,2))x－4＝0，得(eq\f(1,2))x＝4，∴x＝－2.∴函数f(x)的零点为－2.(4)令lnx－1＝0，得lnx＝1，∴x＝e.∴函数f(x)的零点为e.四、课堂互动探究命题方向1　⇨求函数的零点典例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.[思路分析]　分别令各个解析式等于0，根据方程是否有根来确定函数的零点．[解析]　(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.『规律方法』　1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．〔跟踪练习1〕(1)求下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为__3，－1__；②g(x)＝lgx＋2零点为__eq\f(1,100)__.(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝__－6__.[解析]　(1)①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝eq\f(1,100).故g(x)的零点为eq\f(1,100).(2)由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝0,f4＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b－4＝0,16a＋4b－4＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－3))，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.命题方向2　⇨判断零点所在的区间典例2　函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　C　)A．(0,1)B．(1,2)　C．(2,3)D．(3,4)[思路分析]　根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．[解析]　f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．『规律方法』　判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．〔跟踪练习2〕函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　C　)A．(－2，－1)　　B．(－1,0)C．(0,1)　D．(1,2)[解析]　f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝eq\f(1,e2)－4<0，f(－1)＝e－1－1－2＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．命题方向3　⇨函数零点个数的判断典例3　函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5　C．x1<2，x2>5D．25[思路分析]　f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．[解析]　作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．『规律方法』　判断函数零点个数的主要方法：(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点问题．〔跟踪练习3〕判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．[解析]　解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象，如图所示．由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．解法二：因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq\f(2,e)<0，所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)内是增函数，所以原函数只有一个零点．判断零点个数时出现逻辑错误　　典例4　求函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上的零点个数．[错解]　错解一：由题意，得f(1)＝2>0，f(4)＝2>0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在[1,4]上没有零点，即零点个数是0.错解二：∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(1,2.5)内有一个零点；又∵f(4)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，∴函数在(2.5，4)内有一个零点，∴函数在[1,4]上有两个零点．[错因分析]　对于错解一，是错误地类比零点存在定理，f(a)·f(b)>0时，(a，b)中的零点情况是不确定的，而错解二出现了逻辑错误，当f(a)·f(b)<0时，(a，b)中存在零点，但个数不确定．[正解1]　令f(x)＝0，即x2－5x＋6＝0，∴x1＝2，x2＝3，∴函数的零点是2,3.∴函数在[1,4]上的零点的个数是2.[正解2]　∵f(1)＝2>0，f(2.5)＝－0.25<0，f(4)＝2>0，∴f(x)在(1,2.5)和(2.5,4)内都有零点．又易知f(x)在(－∞，2.5)和(2.5，＋∞)上都是单调函数．∴f(x)在(1,2.5)和(2.5,4)内都只有一个零点．∴f(x)在[1,4]上有两个零点．[警示]　当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，(1)不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．(2)满足f(a)·f(b)<0时，f(x)在(a，b)内必有零点，但不一定只有一个零点．学科核心素养1．一元二次方程根的分布问题典例5　已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．[思路分析]　(1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；(2)f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．[解析]　(1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝－1或m＝4.(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4m2－43m＋4>0,－m>－1,f－1＝1＋m＋4>0))，解得－50，f(2)＝4＋2＝6>0，f(0)＝20＝1>0，f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)<0，∴f(－1)·f(0)<0，故选C．4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有__1__个根．[解析]　由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．[解析]　由题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，∴a＝5，b＝－6，∴g(x)＝－6x2－5x－1，由－6x2－5x－1＝0，解得x1＝－eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(1,3).∴函数g(x)的零点是－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).《4.5.1函数的零点与方程的解》同步练习一、选择题1．函数y＝x2＋6x＋8的零点是(　B　)A．2,4　　　　　　　B．－2，－4C．1,2D．不存在[解析]　令x2＋6x＋8＝0，∴(x＋2)(x＋4)＝0，∴x＝－4或x＝－2，故选B．2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　C　)A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点[解析]　由二次函数的图象可知f(x)在区间(a，b)内的零点个数为1,0或2，故选C．3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　)A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　D　)A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解[解析]　∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上不一定有实数解．5．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的零点的个数为(　A　)A．0B．1C．2D．3[解析]　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＜0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A．6．函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x－2有零点的一个区间是(　C　)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]　f(1)＝eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)<0，f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，f(3)＝ln3＋eq\f(3,2)－2＝ln3－eq\f(1,2)>0.∴f(2)·f(3)<0，故选C．二、填空题7．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是__0，eq\f(1,2)__.[解析]　∵f(x)＝x＋b的零点是2，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(1,2).8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1x≤0,3x－4x＞0))的零点的个数为__2__.[解析]　当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－x－1x≤0,3x－4x＞0))有2个零点．三、解答题9．求下列函数的零点．(1)y＝－x2－x＋20；(2)y＝x3＋8；(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；(4)y＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).[解析]　(1)令y＝0，有－x2－x＋20＝0，解得x1＝－5，x2＝4，故所求函数的零点为－5,4.(2)y＝x3＋8＝(x＋2)(x2－2x＋4)．令(x＋2)(x2－2x＋4)＝0，解得x＝－2，故所求函数的零点为－2.(3)令(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝－eq\r(2)，x2＝eq\r(2)，x3＝1，x4＝2，故所求函数的零点为－eq\r(2)，eq\r(2)，1,2.(4)y＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝eq\f(x＋6x－2,x－2).令eq\f(x＋6x－2,x－2)＝0，解得x＝－6，故所求函数的零点为－6.10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．[解析]　当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1符合题意．当a>0时，此函数图象开口向上，又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立．当a<0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1<0，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1＋4a＝0,－\f(－1,2a)<0))，即a＝－eq\f(1,4)，综上可知实数a的取值范围为a＝－eq\f(1,4)或a≥0.11．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．[解析]　设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2＞0,f1＜0))，解得－2＜m＜－eq\f(1,2).第二种情况，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2＜0,f1＞0))，此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－eq\f(1,2).