等比数列的前n项和案例分析

等比数列的前n项和案例分析 本节课选自《普通高中课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 数学教科书?数学（必修5）》（苏教版）第二章第3节第3课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的重 要内容之一，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等， 而且 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，都是学 生今后学习和工作中必备的数学素养。 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方 面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学 生，虽然具有一定的分析问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的 原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。 1、设计理念 本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生， 努力设计“适合学生发展得数学教育”， 体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理 念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重要性，注重引导学生主动地进行探索， 从而帮助学生树立正确的数学观，但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思 维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会 意识，明确肯定“日常数学”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力 帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。 2、设计背景 传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新 课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观， 创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维 和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能 力、学会合作、体验自主。 ?知识与技能 掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 ?过程与方法 通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 1 ?情感、态度与价值观 通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发 展数学的理性思维。 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是数 列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。 教学准备：（包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等） 1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上） 2.普通高中课程标准教科书数学（必修）5及配套光盘 3.两种教材的主要差异对比 4.课件《等比数列的前n项和》改编 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知 识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程： 一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? ：设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到 研究者的角色中来！ 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：(1，30)，30'S,1，2，？，30,,465（万元） 302 229穷人需要还的钱：S,1，2，2，？，2,? 30 直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维! 学生的一般认知 规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在 整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围， 突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决 问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。 教师把如何求229S,1，2，2，？，2,？的问题让学生探究，逐步得出以下的解法： 30 2 229S,1，2，2，？，2 ?若用公比2乘以上面等式的两边，得到 30 229302S,2，2，？，2，2? 30 若?式减去?式，可以消去相同的项，得到： 30S,2,1,1073741823(分) ?1073(万元) 465（万元） 30 : ：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！ 让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的 信心。 这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列，首项为，公比为，如何求{}aaqn1 前n项和S？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 n ：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学 生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。 na-aq11：在学生推导完成后，我再问：由ns=得对不(1-q)s=a-aqnn111-q 对？这里的能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？时是什么数列？此时q,1q S,？（这里引导学生对进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。） qn n,1再次追问：结合等比数列的通项公式aaq,Saa,如何把用、、表示出来？（引qn1n1n 导学生得出公式的另一形式） ：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方 面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合 的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之 妙用。 在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 2n-1n-2s=a+aq+aq++aq那么我们能否利用这个关系而 =a+q(a+aq++aq)n11111111 aaaa234n=====qaaaa求出123n-1S呢？根据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出n S呢？ n ：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论 的氛围. 以上两种方法都可以化归到SaqS,，S, 这其实就是关于的一个递推式，递推nn11,n 数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课 本，对学生的思维发展有促进作用. 3 1111例1：求等比数列前8项和； ,,,, ,,,24816 631111变式 1、等比数列前多少项的和是； ,,,, ,,,2481664 1111 变式2、等比数列求第5项到第10项的和； ,,,, ,,,24816 1111变式3、等比数列求前2n项中所有偶数项的和。 ,,,, ,,,24816 首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行 评价，然后师生共同进行总结。 ：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形 成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。 例2：求和23n-11+a+a+a++a ：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有 参数的问题进行分类讨论的数学思想。 以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从 知识点及数学思想方法两方面总结。 ：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。 P66练习1：(1)、(2)；2 选做：思考题：（1）求和23nx+2x+3x++nx. （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首 中国古诗的答案是多少？ ：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的 空间。 （一）通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载 体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点： 1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实 的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。 因此，本 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 紧紧地抓住高一学生的这一特征，利用“等比数列求和如何解决”这一富有挑战 性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中， 4 逐步形成创新意识。 2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计处处以问题为导向：“穷人该不该向富人借钱？”、“我们的工作该怎样进行呢？”、“我们的„根据地?是什 么？”、……促使学生去思考问题，去发现问题。 （二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证实方法的发现，都对教 材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过 程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。 （三）数学实验走进了课堂，这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学 生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。 （四）我在作业布置时曾做过一个新尝试：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析 出不会做的症结所在，就算完成了作业。 教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推导上。 在探索公式的过程中，用到了许多重要的数学方法，如错位相减：变加为减， 等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实。 学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，这个推导过程有效地培 养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，培养了学生解决问题的能 力。 本节课例子设计精巧。通过精讲一题（例1），发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解（例2），进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔 七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的 答案是多少，思考题体现数学的文化价值。这节课在民主和谐的课堂氛围里， 培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创 新的思维品质。 5