高等数学---求极限的各种方法

高等数学公式求极限的各种方法1．约去零因子求极限x41例1：求极限limx1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。2(x1)(x1)(x1)2【解】limlim(x1)(x1)6=4x1x1x12．分子分母同除求极限32xx例2：求极限lim3x3x1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。x3x2111【解】limlimxx3x13x13x33【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；nn10mnanxan1xa0(2)limmm1mnxbmxbm1xb0anmnbn3．分子(母)有理化求极限22例3：求极限lim(x3x1)x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。222222(x3x1)(x3x1)【解】lim(x3x1)lim22xxx3x12lim0x22x3x11tanx1sinx例4：求极限limx0x31/11高等数学公式1tanx1sinxtanxsinx【解】lim3limx0xx0x31tanx1sinx1tanxsinx1tanxsinx1limlim3lim3x01tanx1sinxx0x2x0x4【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限1sinx1x1n两个重要极限是lim1和lim(1)lim(1)lim(1x)xe，第一个重要极限x0xxxnnx0过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。xx1例5：求极限limxx11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数部分。X2x11xx22x12122【解】limlim1lim11exxxx1x1x12x1xx1x2a例6：(1)lim1；(2)已知lim8，求a。xx2xxa5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：x当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~e1,12b1cosx~x,1ax1~abx；2(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。xln(1x)例7：求极限limx01cosxxln(1x)xx【解】limlim2.x0x011cosxx22sinxx例8：求极限lim3x0tanx2/11高等数学公式2sinxxsinxxcosx11x1【解】2lim3lim3lim2lim2x0tanxx0xx03xx03x66．用罗必塔法则求极限2lncos2xln(1sinx)例9：求极限limx0x20【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sinx)cos2x1sin2x【解】lim2limx0xx02xsin2x21lim23x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解x(xt)f(t)dt例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim0.x0xxf(xt)dt0xxtu0x【解】由于f(xt)dtf(u)(du)f(u)du,于是0x0xxx(xt)f(t)dtxf(t)dttf(t)dt000limlimx0xx0xxf(xt)dtxf(u)du00xxf(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt00=lim=limx0xx0xf(u)duxf(x)f(u)duxf(x)00xf(t)dt0f(0)1=limx=.x0xf(u)duf(0)f(0)20f(x)xg(x)7．用对数恒等式求limf(x)极限2例11：极限lim[1ln(1x)]xx0222ln[1ln(1x)]2ln(1x)ln[1ln(1x)]limlim【解】lim[1ln(1x)]x=limex=ex0xex0xe2.x0x03/11高等数学公式g(x)【注】对于1型未定式limf(x)的极限，也可用公式limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)因为g(x)limg(x)ln(f(x))limg(x)ln(1f(x)1)lim(f(x)1)g(x)limf(x)eeex12cosx例12：求极限lim1.x0x332cosx2cosxxlnlne313【解1】原式limlim2x0x3x0x1（sinx）ln（2cosx）ln3limlim2cosxx0x2x02x11sinx1lim2x02cosxx62cosx2cosxxln3lne13【解2】原式limlimx0x3x0x2cosx1ln（1）3cosx11lim2lim2x0xx03x68．利用Taylor公式求极限axax2,(0)例13求极限lim2a.x0x2xxlnax22【解】ae1xlnalna(x),22xx22a1xlnalna(x);2xx222aa2xlna(x).4/11高等数学公式xx222aa2xlna(x)2lim2lim2lna.x0xx0x11例14求极限lim(cotx).x0xx111sinxxcosx【解】lim(cotx)limx0xxx0xxsinx32x3x2x(x)x[1(x)]lim3!2!x0x31133()x(x)2!3!1lim3x0x3.9．数列极限转化成函数极限求解n21例15：极限limnsinnn【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。x2111x2xsin1siny111xy2y【解】考虑辅助极限limxsinlimelimee6xxxy02n11所以，limnsine6nn10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111例16：极限lim222222nn1n2nn【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。112n1limffff(x)dxnnnnn05/11高等数学公式1111【解】原式＝limn222n12n111nnn11121dxln01x2221111例17：极限lim222nn1n2nn112n【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limfff的形式，因而nnnnn用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。111【解】limn222n1n2nnn111n因为n2nn21n22n2nn21nn又limlim1nn2nnn21111所以lim＝１nn21n22n2n12．单调有界数列的极限问题例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,L)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；n12xnxn1（Ⅱ）计算lim.nxn【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得0xn1sinxn1,n1,2,L，则数列xn有界.6/11高等数学公式xn1sinxn于是1，（因当x0时，sinxx），则有xn1xn，可见数列xn单调减少，故由xnxn单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.n设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得lsinl，解得l0，即limxn0.nn11x2x2xnsinxn（Ⅱ）因limn1limn，由（Ⅰ）知该极限为1型，nnxnxn1211sinxx12sinx11x23limsinxlimexxlimexe6(使用了罗必塔法则)x0xx0x011221xnxnxn1sinxn故limlime6.nnxnxn7/11高等数学公式求不定积分的方法及技巧小汇总~1.利用基本公式。（这就不多说了~）2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：ln(x1)lnx例1：dxx(x1)111【解】(ln(x1)lnx)'x1xx(x1)ln(x1)lnx12dx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)(ln(x1)lnx)C例2：x(x1)21lnx2dx(xlnx)【解】(xlnx)'1lnx1lnxdxlnx12dx2Cx(x1)(xlnx)xlnx3.第二类换元法：设x(t)是单调、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式f(x)dxf[(t)]'(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：22(1)ax：xasint；xacost22(2)xa：xatant；xacott；xasht22(3)xa：xasect；xacsct；xacht8/11高等数学公式nn(4)axb：axbtaxbaxb(5)n：ntcxdcxdm21(6)当被积函数含有xaxbxc，有时倒代换x也奏效。t4.分部积分法.公式：dd分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！x3arccosx例3：dx1x2【解】观察被积函数，选取变换tarccosx,则33xarccosxcost3dxt(sint)dttcostdt1x2sint1t(sin2t1)dsinttd(sin3tsint)31313tsintsint(sintsint)dt3311tsin3tsint(sin2t1)dcost3313213tsintsintcostcostC339121x3x(x22)1x2arccosxC933例4：arcsin2xdx【解】221arcsinxdxxsinxx2arcsinxdx1x22xarcsinx2arcsinxd1x222xarcsinx21xarcsinx1xdx1x22xarcsinx21xarcsinx2xC9/11高等数学公式上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在dd中，、的选取有下面简单的规律：ax(1)Pm(x)，e,sinax,cosax(2)lnx,arctanx,arcsinx，Pm(x)(3)eax，cosx,sinx(3)会出现循环，注意，选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：（lnxarcsinx）Pm(x（a^xsinx))μν但是，当lnx，arcsinx时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：axaxeI1esinbxdx22(asinbxbcosbx)CabaxaxeI2ecosbxdx22(acosbxbsinbx)Cab（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5.几种特殊类型函数的积分。（1）有理函数的积分P(x)P*(x)P*(x)有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之Q(x)Q(x)Q(x)dx和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现In22n时，记得用递推公式：(ax)x2n3In222n12In1）2a(n1)(xa)2a(n1)x6x44x22例5：dxx3(x21)2x6x44x22x6x44x22x4x22【解】x3(x21)2x3(x21)2x3(x21)2x21x3(x21)210/11高等数学公式x1dxln(x21)Cx2124x224x222x21dxxdxdx2x2x3(x21)2x4(x21)2x4(x21)22221(1)22d22d(1)(1)11111()dCC2(1)21x2(x21)故不定积分求得。（2）三角函数有理式的积分x2tansinx22x1tan万能公式：22x1tancosx22x1tan2P(sinx,cosx)xdx可用变换ttan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。Q(sinx,cosx)2sinxcosx对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成或。再用待定系数cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。（注：没举例题并不代表不重要~）acosxbsinx（3）简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1x时，可令xtan2t；同时出现22x和1x时，可令xsint；同时出现1x和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1x2和arccosx时，可令x=cost等等。11/11