双曲线及其标准方程（第一课时）
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；
2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标
准方程；
3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；
4．培养学生观察、
分析
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、归纳和逻辑推理能力。
教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导过程。
教学过程：
一、创设情景，引入新课：
师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点和，定圆的圆心为，且半径为，动圆过定点，且与定圆相切。
（1）若，试求动圆圆心的轨迹；（2）若，试求动圆圆心的轨迹。
（教师结合几何画板演示分析）：
师：当时，我们得到的轨迹是什么？
生：是椭圆。
是：为什么？
生：因为当时动圆内切于定圆，所以两个圆的圆心距满足
，移项后可以得到：满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以、为定点，为定长的椭圆。
师：很好。那么，当呢，此时动圆与定圆相切有几种情况？
生：有两种情况：内切和外切。
师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距满足
，移项后可以得到：。(教师演示轨迹)
师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？
生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距满足
，移项后可以得到：。(教师演示轨迹)
师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足即，圆心的轨迹我们称之为双曲线。
二、新课讲解：
1、定义给出
师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？
生：双曲线是到平面上两个定点、的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？
生：当时，表示的是双曲线的右支，当时，表示的是双曲线的左支。
2、定义探究
（教师引导学生分情况讨论）：
师：这个常数2a有没有限制条件？
生：有。这个常数2a要比焦距小。
师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
（1）若a=0，则有即，此时轨迹为线段的中垂线；
（2）若2a=,则有，此时轨迹为直线上除去线段中间部分，以、为端点的两条射线；
（3）若2a>,则根据三角形的性质，轨迹不存在。
3、双曲线标准方程的推导过程：
师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）
第一步：建立直角坐标系；
第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为和，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；
第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：
；
第四步：建立方程：；
第五步：化简，得到
教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是和的双曲线标准方程为，这里
师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）
生（练习后）：此时的标准方程应该是。
4．双曲线标准方程的探讨：
师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是？
生：a、b、c满足等式，所以有，可以得到，但不能判断。
师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？
生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为和，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。
师：很好。如果我们知道的方程是，那么你如何寻找a？
生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。
师：如果方程是呢？
生：先化成标准方程。
师：请同学
总结
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一下。
生：化标准，找正号。
5．运用新知：
【练习】已知方程表示双曲线，则m的取值范围是__________，此时
双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________；
【变式】若将9改成，则m的取值范围是________________________。
【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为、，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为
，
因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。
所以，
所以所求双曲线的标准方程为。
【变式】已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差
等于6，求P点的轨迹方程。
解：因为，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为，
因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。
所以，
所以所求P点的轨迹方程为。
【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点、的坐标分别为
，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为
，
因为点、在双曲线上，所以点、的坐标适合方程，代入得：
可解得：。
所以所求双曲线得标准方程为：。
【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点、的坐标分别为
，求双曲线的标准方程。（分情况讨论）
【练习】（1）一边两个端点是和，顶点A满足，
求A的轨迹方程。
（2）一边的两个端点是和，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹。
三、本课小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么？
生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
四、作业：
课本P108：2、3、4
问题：一炮弹在M处爆炸，在、处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为，那么M点一定在哪条曲线上？
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