第八章统计回归模型8.1一元线性回归模型8.2多元线性回归模型8.3非线性回归模型 回归分析(RegressionAnalysis)方法是数理统计中最常见的一类方法.该方法利用大量统计数据，建立自变量与因变量之间因果关系的回归方程数学模型.这类模型广泛应用于社会、经济、医学等领域的定量分析和估值、预测. 对于自变量x的每一个值，因变量是一个随机变量y，若x对y的影响是线性的，则可
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示为y＝β0＋β1x＋ε，称为一元线性回归模型，其中β0，β1为待定回归系数，ε为随机误差，ε~N(0，σ2). 一元线性回归分析的主要任务是：用试验值(样本值)对β0、β1和σ作点估计；对回归系数β0、β1作假设检验；在x＝x0处对y做出预测，给出y的区间估计.8.1一元线性回归模型 1.回归系数的最小二乘估计 对于一组观测值(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，利用最小二乘法可得到回归系数. 设记最小二乘法就是选择β0和β1的估计、，使得记则有直线为数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的回归直线(方程)，对于给出的x，可由此方程对y进行预测. 2.σ2的无偏估计 一元线性回归模型中的参数σ2的无偏估计值为：由数据点xi(i＝1，2，…，n)可计算因变量y的理论值，观测数据yi(i＝1，2，…，n)对数据均值的偏差－可表示为： 式(8.1.1)的第一项是残差，表示随机误差引起的因变量的变化；第二项表示自变量在x＝xi时引起的因变量相对于平均值的变化. 对式(8.1.1)两边平方并求和，有:式(8.1.2)记为S＝Q＋U，称S为总偏差平方和，Q为残差平方和，U为回归平方和.定义，称为决定系数，R称为相关系数(0
F1－α(1，n－2)时，拒绝H0，否则就接受H0. 2)t检验法 当H0成立时，故时，拒绝H0，否则就接受H0. 5.预测 用y0的回归值作为y0的预测值，y0的置信水平为1－α的预测区间为.其中，特别地，当n很大且x0在附近取值时，y的置信水平为1－α的预测区间近似为：例1血压与年龄问题：为了研究血压随年龄的增长而升高的关系，调查了30个成年人的血压(收缩压，单位mmHg)如下表，利用这些数据给出血压与年龄的关系，并预测不同年龄人群的血压. 解记血压(因变量)为y，年龄(自变量)为x，画出30个数据点的散点图.直观地，y与x大致呈线性关系，记为y＝β0＋β1x. 利用一元线性回归模型，由MATLAB计算出结果如下：血压随年龄的变化关系为y＝96.86＋0.953x，决定系数为0.7123，显示血压与年龄有较强的线性关系. 利用上述回归方程，可预测不同年龄人群的血压规律，如表8-1所示. 表8-1 由表8-1的预测可知，对于50岁的人来说，我们有95%的把握认为其血压(收缩压)在区间［124.5，163.2］. 若与因变量y有关联的自变量不止一个，则可建立多元线性回归模型.设影响变量y的主要因素有m个，记为x＝(x1，x2，…，xm)，则y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βmxm＋ε(8.2.1)8.2多元线性回归模型根据n个独立观测数据yi，xi1，…，xim(i＝1，2，…，n；n>m)，得记则式(8.2.2)可表示为矩阵形式Y＝Xβ＋ε，利用最小二乘法准则可确定参数，其参数β为：并称为回归平面方程，为经验回归系数. 多元线性回归模型讨论的主要问题是:用试验值(样本值)对未知参数β和σ2作点估计和假设检验，从而建立y与x1，x2，…，xm之间的数量关系；在x1＝x01，x2＝x02，…，xm＝x0m处对y的值作预测与控制，即对y作区间估计. 1.多元线性回归中的检验 首先假设H0：β0＝β1＝…＝βn＝0. 1)F检验 当H0成立时，其中，(回归平方和)；(残差平方和). 如果F>F1－α(k，n－m－1)，则拒绝H0，认为y与x1，x2，…，xm之间显著地有线性关系；否则就接受H0，认为y与x1，x2，…，xm之间的线性关系不显著. 2)R检验 定义为y与x1，x2，…，xm的多元相关系数或复相关系数.由于故用F和用R检验是等效的. 2.多元线性回归中的预测 1)点预测 求出回归方程，对于给定自变量的值，用来预测y*＝β0＋β1x*1＋…＋βmx*m＋ε.称为y*的点预测. 2)区间估计 y的1－α的预测区间(置信区间)为，其中例1城市公交客运量的回归预测问题. 据相关分析，城市公共交通年客运量y与城市职工人数x1、居民零售额x2、职工年收入x3统计相关.现有北京市1968~1980年的统计数据如表8-2所示，试对2000年该市的城市公交客运量做出预测. 表8-2续表解建立多元线性回归模型，由MATLAB计算回归方程为，表明公共交通年客运量y与城市职工人数x1、居民零售额x2、职工年收入x3具有很高的线性关联性. 根据有关规划，2000年该城市职工人数x1＝4.5(百万人)，居民零售额x2＝15.0(10亿元)，职工年收入x3＝5.7(10亿元)，则预测北京市公共交通年客运量y＝58.067(亿次). 在客观现象中，预报量y与自变量x之间存在的关系式往往不是线性的.我们可依据假设或经验，构造特定的函数如多项式、指数函数、三角函数等描述其关系，但其参数的确定和检验目前还无统一方法.下面以Y与x具有多项式关系为例加以说明.8.3非线性回归模型 设变量x，Y多项式关系的回归模型为:Y＝β0＋β1x＋β2x2＋…＋βpxp＋ε其中p是已知的，βi(i＝1，2，…，p)是未知参数，ε服从正态分布N(0，σ2).则Y＝β0＋β1x＋β2x2＋…＋βkxk称为回归多项式. 若令xi＝xi(i＝1，2，…，k)，则多项式回归模型可变为多元线性回归模型. 例1药物疗效的
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与预测问题. 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据.ACTG320(见建模竞赛题2006)是同时服用zidovudine(齐多夫定)、lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量).利用给定的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗). 解数据的完善与规范化：由于病人测试的时间间断性，不同病人的测试间隔、次数不同，以及部分数据缺失，无法对样本数据进行直接处理，需先对数据进行完善与规范化预处理. 先对个别缺失数据严重(测试不足30周)的样本进行删除，最终得到有效样本333个. 考虑到病人体内HIV和CD4两个指标变化的连续性，利用已测周数据对未知周数据进行线性插值，得到所有病人整数周的两个指标数据. (1)线性插值方法： 如果在不相邻的两周M1和M2内，测量得到CD4的含量为C1和C2，HIV的含量为H1和H2，则在M1和M2之间插入M2－M1个周的数据，即在M1＋N(0
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