均值不等式及其证明

均值不等式及其证明均值不等式及其证明 1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 aaa,,..., 一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为 12n aaa，，，....

均值不等式及其证明 1平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 aaa,,..., 一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为 12n aaa，，，...12n A,,nn 几何平均值记为 1nnGaaaaaa,,(...)... 。 nnn1212 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 aaa，，，...12nn ， ,aaa...12nn AG,，即 nn aaa,,,...当且仅当时，等号成立。 12n 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明证法一(归纳法) (1) 当时，已知结论成立。 n,2 (2) 假设对(正整数)时命题成立，即对 nk,k,2 aik,,0,1,2,...,,有 i 1aaa，，，...k12k,(...)aaa。 n12k 那么，当时，由于 nk,，1 aaa，，，...121k，k，1 ，， Gaaaa,...A,kkk，，1121k，1k，1 aaaa,,...,AaG关于是对称的，任意对调与，和的值()ij,j121k，ik，1k，1 不改变，因此不妨设， aaaa,min,,...,aaaa,max,,...,,,,,1121k，kk，，1121 aAa,,()()0aAaA,,,显然，以及可得 111kk，，1111kkk，，， AaaAaa()，,,. kkkk，，，，111111 kAkAAaaaA(1)...，,，，，,kkkkk，，，，，1111211所以 A,,,k，1kkk aaaaA，，，，,...()2111kkk，，k ,,，,aaaaA...()2111kkk，，k kA即两边乘以，得 AaaaaA,，,...()k，1，，，12111kkkk kk，，11。 AaaAaaAaaaaG,，,,,...()...()kkkkkkkk，，，，，，1211112111 AG,从而，有 kk，，11 证法二(归纳法) (1) 当时，已知结论成立。 n,2 (2) 假设对(正整数)时命题成立，即对 nk,k,2 aik,,0,1,2,...,,有 i kaaakaaa，，，,......。 1212kk那么，当时，由于 nk,，1 aaaa，，，，...121kk， ,，，，，，，，,,aaaaGGkG...(...)(1) 121111kkkkk，，，， k,1kk,，,,kaaakaGkG...(1) 12111kkkk，，， k,1kk ,,,2...(1)kaaaaGkG12111kkkk，，， kk，,112k,,,2(1)kGGkG,，(1)kG k，1kkk，，，111 AG,从而，有 kk，，11 证法三(归纳法) (1) 当时，已知结论成立。 n,2 (2) 假设对(正整数)时命题成立，即对 nk,k,2 aik,,0,1,2,...,,有 i kaaakaaa，，，,......。 1212kk 那么，当时，由于 nk,，1 aaaa，，，，... 121kk，证法四(归纳法和变换) 证法五(利用排序不等式) aaa,,...,bbb,,..., 设两个实数组和满足 12n12n aaabbb,,,,,,...;... ， 1212nn ababab，，，...(同序乘积之和) 则 1122nn ababab，，，..., (乱序乘积之和) 1122jjnjn ,ababab，，，... (反序乘积之和) 1211nnn, jjj,,...,其中是的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条1,2,...,n12n aaa,,,...bbb,,,...件是或成立。 12n12n证明: 切比雪夫不等式(利用排序不等式证明) ,,,,,,，,0,0,1xx,0,杨森不等式(Young)设则对有 121212,,12xxxx,，,,xx, 等号成立的充分必要条件是。 12112212 琴生不等式(Jensen) xab,(,)设为上凸(或下凹) 函数，则对任意 yfxxab,,(),(,)i ，我们都有 (1,2,...,)in, ,,,,,,fxfxfxfxxx()()...()(...)，，，,，，，或 11221122nnnn ,,,,,,fxfxfxfxxx()()...()(...)，，，,，，， 11221122nnnn n ,,,,,0(1,2,...,)1in其中 ,ii,1i 习题一 11，1. 设。求证:对一切正整数，有 n,，,abR,,1ab nnnnn21，()22abab，,,,, ，abcR,,,,2. 设求证: abcabc，，(1)(1)(1)2(1)，，，,， 3bcaabc xxx,,3. 设为正实数，证明: 123 xxxxxx222332112，，,，，()()() xxxxxx123231 ，abcR,,,,4. 设，求证: abc，，,1 (1)(1)(1)8(1)(1)(1)，，，,,,,abcabc ，xyzR,,,5. 设，且，求证: xyz,, 222xyyzzx222，，,，，xyz zxy abbcca，222abcR,,,6. 设，满足，求证: abc，，,1，，,3cab 7.abcd,,, 设是非负实数，满足，求证: abbccdda，，，,13333abcd1，，，, bcdcdadababc，，，，，，，，3 aaa,,...,;8. 设n为给定的自然数，，对于n个给定的实数 n,312n 222aaijn,,,,(1)记的最小值为m，求在的aaa，，，,...1ijn12条件下，m的最大值。

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