数学分析 第三章 函数极限
《数学分析》
教案
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第三章 函数极限
教学目的:
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念,掌握函数极限的基本性质; 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性; 3.掌握两个重要极限和,并能熟练运用;
4.理解无穷小(大)量及其阶的概念,会利用它们求某些函数的极限。 教学重(难)点:
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算;难点是海涅定理与柯西准则
的应用。
教学时数:14学时
? 1 函数极限概念 (2学时)
教学目的:使学生建立起函数极限的准确概念;会用函数极限的定义证明函
数极限等有关命题。
,,,教学要求:使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函
,,,,,,数极限的定义证明函数的有关命题,并能运用语言正确表述函数不以
某实数为极限等相应陈述。
学重点:教函数极限的概念。
,,,教学难点:函数极限的定义及其应用。
一、 复习:数列极限的概念、性质等
二、 讲授新课:
(一)时函数的极限:
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以 时和为例引入.
介绍符号: 的意义,的直观意义.
定义 ( 和 . ) 几何意义 介绍邻域
其中为充分大的正数(然后用这些邻域语言介绍几何意
义(
例1 验证
例2 验证
例3 验证
证 „„
(二)时函数的极限:
由 考虑时的极限引入.
定义 函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证 由 =
为使 需有
为使 需有
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证 ( 类似有
(三)单侧极限:
1(定义:单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域
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然后介绍
等的几何意义.
例9 验证
证 考虑使 的
2. 单侧极限与双侧极限的关系:
Th
类似有:
例10 证明: 极限 不存在.
例11 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有
=
?2 函数极限的性质(2学时)
教学目的:使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求:掌握函数极限的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以
及有理运算性等。
教学重点:函数极限的性质及其计算。
教学难点:函数极限性质证明及其应用。 教学方法:讲练结合。
一、组织教学:
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我们引进了六种极限: ,
.以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.
1. 唯一性:
2.局部有界性:
3. 局部保号性:
4. 单调性( 不等式性质 ):
Th 4 若和都存在, 且存在点的空心邻域,
使 ,都有
证 设= ( 现证对有)
註: 若在Th 4的条件中, 改“”为“”, 未必
就有 以 举例说明.
5. 迫敛性:
6. 四则运算性质: ( 只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限: 已证明过以下几个极限:
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( 注意前四个极限中极限就是函数值 ) 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为
公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:通过有关性质, 把所求极
限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1 ( 利用极限和)
例2
例3
註: 关于的有理分式当时的极限.
例4 [ 利用公式]
例5
例6
例7
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例8
例9
例10 已知 求和
补充题:已知求和 ()
? 3 函数极限存在的条件(4学时)
教学目的:理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。
教学要求:掌握海涅定理与柯西准则,领会其实质以及证明的基本思路。
教学重点:海涅定理及柯西准则。
教学难点:海涅定理及柯西准则 运用。
教学方法:讲授为主,辅以练习加深理解,掌握运用。
本节介绍函数极限存在的两个充要条件. 仍以极限为例.
一. Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系:
Th 1 设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在,对任何且都存在且相等.( 证 )
Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于. 参阅[1]P70.
例1 证明函数极限的双逼原理.
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例2 证明
例3 证明不存在.
二. Cauchy准则:
Th 2 (Cauchy准则) 设函数在点的某空心邻域内有定 义.则存在,,
证
( 利用Heine归并原则 )
不存在的充要条件. Cauchy准则的否定:
例4 用Cauchy准则证明极限不存在.
证 取
例5 设在 [上函数?. 则极限 存在,
在[上有界. ( 简证, 留为作业 ).
?4 两个重要极限(2时)
教学目的:掌握两个重要极限,并能熟练应用。
教学要求:掌握两个重要极限,牢记结论;掌握证明的基本思路和方法,并
能灵活运用。
教学重点:两个重要极限的证明及运用。
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《数学分析》教案 教学难点:两个重要极限的证明及运用。
教学方法:讲授定理的证明,举例说明应用,练习。 一( (证) (同理有 )
例1
例2 .
例3
例4
例5 证明极限 不存在.
二.
证 对 有
例6 特别当 等.
例7
例8
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例9
?5无穷小量与无穷大量 阶的比较(2学时)
教学目的:理解无穷小(大)量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。
教学要求:作为函数极限的特殊情形,要求掌握无穷小(大)量及其阶的概念,并由此求出某些函数的极限。
一. 无穷小量: 定义. 记法.
例1 判断: ? 可怜虫是很小很可怜的虫; ( )
? 无穷小量是很小很小的量. ( )
无穷小的性质:
性质1 ( 无穷小的和差 )
性质2 ( 无穷小与有界量的积 )
例2
无穷小与极限的关系:
Th 1 ( 证 )
二. 无穷小的阶: 设时
1( 高阶(或低阶)无穷小:
2( 同阶无穷小:
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《数学分析》教案 三( 等价无穷小:
Th 2 ( 等价关系的传递性 ). 等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3 ( 等价无穷小替换法则 )
几组常用等价无穷小: (见[2])
例3 时, 无穷小 与是否等价? 例4
. 无穷大量: 四
1. 定义:
2. 性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.
性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.
性质3 与无界量的关系.
无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.
3. 无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习 题 课(2学时) 一、理论概述:
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二、范例讲析:
例1 设数集无界.试证明:存在数列{}使
例2 设为定义在上的递增函数. 证明: 极限存 在的充要条件是函数在上有上界.
例3 证明: 对其中是Riemann函数.
例4 设函数定义在内, 且满足条件 ?>
有 试证明 是内的常值函数. ?> 对
例5 求极限注意=有界} {
例6 求和.
解法一
又
解法二 , 由且原式极限存
在,,即 .
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例7 . 求. 注意时,且. 先求由Heine归并原则
即求得所求极限.
例8 求和.并说明极限
是否存在.
; 解
可见极限 不存在.
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